頁第四節復數核心素養立意下的命題導向1.通過方程的解，認識復數．2．結合復數的代數表示及其幾何意義，考查復數的實部、虛部，共軛復數，復數的模等概念的認識，凸顯邏輯推理、數學運算的核心素養．3．結合復數的運算法則，考查復數的加、減、乘、除運算，凸顯數學運算的核心素養．[理清主干知識]1．復數的定義及分類(1)復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中實部是a，虛部是b.(2)復數的分類：eq\a\vs4\al(復數z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b＝0，,虛數b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數a＝0，,非純虛數a≠0.))))2．復數的有關概念復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復數a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復數的模向量OZ→的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)3.復數的幾何意義復平面的概念建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面實軸、虛軸在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數復數的幾何表示復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→))4.復數的運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．5．復數運算的幾個重要結論(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．(2)eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.(3)若z為虛數，則|z|2≠z2.(4)(1±i)2＝±2i.(5)eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．(復數的概念)復數z＝eq\f(i,5＋i)的虛部為()A.eq\f(5,26)B．eq\f(5,26)iC．－eq\f(5,26)D．－eq\f(5,26)i解析：選Az＝eq\f(i,5＋i)＝eq\f(i5－i,5＋i5－i)＝eq\f(1＋5i,26)＝eq\f(1,26)＋eq\f(5,26)i.故選A.2．(復數的模)復數z＝(1＋i)2，則|z|＝()A．0B．1C．2D．3解析：選C由題得z＝2i，所以|z|＝2.故選C.3．(復數的幾何意義)復數z＝eq\f(5,2－i)在復平面上的對應點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：選Az＝eq\f(5,2－i)＝eq\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)))＝2＋i，在復平面上的對應點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，位于第一象限．故選A.4．(復數的運算)若復數z滿足z·i＝1＋i(i是虛數單位)，則z的共軛復數是________．解析：由z·i＝1＋i，得z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,－i2)＝1－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i.答案：1＋i二、易錯點練清1．(概念理解錯誤)i為虛數單位，復數eq\f(4＋3i,3－4i)的虛部是()A．－1B．1C．iD．－i解析：選B由題意得，eq\f(4＋3i,3－4i)＝eq\f(4＋3i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(25i,25)＝i，所以復數的虛部是1.故選B.2．(混淆絕對值與復數模的含義)若z＝3＋4i，則|z|＝()A.eq\r(5)B．5C．7D．25解析：選B因為z＝3＋4i，所以|z|＝eq\r(32＋42)＝eq\r(25)＝5.考點一復數的概念1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數單位)是實數，則a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：選C因為a－1＋(a－2)i是實數，所以a－2＝0，所以a＝2，故選C.2．若z＝1＋2i＋i3，則|z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．2解析：選C因為z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故選C.3．(多選)已知i為虛數，且復數z滿足z(1＋2i)＝1＋i3，則下列關于復數z的命題中正確的為()A．復數z的虛部為－eq\f(3,5)B．|z|＝eq\f(2\r(5),5)C．復數z對應的點在第三象限D．z<1＋2i解析：選ACz＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f(1－i1－2i,5)＝eq\f(－1－3i,5)，則復數z的虛部為－eq\f(3,5)，故A正確；|z|＝eq\f(\r(10),5)，故B錯誤；復數z對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，－\f(3,5)))，為第三象限內的點，故C正確；虛數不能比較大小，故D錯誤．故選A、C.4．(多選)設z1，z2，z3為復數，z1≠0.下列命題中正確的是()A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3C．若eq\x\to(z)2＝z3，則|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，則z1＝z2解析：選BC由復數的形式知選項A顯然不正確；當z1z2＝z1z3時，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故選項B正確；當eq\x\to(z)2＝z3時，則z2＝eq\x\to(z)3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(eq\x\to(z)1eq\x\to(z)2)－(z1z3)(eq\x\to(z)1eq\x\to(z)3)＝z1z2eq\x\to(z)1eq\x\to(z)2－z1z3eq\x\to(z)1eq\x\to(z)3＝0，故選項C正確；當z1z2＝|z1|2時，則z1z2＝|z1|2＝z1eq\x\to(z)1?z1z2－z1eq\x\to(z)1＝z1(z2－eq\x\to(z)1)＝0，又z1≠0，所以eq\x\to(z)1＝z2，故選項D不正確．5．已知復數z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)的實部與虛部的和為2，則實數a的值為________．解析：易知z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(a2＋i,5)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1i,5)，由題意得eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1,5)＝2，解得a＝3.答案：3[方法技巧]解決復數概念問題的方法及注意事項(1)求一個復數的實部與虛部，只需將已知的復數化為代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數的實部為a，虛部為b.(2)求一個復數的共軛復數，只需將此復數整理成標準的代數形式，實部不變，虛部變為相反數，即得原復數的共軛復數．