2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3,請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

(―)A+—>3

1.已知函數.28,若函數g(x)=/(x)-/：恰有兩個零點，則實數Z的取值范圍是

log3x,0<x<3

A.B.[jI)

oo

C.[~A]D.(0,1)

o

2.關于/(力=385(2工一2)

xeR,下列敘述正確的是()

A.若/包卜/伍卜？，則百一W是2兀的整數倍

B.函數/(X)的圖象關于點，0卜稱

C.函數/(x)的圖象關于直線x=F對稱

6

D.函數“X)在區間上為增函數.

3.設全集。={1,2,345,6},集合S={1,3,5},T={3,6},則，,(SUT)等于

A.0B.{4}

C.{2,4}D.{2,4,61

4.設f(x)為定義在R上的奇函數，當x20時，f(x)=2x+2x+b(b為常數)，貝！If(-1)=()

A.3B.1

C.11D.—3

2

5.已知函數/(x)=|lnx|-1,g(x)=-x+2x+39用min{機，〃}表示小，〃中的最小值.設函數/i(x)=min(/U),g(x)},

則函數/z(x)的零點個數為()

A.lB.2

C.3D.4

6.如圖，直角梯形ABCD中，ZA=90°,NB=45。，底邊AB=5,高AD=3,點E由B沿折線BCD向點D移動,

EM1AB于M,EN1AD于N,設BM=X,矩形AMEN的面積為那么V與X的函數關系的圖像大致是()

7.已知定義在上的函數.f(x)滿足：/(%)={A+2，xe[°，D,且/(x+2)=/(x),g(x)=2*,則方程

2-x,xe[-l,O)x+2

fM=g(x)在區間「5,1]上的所有實根之和為

A.-5B.-6

C.-7D.-8

8.設函數若是奇函數，則g(e?)=()

A.-3B.-2

C.-lD.l

2

9.如圖，某池塘里浮萍的面積》(單位：m)與時間f(單位：月)的關系為y=",關于下列說法不正確的是()

A.浮萍每月的增長率為2

B.浮萍每月增加的面積都相等

C.第4個月時，浮萍面積超過80m2

D.若浮萍蔓延到2m2,40?,8n?所經過的時間分別是八，J、4,則2弓=4+/3

10.是第一或第二象限角”是“sine>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.函數/'(x)=sin2x,若/(x+r)為偶函數，則最小的正數f的值為

12.log327+---=------

/、—X+3—3a,x<0

13.若函數,是R上的減函數，則實數a的取值范圍是一

,X't?U

jr

14.已知一個扇形的弧長為"其圓心角為一，則這扇形的面積為cm2

4

15.直線4：x+ay+6=0與A：(a-2)x+3>+2a=0平行，則。的值為,

tana

16.若點P(l,2)在角a終邊上，則的值為.

sin2a-sinacosa

解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知動圓C經過點A(2,—3)和3(—2,-5)

(1)當圓C面積最小時，求圓C的方程;

(2)若圓。的圓心在直線3x+y+5=0上，求圓。的方程.

18.已知函數/(x)=log“(3+2x),g(x)=loga(3-2x)F(x)=/(x)-(x).

(1)求函數F(x)的定義域；

(2)判斷F(x)奇偶性并證明;

(3)當。=2時，若尸(x)>()成立，求x的取值范圍.

19.設函數/(x)=log?x(a>(iaaHl),函數g(x)=—f+^+c,且/⑷-/⑵=1,g(x)的圖象過點A(4,-5)及

B(-2,-5)

(1)求/(求和g(x)的解析式;

(2)求函數/[g(x)]的定義域和值域

20.已知點M(3,5),圓(x—lp+(y—2)2=4

(1)求過點M的圓的切線方程；

(2)若直線以一y+4=0與圓相交于A,B兩點,且弦A5的長為2月，求。的值

21.化簡并求值

sin—+a+cos(2^--a)-cos(7r-a)

(1)求兀,、-----------------------的值.

sinl--ez1+sin(;r+a)—sin(—a)

(2)已知sina-cosa='，且a是第三象限角，求上￡2^2——sina+cosa的值.

8sina-cosatana-1

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、A

【解析】因為0<x<3,y=log3xe(e,l);xN3,y=(4)*+：e(：,l],且各段單調，

288

點睛：已知函數零點求參數的范圍的常用方法，(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等

式確定參數范圍.(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決.(3)數形結合法：先對解析式變

形，在同一平面直角坐標系中，作出函數的圖象，然后數形結合求解

2、B

【解析】由題意利用余弦函數的圖象和性質，逐一判斷各個結論是否正確，從而得出結論.

