素養提升微專題(五)截面問題第一編規律方法1.平面截幾何體的三種基本方式:橫截、縱截、斜截.2.正方體的截面形狀:正方體的橫截面為正方形,縱截面為正方形或矩形,斜截面的情況如下:考查角度角度一

確定截面的形狀[例1]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,F為AD的中點,E為棱D1D上的動點(不包括端點),過點B,E,F的平面截正方體所得的截面的形狀不可能是(

)A.四邊形 B.等腰梯形C.五邊形 D.六邊形D圖①

圖②

圖③

易錯警示在判斷截面形狀時,如果對截面與幾何體的各個面是否存在交線,交線是什么形狀,交線的位置等情況分析不清,那么容易導致判斷錯誤,因此要結合空間中線面平行、面面平行的判定定理和性質定理等進行分析判斷.角度二

確定截面的個數[例2]已知四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面α去截此四棱錐,使得截面是平行四邊形,則這樣的平面α(

)A.不存在 B.只有1個C.恰有4個 D.有無數多個D解析

設平面PAB與平面PCD相交于直線m,平面PAD與平面PBC相交于直線n,由m,n確定的平面為β,作α與β平行,且與四條側棱相交,交點分別為A1,B1,C1,D1,則由面面平行的性質定理,可知A1B1∥m∥D1C1,A1D1∥n∥B1C1,從而得截面必為平行四邊形.由于平面α可以上下移動,故這樣的平面α有無數多個.故選D.角度三

計算截面圖形的面積或周長[例3-1]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為3,E為棱BB1上靠近B1的三等分點,則平面AED1截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面面積為(

)C解析

延長AE,A1B1交于點F,連接D1F交B1C1于點G,如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,∵平面AFD1∩平面ADD1A1=AD1,平面AFD1∩平面BCC1B1=EG,∴AD1∥GE.[例3-2](2022·河南南陽三模)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是棱AB上的動點,過A1,C1,P三點作正方體的截面,若截面把正方體分成體積之比為7∶25的兩部分,則該截面的周長為(

)DA解析

如圖,取CD的中點O,連接OA,OB.因為△ACD為等邊三角形,O為CD的中點,所以OA⊥CD.同理OB⊥CD.又OA∩OB=O,所以CD⊥平面AOB.又AB?平面AOB,所以CD⊥AB.設平面α分別交AC,AD,BD,BC于點E,F,G,H,連接EF,FG,GH,HE.因為CD∥平面α,CD?平面ACD,平面ACD∩平面α=EF,所以CD∥EF.同理GH∥CD,EH∥AB,FG∥AB.所以EF∥GH,EH∥FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因為AB⊥CD,所以EF⊥EH,所以?EFGH為矩形.名師點析解決截面面積的最值問題的方法首先根據幾何體的結構特征以及截面所在平面滿足的條件,確定截面的形狀,然后合理設置變量,將截面面積用變量表示出來,最后利用均值不等式或函數的性質求出最值,即可求得截面面積的最值.對點演練1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱B1B,B1C1的中點,G是棱CC1的中點,則過線段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為(

)A.矩形

B.三角形C.正方形 D.等腰梯形D解析

如圖,取BC的中點H,連接AH,GH,D1G,AD1,由題意易知GH∥EF,AH∥A1F,GH=AD1,GH∥AD1,AH=D1G,所以A,H,G,D1四點共面,四邊形AHGD1為等腰梯形.因為GH?平面A1EF,EF?平面A1EF,所以GH∥平面A1EF.同理AH∥平面A1EF.又GH∩AH=H,GH,AH?平面AHGD1,所以平面AHGD1∥平面A1EF.所以過線段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為等腰梯形.故選D.2.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設與對角線AC1垂直的平面α截該正方體所得截面多邊形為M,則關于多邊形M的說法正確的是(

)A.M可能為等邊三角形B.M可能為正方形C.若M為六邊形,則面積為定值D.若M為六邊形,則周長為定值AD解析

對于A,由△A1BD為正三角形,AC1⊥平面A1BD,可知M可能為正三角形,故A正確.對于B,平面α要么與正方體的三個面相交,要么與正方體的六個面相交,從而截面為三角形或六邊形,故B錯誤.對于C,D,如圖,當截面M為六邊形EFGHIJ時,由于截面A1BD與截面EFGHIJ都與直線AC1垂直,因此它們平行,所以GH∥A1B,同理GF∥B1C,設3.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段BC1上的點,過點A1的平面α與直線PD垂直,當點P在線段BC1上運動時,平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面面積的最小值是(

)C解析

以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系如圖所示,則A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),D(0,1,0),D