小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材研究

之小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專題

知識(shí)不是某種完備無(wú)缺、純凈無(wú)瑕、僵化不變的東西。它永遠(yuǎn)在創(chuàng)新，永遠(yuǎn)在前進(jìn)。

——[俄羅斯]普良尼施尼柯夫第五章小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專題

這一章將較為詳細(xì)地分析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常涉及到的一些專有名詞，如“表內(nèi)乘法”、“算理”、“算法”、“名數(shù)”、“數(shù)級(jí)”等，對(duì)這些核心名詞的理解有助于教科書的分析和教學(xué)。提綱第五章小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專題之

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的專有名詞

表內(nèi)乘法；名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)；

等分除和包含除；算理與算法；逆運(yùn)算與估算；與數(shù)有關(guān)的概念小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的專有名詞

在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材開展文本分析或進(jìn)行教學(xué)研究時(shí)，常常會(huì)遇到一些專有名詞，正確理解這些名詞既有助于教材文本分析，又有助于教學(xué)的實(shí)施。下面對(duì)一些重要的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常常涉及到的專有名詞進(jìn)行必要的解釋。

表內(nèi)乘法：指九九乘法表里可以直接用乘法口訣計(jì)算的乘法。在我國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，“九九乘法表”又分為“小九九乘法表”和“大九九乘法表”。一、表內(nèi)乘法

“小九九乘法表”的特點(diǎn)是，在每句口訣里表示相乘的兩個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)總是不大于第二個(gè)數(shù)，遇到相乘的兩個(gè)數(shù)相同時(shí)，該數(shù)的口訣就結(jié)束了。例如：5的乘法口訣：一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五．這五句都是在5的乘法口訣里。至于五六三十，五七三十五呢？則分別在6和7的口訣里，口訣一共45句。人們把它簡(jiǎn)稱為“小九九”。一、表內(nèi)乘法一、表內(nèi)乘法

“大九九乘法表的特點(diǎn)是，不管哪個(gè)數(shù)的乘法口訣，都是從l到9．例如：5的乘法口訣，一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五，六五三十，七五三十五，八五四十，九五四十五.這種乘法表的口訣一共81句，人們把這種口訣稱為“大九九”。

“小九九”只有45句，便于記憶；而“大九九”呢，共有81句，便于試商．下面根據(jù)試商過(guò)程中應(yīng)用乘法口訣的情況作簡(jiǎn)要說(shuō)明。（1）商大于除數(shù)的情況。例如：15÷3=5，24÷4=6，35÷5=7，48÷6=8，63÷7=9，……。當(dāng)學(xué)生遇到48÷6=？的時(shí)候，他們總是先想6的口訣，可是在6的乘法口訣里，最大是“六六三十六”，找不到六八四十八。為了彌補(bǔ)“小九九”的這種缺陷，在指導(dǎo)學(xué)生讀乘法口訣表時(shí)，除可以橫著讀、豎著讀之外，還應(yīng)該拐彎讀。一、表內(nèi)乘法

所以，學(xué)生掌握了科學(xué)讀口訣的方法之后，當(dāng)遇到“45÷5”的時(shí)候，如果只用5的口訣，最多是五五二十五。按照拐彎讀的方法，繼續(xù)讀出：五六三十，五七三十五，五八四十，五九四十五！得數(shù)是9.

（2）商小于除數(shù)的情況。例如：63÷9=7，48÷8=6，35÷7=5，24÷6=4，15÷5=3，……。實(shí)踐表明，學(xué)生見到除數(shù)是9，難免要先想到9的口訣，九幾六十三呢？在“小九九”里，沒有九幾六十三.

名數(shù)：數(shù)+單位名稱=名數(shù)

只帶有一個(gè)單位名稱的叫做單名數(shù)。如：5小時(shí)，3千克（只有一個(gè)單位）

帶有兩個(gè)或兩個(gè)以上單位名稱的叫做復(fù)名數(shù)。如：5小時(shí)6分，3千克500克（有兩個(gè)單位）在具體運(yùn)算時(shí)，常需要進(jìn)行單名數(shù)和復(fù)名數(shù)的互化。這是教學(xué)中的難點(diǎn)。二、名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)