復數z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)復數是實數的條件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝eq\x\to(z)；③z∈R?z2≥0.(4)復數是純虛數的條件：①z＝a＋bi是純虛數?a＝0且b≠0(a，b∈R);②z是純虛數?z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是純虛數?z2<0.考點二復數代數形式的運算[典題例析](1)(1＋2i)(2＋i)＝()A．－5iB．5iC．－5D．5(2)若z＝1＋i，則|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．2(3)eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i[解析](1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故選B.(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故選D.法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝eq\r(2)×|－1＋i|＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2.故選D.(3)eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i.[答案](1)B(2)D(3)D[方法技巧]復數代數形式運算問題的解題策略復數的加減法在進行復數的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可復數的乘法復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可復數的除法除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式[針對訓練]1．復數eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)的共軛復數的虛部為()A.eq\f(1,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)解析：選B∵eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1－2i,5)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i＋eq\f(i,2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)i，∴復數eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)的共軛復數為eq\f(1,5)－eq\f(1,10)i，虛部為－eq\f(1,10).故選B.2．計算：(1)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝________；(2)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝________.解析：(1)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(2)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.答案：(1)eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i(2)－1考點三復數的幾何意義[典例](1)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(1,2)，則i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)在復平面內，復數eq\f(m＋i,m－i)(i為虛數單位)對應的點位于第一象限，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[解析](1)由題意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故選B.(2)eq\f(m＋i,m－i)＝eq\f(m＋i2,m－im＋i)＝eq\f(m2－1,m2＋1)＋eq\f(2m,m2＋1)i.∵該復數對應的點位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－1,m2＋1)>0，,\f(2m,m2＋1)>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1>0，,2m>0，))解得m>1，∴實數m的取值范圍是(1，＋∞)，故選D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]復數幾何意義問題的解題策略(1)復數z、復平面上的點Z及向量OZ→相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ→.(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．[針對訓練]1．復數z＝eq\f(1－i,3＋i)在復平面內對應的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：選D∵z＝eq\f(1－i,3＋i)＝eq\f(1－i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(2－4i,10)＝eq\f(1,5)－eq\f(2i,5)，∴在復平面內對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(2,5)))，位于第四象限，故選D.2．設復數z滿足條件|z|＝1，那么|z＋2eq\r(2)＋i|的最大值是()A．3B．2eq\r(3)C．1＋2eq\r(2)D．4解析：選D|z|＝1表示單位圓上的點，那么|z＋2eq\r(2)＋i|表示在單位圓上的點到(－2eq\r(2)，－1)的距離，求最大值轉化為點(－2eq\r(2)，－1)到原點的距離加上圓的半徑．因為點(－2eq\r(2)，－1)到原點的距離為3，所以最大值為4.3．設復數z滿足|z－i|＝|z＋i|(i為虛數單位)，且z在復平面內對應的點為Z(x，y)，則下列結論一定正確的是()A．x＝1B．y＝1C．x＝0D．y＝0解析：選D∵滿足|z－i|＝|z＋i|的點為復平面內到點(0，－1)和(0,1)的距離相等的點的集合，∴Z(x，y)的軌跡為x軸，其方程為y＝0.故選D.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．已知i為虛數單位，z＝eq\f(4,1－i)，則復數z的虛部為()A．－2iB．2iC．2D．－2解析：選Cz＝eq\f(4,1－i)＝eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝eq\f(41＋i,2)＝2＋2i，虛部即為i的系數，為2，故選C.2．設復數z＝eq\f(1－i,1＋i)，f(x)＝x2020＋x2019＋…＋x＋1，則f(z)＝()A．iB．－iC．1D．－1解析：選C∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2020＋(－i)2019＋…＋(－i)＋1.∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，∴f(z)＝505×0＋1＝1.故選C.3．若z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i為純虛數，則實數m的值為()A．－2B．2C．－3D．3解析：選C因為z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i為純虛數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2m＋3＝0，,m－2≠0，))解得m＝－3，故選C.4．