【詳解】對于A,/(x)=3cos(2x-《]的周期為7=苫=萬

，若"X)=)=3，則％-W是n的整數倍，故A

錯誤;

對于B,當x=q時，/(x)=3cos^-2x^--^j=3cos^—|j=0,則函數/(x)的圖象關于點中心對稱,

B正確；

對于C,當x=?時，/M=3cosf2x--->|=3cos-=—,不是函數最值，函數/(x)的圖象不關于直線x=$

6166)626

對稱，C錯誤；

對于D,xe［吟)，則/(x)=3.2%年不單調，D錯誤

故選：B.

3、C

【解析】由并集與補集的概念運算

【詳解】SDT={1,3,5,6},.??(SDT)={2,4}

故選：C

4、D

【解析】Vf(x)是定義在R上的奇函數，

當xK)時，f(x)=2x+2x+b(b為常數)，

.".f(0)=l+b=0,

解得b=-l

：.f(1)=2+2-1=3

：.f(-1)=-f(1)=-3

故選D

5、C

【解析】畫圖可知四個零點分別為-1和3,1和e,但注意到貝x)的定義域為x>0,故選C.

e

6、A

【解析】根據已知可得：點E在未到達C之前，y=x(5?x)=5x-x2；且爛3,當x從0變化到2.5時，y逐漸變大,

當x=2.5時，y有最大值，當x從2.5變化到3時，y逐漸變小，

到達C之后，y=3(5-x)=15-3x,x>3,

根據二次函數和一次函數的性質.故選A.

考點：動點問題的函數圖象；二次函數的圖象.

7、C

【解析】由題意知g(x)=生爛=2(x+?+l=2+工,函數/-(%)的周期為2,則函數/(x),g(x)在區間［-5,1］上

x+2x+2x+2

由圖形可知函數/(x),g(x)在區間［-5,1］上的交點為4比C,易知點C的橫坐標為-3,若設A的橫坐標為

則點/的橫坐標為-4-，所以方程/(x)=g(x)在區間上的所有實數根之和為

-3+(-4-0+/=-7.

考點：分段函數及基本函數的性質.

8、A

【解析】先求出/(-e2)的值，再根據奇函數的性質/(-%)=-/(x),可得到/(e2)的值，最后代入/(e?)=g(e?)+l,

可得到答案.

【詳解】???/(X)奇函數

.??/(e2)=-/(-e2)=-lne2=-2

故選：A

【點睛】本題主要考查利用函數的奇偶性求值的問題，屬于基礎題.

9、B

【解析】先利用特殊點求出函數解析式為y=3',再利用指數函數的性質即可判斷出正誤

【詳解】解：圖象可知，函數過點(L3),

.,.(7=3,

函數解析式為>=3',

???浮萍每月的增長率為主M=2且=2,故選項A正確，

3'?>'

???函數y=3'是指數函數，是曲線型函數，，浮萍每月增加的面積不相等，故選項B錯誤，

當。=4時，y=34=81>80,故選項C正確，

對于D選項，???3〃=2,3"=4,3"=8,=log32,t2=log34,Z3=log38,

X?.,Slog,4=log316=log32+log38,2t2=t}+t3,故選項D正確，

故選：B

10、A

【解析】利用充分必要條件的定義判斷.

【詳解】若角a的終邊在第一或第二象限，貝!|sina>0,反過來，若sina>0,則a的終邊可能在第一或第二象限,

也有可能在)'軸正半軸上.

所以是第一或第二象限角”是“sina>()”的充分不必要條件.

故選：A

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、-

4

【解析】根據三角函數的奇偶性知/(x+0=sin(2x+2。應可用誘導公式化為余弦函數

【詳解】/(x+，)=sin2(x+，)=sin(2x+2r),其為偶函數，則2f=&萬+二rr，%=k-7T+7-T,keZ,

224

IT

其中最小的正數為:

4

TT

故答案-

4

【點睛】本題考查三角函數的奇偶性，解題時直接利用誘導公式分析即可

4

12、一

3

【解析】由題意結合指數的運算法則和對數的運算法則整理計算即可求得最終結果.

14

【詳解】原式=3+：-2=上.

33

4

故答案為1

點睛】本題考查了指數與對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題

i3'H-

【解析】按照指數函數的單調性及端點處函數值的大小關系得到不等式組，解不等式組即可.

0＜。＜12

【詳解】由題知°....0＜%彳

3-3a..fl003

故答案為：.

14、2兀

【解析】根據弧長公式求出對應的半徑，然后根據扇形的面積公式求面積即可.

71

【詳解】設扇形的半徑為〃，圓心角為二，

4

JI

.?弧長/=rx—=萬，可得,?=%

4

這條弧所在的扇形面積為S=』x%x4=Ijicnr，故答案為2兀.