有些復(fù)名數(shù)其實(shí)是有兩個(gè)不是同一級(jí)的名數(shù)，一個(gè)高級(jí)名數(shù)，一個(gè)低級(jí)名數(shù)，并且把數(shù)據(jù)分成了兩部分，高級(jí)名數(shù)是前一個(gè)，低級(jí)名數(shù)是后一個(gè)。例如，復(fù)名數(shù)1噸300千克中，噸是高級(jí)名數(shù)，千克是低級(jí)名數(shù)。教學(xué)在常需要根據(jù)具體的情境，把復(fù)名數(shù)1噸300千克改為單名數(shù)1.3千克，或把單名數(shù)1.3千克改為復(fù)名數(shù)1噸300千克。二、名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還常常進(jìn)行名數(shù)的互化。

高級(jí)名數(shù)化低級(jí)名數(shù)：如，0.45米＝45厘米（進(jìn)率是100，100×0.45＝45

）；

0．36千克＝360克（進(jìn)率是1000，1000×0．36＝360

）

低級(jí)名數(shù)化高級(jí)名數(shù)：如,400千克=0.4噸；

5米=0.005千米。（進(jìn)率是1000

，

400÷1000=0.4；5÷1000=0.005）二、名數(shù)、單名數(shù)和復(fù)名數(shù)

小學(xué)教學(xué)中還有個(gè)教學(xué)難點(diǎn)是：學(xué)會(huì)把較大的數(shù)改寫成用“億”或“萬(wàn)”作單位的數(shù)，有時(shí)還需根據(jù)要求求它的近似數(shù)。例如，（1）1991年我國(guó)棉花產(chǎn)量達(dá)到5663000噸。可寫作“1991年我國(guó)棉花產(chǎn)量達(dá)到566．3萬(wàn)噸?！?/p>

（2）1991年我國(guó)石油產(chǎn)量達(dá)到139680000噸。可寫作“1991年我國(guó)石油產(chǎn)量約達(dá)到1.39億噸

?！薄咀ⅰ?/p>

除法有兩方面的意義，把一個(gè)數(shù)（被分的總數(shù)，叫做被除數(shù)）平均分成若干份，求一份是多少，叫做等分除，求一個(gè)數(shù)里面包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)，叫做包含除。三、等分除和包含除：

進(jìn)一步說(shuō)，“等分除”是將整體平均分成幾份，求每一份的數(shù)量；“包含除”即告訴每一份的數(shù)量，求能將整體平均分成幾份。

例：8個(gè)桃子分給4個(gè)猴子，每只猴子平均分幾個(gè)？這是“等分除”；8個(gè)桃子，每個(gè)猴子分2個(gè)，可以分給幾只猴子？這是“包含除”。仿此，12個(gè)西瓜，3個(gè)籃子，平均每個(gè)籃子分幾個(gè)西瓜？是“等分除”；8個(gè)蘋果，每個(gè)籃子里放2只，可以放幾個(gè)籃子？是“包含除”。三、等分除和包含除

由此可見，“等分除”是由整體求部分，“包含除”是由部分求整體。

傳統(tǒng)教科書把除法分成“等分除”與“包含除”兩種類型，新課改的教科書沒有人為地把除法分為“等分除”與“包含除”，這是因?yàn)榻炭茣木幷哒J(rèn)為，不論是“等分除”還是“包含除”，其實(shí)質(zhì)都是將整體分為若干相等的部分。取消這兩種除法類型的劃分將更有利于把握除法的本質(zhì)意義。三、等分除和包含除

對(duì)是否需要區(qū)分“等分除”、“包含除”？有些一線教師認(rèn)為：三、等分除和包含除

“多年教六年級(jí)，感覺六年級(jí)學(xué)生對(duì)除法的問(wèn)題都是稀里糊涂做出來(lái)的，根本就不知道除法的道理，如果低年級(jí)老師能夠解釋一下，學(xué)生頭腦中可能會(huì)形成恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，對(duì)除法意義的理解也可能會(huì)更深刻些?！?/p>

分?jǐn)?shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。難在哪里?其實(shí)并不在等分蛋糕之類的語(yǔ)言表述上。細(xì)細(xì)想來(lái)，原來(lái)是“包含除”的數(shù)學(xué)思想方法沒有很好掌握之故。

等分除的問(wèn)題是從整體到部分，問(wèn)的是部分“有多大”；包含除的問(wèn)題則是從部分到整體,即已知部分的大小，問(wèn)其整體含有幾個(gè)部分，部分在整體里“占多少”。“等分除”是分?jǐn)?shù)的幾何模型，“包含除”是分?jǐn)?shù)的算術(shù)模型。