復數z＝eq\f(2i4,1＋i)在復平面內對應的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：選D由題得復數z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，所以復數z對應的點位于復平面第四象限，故選D.5．“a＝－2”是“復數z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C當a＝－2時，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，則z為純虛數，可知“a＝－2”是“復數z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數”的充分條件；當z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i為純虛數時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＝0，,a－2≠0，))解得a＝－2，可知“a＝－2”是“復數z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數”的必要條件．綜上所述，“a＝－2”是“復數z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數”的充要條件．6．已知a∈R，i是虛數單位，若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，則a＝()A．1或－1B．eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)解析：選A∵z＝a＋eq\r(3)i，∴eq\x\to(z)＝a－eq\r(3)i，∴z·eq\x\to(z)＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1，故選A.7．已知m∈R，復數z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·eq\x\to(z)2為實數，則m＝()A．－eq\f(2,3)B．eq\f(2,3)C．3D．－3解析：選B因為z1·eq\x\to(z)2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i為實數，所以3m－2＝0，解得m＝eq\f(2,3).故選B.8．已知復數z1，z2在復平面內的對應點關于實軸對稱，z1＝3－i(i為虛數單位)，則eq\f(z1,z2)＝()A.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iB．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i解析：選A由題意，復數z1，z2在復平面內的對應點關于實軸對稱，z1＝3－i，則z2＝3＋i，則根據復數的運算，得eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－i,3＋i)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且滿足(a＋i)2＝bi5，則|z|＝()A．5B．eq\r(5)C．3D．eq\r(3)解析：選B由已知得(a＋i)2＝bi，所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5).10．設z是復數，|z－i|≤2(i是虛數單位)，則|z|的最大值是()A．1B．2C．3D．4解析：選C∵|z－i|≤2，∴復數z在復平面內對應點在以(0,1)為圓心，2為半徑的圓上及其內部(如圖)．∴|z|的最大值為3.11．已知ABCD是復平面內的平行四邊形，A，B，C三點對應的復數分別是－2＋i,1－i,2＋2i，則點D對應的復數為()A．4－iB．－3－2iC．5D．－1＋4i解析：選D由題得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，設D(x，y)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3，－2)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(2－x,2－y)，因為eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝3，,2－y＝－2，))解得x＝－1，y＝4.所以點D的坐標為(－1,4)，所以點D對應的復數為－1＋4i.12．(多選)已知復數z滿足z(2－i)＝i(i為虛數單位)，復數z的共軛復數為eq\x\to(z)，則()A．|z|＝eq\f(3,5)B.eq\x\to(z)＝－eq\f(1＋2i,5)C．復數z的實部為－1D．復數z對應復平面上的點在第二象限解析：選BD因為復數z滿足z(2－i)＝i，所以z＝eq\f(i,2－i)＝eq\f(i2＋i,2－i2＋i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2)＝eq\f(\r(5),5)，故A錯誤；eq\x\to(z)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，故B正確；復數z的實部為－eq\f(1,5)，故C錯誤；復數z對應復平面上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5)))在第二象限，故D正確．13．已知i為虛數單位，且復數z滿足z－2i＝eq\f(1,1－i)，則復數z在復平面內的點到原點的距離為()A.eq\f(13,2)B．eq\f(\r(26),2)C.eq\f(\r(10),2)D．eq\f(5,2)解析：選B由z－2i＝eq\f(1,1－i)，得z＝2i＋eq\f(1,1－i)＝2i＋eq\f(1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(5,2)i，∴復數z在復平面內的點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，到原點的距離為eq\r(\f(1,4)＋\f(25,4))＝eq\f(\r(26),2).14．(多選)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，其中i為虛數單位，則下列元素屬于集合M的是()A．(1－i)(1＋i)B．eq\f(1－i,1＋i)C.eq\f(1＋i,1－i)D．(1－i)2解析：選BC根據題意，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，i，－i)).選項A中，(1－i)(1＋i)＝2,2?M；選項B中，eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i∈M；選項C中，eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝i∈M；選項D中，(1－i)2＝－2i?M，故選B、C.15．設復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝_______.解析：法一：設z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝eq\r(3)－a＋(1－b)i，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|z1|2＝a2＋b2＝4，,|z2|2＝\r(3)－a2＋1－b2＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,\r(3)a＋b＝2，))所以|z1－z2|2＝(2a－eq\r(3))2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(eq\r(3)a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2eq\r(3).法二：題設可等價轉化為