矩陣mpnq的正交性

1相關(guān)ab的hadamard積cmn表示聯(lián)邦區(qū)域c上的mn矩陣，而cn是排除在外的c上的n維向量空間。當(dāng)xcn時(shí)，使用x*表示x的公共鍵，即x=（x1，，xn）t，x=（x1=。定義1.1若A∈Mn,A*=A且?x∈Cn均有x*Ax≥0(或x*Ax>0),則稱(chēng)A為半正定矩陣(或正定矩陣).定義1.2設(shè)A=[aij],B=[bij]∈Cm×n,用AoB表示A和B對(duì)應(yīng)元素相乘而成的m×n矩陣AoB=???a11b11a12b12?a1nb1n????am1bm1am2bm2?amnbmn???(1)AoB=(a11b11a12b12?a1nb1n????am1bm1am2bm2?amnbmn)(1)AoB稱(chēng)為A和B的Hadamard積,也稱(chēng)為Schur積.定義1.3設(shè)A=[aij]∈Cm×n,B=[bij]∈Cp×q用A?B表示A的每個(gè)元素aij和B數(shù)乘而成的矩陣mp×nq,其塊形式如下:A?B=???a11Ba12B?a1nB????am1Bam2B?amnB???(2)A?B=(a11Ba12B?a1nB????am1Bam2B?amnB)(2)A?B稱(chēng)為A和B的張量積,也稱(chēng)為Kronecker積.引理(1)如果A∈Cn×n是一個(gè)半正定矩陣且rank(A)=k,則A可以寫(xiě)為下列形式:A=ν1ν*1+ν2ν*2+…+νkν*k(3)這里,每個(gè)νi∈Cn.向量組ν1,ν2,…,νn是非零正交向量組.(3)式稱(chēng)為矩陣A的譜分解.引理(2)設(shè)ν1,ν2,…,νm是Cm的一個(gè)正交基,w1,w2,…,wn是Cn的一個(gè)正交基則νi?wj,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n是mn維向量空間Cm?Cn的一個(gè)正交基.證:我們知道,νi?wj,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n是Cm?Cn的一個(gè)基,下面證其正交性.這是因?yàn)?當(dāng)i≠k或j≠1,(νi?wj)*(νk?wl)=(ν*i?w*j)(νk?wl)=(ν*iνk)?(w*jwl)=0.所以νi?wj與(νk?wl)當(dāng)i≠k或j≠l正交,從而νi?wj(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)是mn維向量空間Cm?Cn的一個(gè)正交基.引理(3)設(shè)A,B∈Cm×n,則有AoB=(A?B)(α,β)(4)其中α={1,m+2,2m+3,…,m2},β={1,n+2,2n+3,…,n2},是指標(biāo)集,(A?B)(α,β)是A?B的由α指定的行和β指定的列所確定的子矩陣.特別是,當(dāng)m=n時(shí),AoB是A?B的主子矩陣.引理(4)如果矩陣A是半正定(或正定)矩陣,則矩陣A的主子矩陣也是半正定(或正定)矩陣.證設(shè),而(1≤i1<…<ik≤n)為A的任一k階主子矩陣.由于A是半正定的,故二次型f(x1,x2,…,xn)=x*Ax對(duì)于任意x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn,有f(x1,x2,…,xn)≥0,從而f(0,…,0,xi1,0,…,0,xi2,0,…,0,xik,0,…,0)≥0.但是,對(duì)變量為xi1,…,xik而矩陣為Ak二次型g(xi1,…,xik)來(lái)說(shuō)有:g(xi1,…,xik)=f(0,…,0,xi1,0,…,0,xi2,0,…,0,xik,0,…,0)≥0,故g是半正定二次型,從而Ak是半正定的.同理可證正定的情形.2加害ab是1b的biwjb為6個(gè)異異矩陣且未病條件下ab為1bibb為1bibb為1bb為1bb為1b有了以上的分析,可以得出兩個(gè)主要結(jié)論.定理1:設(shè)A,B∈Cn×n是兩個(gè)半正定矩陣,則A?B也是半正定矩陣,進(jìn)而,如果A,B是兩個(gè)正定矩陣,那么A?B也是正定矩陣.證:借助引理(1)有A=ν1ν*1+ν2ν*2+…+νkν*kB=w1w*1+w2w*2+…+wmw*m,這里k=rankA,m=rankB.注意到:A?B=(∑i=1nνiν?i)?(∑j=1mwjw?j)=∑i=1k∑j=1m(νiν?i)?(wjw?j)=∑i=1k∑j=1m(νi?wj)?(νi?wj)?A?B=(∑i=1nνiνi*)?(∑j=1mwjwj*)=∑i=1k∑j=1m(νiνi*)?(wjwj*)=∑i=1k∑j=1m(νi?wj)?(νi?wj)*顯然(νi?wj)?(νi?wj)*是半正定的,故A?B也是半正定的.如果A,B是兩個(gè)正定矩陣,則k=m=n,且{νi,…,νn}和{w1,…,wn}都是Cn的正交基.由以上證明知,要證A?B是正定矩陣,只需證明A?B是非奇異矩陣即可.我們采用反證法進(jìn)行證明.如果A?B是奇異矩陣,則有某一非零向量x∈Cn2,使得(A?B)x=0.因此x?(A?B)x=∑i?j=1nx?(νi?wj)?(νi?wj)?x=∑i?j=1n|x?(νi?wj)|2=0x*(A?B)x=∑i?j=1nx*(νi?wj)?(νi?wj)*x=∑i?j=1n|x*(νi?wj)|2=0從而對(duì)所有i和j有|x*(νi?wj)|2=0,即(x*,νi?wj)=0.這意味著x與Cn?Cn的一個(gè)基{νi?wj}中每一個(gè)向量正交,于是,不得不有x=0,這與假設(shè)x≠0矛盾.故A?B必是非奇異的.定理2:設(shè)A=[aij]∈Cn×n,則矩陣A是半正交的充要條件是對(duì)于任意半正定矩陣B=[bij]∈Cn×n,A?B也是半正定矩陣,進(jìn)而A是正定矩陣的充要條件是對(duì)任意正定矩陣B,A?B也是正定