幾何模型理解起來(lái)方便一些，算術(shù)模型缺少幾何背景，理解起來(lái)相對(duì)困難一些，但是它在數(shù)學(xué)里也更為深刻一些。三、等分除和包含除

除法常常問(wèn)整體包含了多少個(gè)部分，當(dāng)然也可以問(wèn)部分包含了多少個(gè)整體，答案一般會(huì)是分?jǐn)?shù)。實(shí)際上，這種一個(gè)量占另一個(gè)量多大份額的問(wèn)題乃是分?jǐn)?shù)單元最核心的本質(zhì)問(wèn)題。

“比”的概念是把一個(gè)部分作為新的整體來(lái)看，研究彼此之間的包含除關(guān)系。三、等分除和包含除

算理：是計(jì)算過(guò)程中的道理，是指計(jì)算過(guò)程中思維方式，是解決為什么這樣算的問(wèn)題。

算法：由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，準(zhǔn)確理解“算理”、“算法”的關(guān)系是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的關(guān)鍵。四、算理與算法1.算理與算法的關(guān)系

當(dāng)學(xué)生進(jìn)行了一定量的練習(xí)以后，發(fā)現(xiàn)了計(jì)算的規(guī)律：個(gè)位數(shù)只能與個(gè)位數(shù)直接相加、十位數(shù)只能與十位數(shù)直接相加、百位數(shù)只能與百位數(shù)直接相加，也就是相同數(shù)位上的數(shù)才能直接相加，最后再把幾個(gè)得數(shù)合并，這是學(xué)生感悟算理的過(guò)程；最后進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算過(guò)程，為了便于計(jì)算一般寫成豎式形式，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出普遍適用的計(jì)算法則：把相同數(shù)位對(duì)齊列出豎式，再?gòu)膫€(gè)位加起，滿十向前一位進(jìn)一，這就是算法。

從上面的分析可以看出算理與算法有這些關(guān)系：算理是客觀存在的規(guī)律，算法卻是人為規(guī)定的操作方法；算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和正確性，算法為計(jì)算提供了快捷的操作方法，提高了計(jì)算的速度；算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經(jīng)過(guò)算法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，它們是相輔相成的。1.算理與算法的關(guān)系

2.如何處理算理和算法的關(guān)系

怎樣處理好算理與算法教學(xué)統(tǒng)一，使學(xué)生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高計(jì)算的速度和正確率呢？下面就以人教版二年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)70頁(yè)的兩位數(shù)乘一位數(shù)為例，說(shuō)說(shuō)如實(shí)現(xiàn)算理與算法的教學(xué)統(tǒng)一。（1）引導(dǎo)研究，理解算理

學(xué)生只有理解了計(jì)算的道理，才能“創(chuàng)造”出計(jì)算的方法，才能理解和掌握計(jì)算方法，才能正確迅速地計(jì)算，所以計(jì)算教學(xué)必須從算理開始。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)算的道理進(jìn)行深入的研究，幫助學(xué)生應(yīng)用已有的知識(shí)領(lǐng)悟計(jì)算的道理。（1）引導(dǎo)研究，理解算理

例如，首先引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么可以用14×2計(jì)算？使學(xué)生明白14×2表示求2個(gè)14是多少；其次，讓學(xué)生思考：你打算怎么計(jì)算14×2？使學(xué)生明白14是由1個(gè)十和4個(gè)一組成的，可以把14×2轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的乘法計(jì)算：先算2個(gè)10是多少，再算2個(gè)4是多少，最后，把兩次算的得數(shù)合并，計(jì)算的過(guò)程有三個(gè)算式：4×2=8，10×2=20，20+8=28。通過(guò)這樣的研究學(xué)生就理解兩位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算的道理，學(xué)生就能應(yīng)用這樣的道理解決其他兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算問(wèn)題。

（2）及時(shí)練習(xí)，鞏固內(nèi)化通過(guò)上面的計(jì)算研究，學(xué)生雖然初步理解了兩位數(shù)乘一位數(shù)的道理，但是此時(shí)學(xué)生對(duì)算理的理解還處于似懂非懂的狀態(tài)，學(xué)生是否真正掌握了算理還要經(jīng)過(guò)實(shí)際計(jì)算才能得到檢驗(yàn)和鞏固，此時(shí)及時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的練習(xí)是很有必要的，只有在練習(xí)中才能把算理內(nèi)化為自己的理解，才能使學(xué)生理解和掌握算理。