2

【點睛】本題主要考查扇形的面積公式和弧長公式，意在考查對基礎知識與基本公式掌握的熟練程度，屬于中檔題.

15、-1

【解析】根據兩直線平行得出實數"滿足的等式與不等式，解出即可.

Q(Q_2)=3

【詳解】由于直線4：x+ay+6=O與（［a—2）x+3y+2a=0平行，貝卜

2aw6(。一2)

解得。=一1.

故答案為：-1.

【點睛】本題考查利用兩直線平行求參數，考查運算求解能力，屬于基礎題.

16、5

2

【解析】由三角函數定義得tana=2,sina=7m，cosa

4^2=5

tana

sm-a-smacosa

55

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)f+(y+4)2=5

(2)(x+iy+(y+2『=10

【解析】(1)以AB為直徑的圓即為面積最小的圓，由此可以算出A3中點坐標和長度,

即可求出圓的方程；

(2)設出圓的標準方程，根據題意代入數值解方程組即可.

【小問1詳解】

要使圓C的面積最小，則A3為圓。的直徑，

圓心C(0,-4),半徑r==

所以所求圓。的方程為：x2+(y+4)2=5.

【小問2詳解】

設所求圓C的方程為(x—a)2+(y—=產，

222

(2-a)+(-3-b)=ra=-l

根據已知條件得(-2-a'+(-5-32=,=_2,

3。+力+5=0r=5/10

所以所求圓C的方程為(x+iy+(y+2p=10.

18、(1)(2)奇函數，證明見解析；(3)|^0,|.

【解析】(1)根據對數函數真數大于0,建立不等式組求解即可;

(2)根據奇函數的定義判斷即可；

(3)根據對數函數的單調性解不等式求解即可.

3+2%>033

【詳解】(1)由，c八，解得一

3-2%>022

所以函數尸(x)的定義域為

(2)尸(x)是奇函數.證明如下:

,都有一xe

F（-x）=logo（3-2x）-log（,（3+2x）=-F（x）

...E(x)是奇函數.

(3)由F⑴>0可得/(x)-g(x)>0,log2(3+2x)>log2(3-2x),

由對數函數的單調性得3+2x>3-2x>0,

3

解得0<x<—

2

解集為[o,；].

2

19、(1)/(x)=log2x,g(x)=-x+2x+3；(2)(-1,3),(-oo,2].

【解析】⑴根據〃4)一/(2)=1得出關于。方程，求解方程即可；(2)根據g(x)的圖象過點4(4,一5)及8(-2,—5),

列方程組求得g(x)的解析式，可得/[g(x)]=/og(—F+2X+3),解不等式一萬2+2%+3>0可求得定義域，根據

二次函數的性質，配方可得-f+2x+3e(O,4],利用對數函數的單調性求解即可.

4

【詳解】(1)因為“4)一〃2)=log“5=l,

:.a=2,/(x)=log2x；

因為g(x)的圖象過點A(4,-5)及8(-2,-5),

-16+4b+c=-5,口[b=2

所以),」得〈一

-4-2Z?+c=-5[c=3

g(%)=-尢2+2x+3；

2

(2)/[g(x)]=log2(-x+2x+3),

由-1+2*+3>0,得-1<%<3,

二函數/[g(x)]的定義域為(-1,3)

+2X+3=4-(X-1)2G(0,4]9

/.log2(一工？+2%+3)￡(-oo,2],即/[g(x)]的值域為(—oo,2].

【點睛】本題主要考查函數的解析式、定義域與值域，屬于中檔題.求函數值域的常見方法有①配方法：若函數為一元

二次函數，常采用配方法求函數求值域，其關鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法；

③不等式法；④單調性法：首先確定函數的定義域，然后準確地找出其單調區間，最后再根據其單調性求出數的值域,

⑤圖象法：畫出函數圖象，根據圖象的最高和最低點求最值.

3

20、(1)x=3或5x-12y+45=0.(2)a=——

4

【解析】(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當斜率存在時設方程為y-5=Mx-3),再根據圓心到直線的距

離等于半徑求解左即可.

(2)利用垂徑定理根據圓心到直線的距離列出等式求解即可.

【詳解】解：(1)由題意知圓心的坐標為(1,2),半徑r=2,

當過點M的直線的斜率不存在時,方程為x=3

由圓心(1,2)到直線x=3的距離3—1=2=r知，此時,直線與圓相切

當過點M的直線的斜率存在時,設方程為y-5=氣工-3),

\k-2+5-3k\

即Ax-.y+5-3A=0.由題意知=2,

正+i

解得左=2，.?.方程為5x-12y+45=0

故過點M的圓的切線方程為x=3或5x-12y+45=0

If