（2）及時(shí)練習(xí)，鞏固內(nèi)化

所以在學(xué)生初步理解了算理后，應(yīng)當(dāng)及時(shí)組織學(xué)生用兩、三個(gè)算式進(jìn)行兩位數(shù)乘一位數(shù)的練習(xí)，使學(xué)生在練習(xí)中加深對(duì)算理的理解，在練習(xí)中牢固掌握算理，為后面的抽象、概括計(jì)算方法奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（3）應(yīng)用算理，進(jìn)行創(chuàng)造

算理是計(jì)算的思維本質(zhì)，如果都這樣思考著算理進(jìn)行計(jì)算，不但思維強(qiáng)度太大，而且計(jì)算的速度很慢。為了提高計(jì)算的速度，使計(jì)算更方便、快捷，就必須尋找到計(jì)算的普遍規(guī)律，抽象、概括出計(jì)算法則。計(jì)算法則是算理的外在表達(dá)形式，是避開了復(fù)雜思維過(guò)程的程式化的操作步驟，它使計(jì)算變得簡(jiǎn)便易行，它不但提高了計(jì)算的速度，還大大提高計(jì)算的正確率。

（3）應(yīng)用算理，進(jìn)行創(chuàng)造所以當(dāng)學(xué)生理解和掌握了算理之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行反思，啟發(fā)學(xué)生再思考：計(jì)算14×2要寫出三個(gè)算式，你的感覺怎樣？可以簡(jiǎn)化一下嗎？怎么簡(jiǎn)化？學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、同伴交流、創(chuàng)造方便、快捷的計(jì)算方法：可以像計(jì)算加減法那樣用豎式計(jì)算，根據(jù)算理：先算4×2=8，在個(gè)位上寫上8，再算10×2=20，在十位上寫2、個(gè)位上寫0，最后再把8和20加起來(lái)等于28，得出豎式。接著再啟發(fā)學(xué)生思考：還能再簡(jiǎn)化嗎？通過(guò)師生共同研究，最終得出豎式計(jì)算的算法。

（4）觀察比較，歸納方法

當(dāng)學(xué)生比較熟練地繼續(xù)豎式計(jì)算后，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)豎式計(jì)算過(guò)程進(jìn)行觀察反思：這些乘法的豎式計(jì)算都是怎么算的？分幾個(gè)步驟？從而歸納出兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算法則：先用一位乘數(shù)乘兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)，積的末尾寫在個(gè)位上，再用一位乘數(shù)乘兩位的十位數(shù)，積的末尾寫在十位上。

（4）觀察比較，歸納方法

這樣的計(jì)算就不再思考每一步的計(jì)算道理，只要按照這樣的操作步驟進(jìn)行演算就能得到計(jì)算的結(jié)果，由于避開了復(fù)雜的思維過(guò)程，縮短計(jì)算的思維路徑，把計(jì)算演變成一種機(jī)械的、程式化的操作方法，所以計(jì)算的速度大大加快，計(jì)算的效率大大提高。

這樣的教學(xué)是以思維為主線、以算理為先導(dǎo)、以創(chuàng)造為契機(jī)，學(xué)生不但理解了算理，而且創(chuàng)造出了簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，并發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，歸納出計(jì)算的法則，可以實(shí)現(xiàn)算理與算法的統(tǒng)一。課改前：忽視算理，套用算法，只管對(duì)快；課改初：計(jì)算教學(xué)轉(zhuǎn)到了另一個(gè)極端，十分重視你是怎么算的，還可以怎樣算，而缺少計(jì)算方法的提煉，導(dǎo)致算理很突出，算法不扎實(shí)，學(xué)生計(jì)算技能不夠熟練。當(dāng)前：尋求算理與算法的平衡點(diǎn)成了計(jì)算教學(xué)的關(guān)鍵。“算理與算法”的現(xiàn)狀分析

逆運(yùn)算：兩種運(yùn)算中，第一種運(yùn)算的條件是第二種運(yùn)算的結(jié)果，第二種運(yùn)算的結(jié)果是第一種運(yùn)算的條件。這兩種運(yùn)算叫做互為逆運(yùn)算。

加法和減法互為逆運(yùn)算；乘法和除法互為逆運(yùn)算。由此可以得到計(jì)算的策略：“想加法做減法；想乘法做除法”五、逆運(yùn)算與估算【注】

乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。如,5+5+5=5×3，那么，除法和減法的關(guān)系是什么？

除法可以看作連續(xù)減去相同數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，被除數(shù)就是被減數(shù)，除數(shù)就是相同的減數(shù)，連減的最多次數(shù)就是商。如，20÷5=20-5-5-5--5-5=4.如果連續(xù)減去若干次后，剛好減完，說(shuō)明余數(shù)為0；如果連續(xù)減去若干次后最后的差不是0，但比除數(shù)小，那么最后的差是余數(shù)。

估算：估算是根據(jù)具體條件及有關(guān)知識(shí)對(duì)事物的數(shù)量或算式的結(jié)果作出的大概推斷或估計(jì)。估算是計(jì)算能力的重要組成部分。五、逆運(yùn)算與估算

一學(xué)段：能用多種方法進(jìn)行估算。（估算意識(shí)的培養(yǎng)）

二學(xué)段：能根據(jù)實(shí)際情況對(duì)估算方法進(jìn)行評(píng)估。（估算技能的培養(yǎng)）《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“估算”教學(xué)的要求

估算是在計(jì)算、測(cè)量時(shí)無(wú)法也沒有必要進(jìn)行精確計(jì)算或測(cè)量，對(duì)數(shù)量關(guān)系做合理的大概推斷。在小學(xué)課堂教學(xué)中，何時(shí)“估算”、何時(shí)“精確計(jì)算”？可以參考下面的建議。五、逆運(yùn)算與估算用計(jì)算器問(wèn)題情境用筆算需要計(jì)算需要近似答案估算需要精確答案用心算精算與估算“估算”教學(xué)的策略——教學(xué)生估算的方法1.湊整。

取整十?dāng)?shù)、四舍五入

3.利用特殊數(shù)據(jù)特點(diǎn)估數(shù)。127×26×7×3=127×26×21≈130×625=812502.取中間數(shù)。

672+678+673+679≈675×4=27004.尋找區(qū)間，看首位。首位-1：至少；首位都+1：最多。例如，4.3×3.7

至少：4×3=12最多：5×4=205.都往大估，或都往小估；一個(gè)估大，一個(gè)估小；或一個(gè)估，一個(gè)不估（視具體情境而定）先估后調(diào)?！肮浪恪苯虒W(xué)的策略——教學(xué)生估算的方法例：媽媽用100元錢買下列物品，夠嗎？24元33元44元6.利用乘法口訣估算。

“兩位數(shù)除以一位數(shù)的估算”（三下）教科書中設(shè)計(jì)了如下一些估算題目：

59÷388÷391÷241÷462÷4……7.利用估算進(jìn)行判斷。612÷3≈24128×83=7994292×29=10128“估算”教學(xué)的策略——教學(xué)生估算的方法

總之，估算的方法有多種，要讓學(xué)生在日常生活中多觀察，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法解決問(wèn)題，通過(guò)不失時(shí)機(jī)的估算訓(xùn)練，使學(xué)生感受到估算是解決問(wèn)題的一種策略。用它可以簡(jiǎn)潔并迅速地解決某些問(wèn)題，從而在培養(yǎng)學(xué)生估算技能的同時(shí)逐步向?qū)W生滲透估算的意識(shí)和理念。五、逆運(yùn)算與估算

基數(shù)和序數(shù)：當(dāng)一個(gè)自然數(shù)被用來(lái)表示事物數(shù)量多少的時(shí)候，通常稱為基數(shù)，當(dāng)一個(gè)自然數(shù)被用來(lái)表示事物次序的時(shí)候，通常稱為序數(shù)。

數(shù)字值：數(shù)字本身所表示的值叫做數(shù)字值。

位置值：數(shù)字本身與其位置結(jié)合起來(lái)所表示的值叫做位置值。六、與數(shù)有關(guān)的概念

在自然數(shù)集中，對(duì)大于1的自然數(shù)，如果其因數(shù)除了1和它本身之外，不能被其他數(shù)整除，稱這樣的自然數(shù)為質(zhì)數(shù)，又稱素?cái)?shù)。除1、0以外不是質(zhì)數(shù)的正整數(shù)稱為合數(shù)?！?”、“1”既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

互質(zhì)數(shù)：幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1的時(shí)候，這幾個(gè)數(shù)就叫做互質(zhì)數(shù)。六、與數(shù)有關(guān)的概念

數(shù)級(jí)：我國(guó)習(xí)慣上把多位數(shù)按四位分級(jí)，即從個(gè)位起，每四個(gè)數(shù)位算作一級(jí)。個(gè)、十、百、千位是個(gè)級(jí)，萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)是萬(wàn)級(jí)，億、十億、百億、千億位是億級(jí)。個(gè)級(jí)，萬(wàn)級(jí)，億級(jí)等叫做數(shù)級(jí)。

準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中有些量需要用和實(shí)際情況完全符合的數(shù)來(lái)表示，這些數(shù)叫做準(zhǔn)確數(shù)。六、與數(shù)有關(guān)的概念

純小數(shù)：一個(gè)整數(shù)部分是零的小數(shù)。

循環(huán)小數(shù)：從小數(shù)點(diǎn)后某一位開始不斷地出重復(fù)現(xiàn)前一個(gè)或一節(jié)數(shù)碼的十進(jìn)制無(wú)限小數(shù)，如2.1666…；35.232323…等，叫做循環(huán)小數(shù)，被重復(fù)的一個(gè)或一節(jié)數(shù)碼稱為循環(huán)節(jié)。循環(huán)小數(shù)的縮寫法是將第一個(gè)循環(huán)節(jié)以后的數(shù)碼全部略去，而在保留的循環(huán)節(jié)首末兩位上方各添一個(gè)小點(diǎn)。例如：六、與數(shù)有關(guān)的概念2.166…6…縮寫為2.16（讀作“二點(diǎn)一六，六循環(huán)”）

0.34103103…103…縮寫為0.34103（讀作“零點(diǎn)三四一零三，一零三循環(huán)”）六、與數(shù)有關(guān)的概念...

循環(huán)小數(shù)中，如果小數(shù)部分從十分位開始出現(xiàn)循環(huán)的循環(huán)小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)；從十分位后開始循環(huán)的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù)。

脫式：對(duì)于四則混合運(yùn)算的式子題，按照運(yùn)算的順序（有括號(hào)要先算括號(hào)內(nèi)的式子；其次計(jì)算乘、除，后算加、減；同級(jí)運(yùn)算按從左至右的順序計(jì)算），一步一步地運(yùn)算的式子，叫做脫式，或脫式計(jì)算。例如：六、與數(shù)有關(guān)的概念408－12×24；(108＋47)×52;420×(327－238)；(46＋28)×6042×50－1715÷532＋105÷5.有趣的數(shù)：

在古希臘，數(shù)有各種各樣的意思。如有下列一些情況：

1意味著創(chuàng)造；

2像征女性；

3像征男性；

2加3等于5，所以5就表示結(jié)婚。

案例完整數(shù)：

在自然數(shù)n的約數(shù)中，把除了n以外的約數(shù)全部相加，結(jié)果正好是n時(shí)，則把這個(gè)n稱為完整數(shù)。

例如:第一個(gè)完整數(shù)是6，它有約數(shù)1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個(gè)數(shù)相加，1＋2＋3＝6。第二個(gè)完整數(shù)是28，它有約數(shù)1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5個(gè)數(shù)相加，1＋2＋4+7+14＝28。后面的完整數(shù)是496、8128.友愛數(shù)和婚約數(shù)：

有兩個(gè)正整數(shù)a、b，a除了自身以外的約數(shù)之和等于b，b除了自身以外的約數(shù)之和等于a，把這樣的一組數(shù)稱為“友愛數(shù)”。比如220和284.a除了1和自身以外的約數(shù)之和等于b，b除了1和自身以外的約數(shù)之和等于a，把這樣的一組數(shù)稱為“婚約數(shù)”。比如48和75

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遙遠(yuǎn)的古代，人們發(fā)現(xiàn)某些自然數(shù)之間有特殊的關(guān)系：如果兩個(gè)數(shù)a和b，a的所有真因數(shù)之和等于b,b的所有真因數(shù)之和等于a,則稱a,b是一對(duì)友愛數(shù)。據(jù)說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,約前580年—前500年)的一個(gè)門徒向他提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“我結(jié)交朋友時(shí)，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達(dá)哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，要象220和284一樣親密?！?20和284是人類最早發(fā)現(xiàn)，又是最小的一對(duì)友愛數(shù)。

在以后的1500年間，世界上有很多數(shù)學(xué)家致力于探尋友愛數(shù)，面對(duì)茫茫數(shù)海，無(wú)疑是大海撈針，雖經(jīng)一代又一代人的窮思苦想，有些人甚至為此耗盡畢生心血，卻始終沒有收獲。直到費(fèi)爾馬(P