數列通項公式的常用求法

求數列的通項公式是考試的熱點問題，等差、等比數列可直接利用其通項公式求解，但有些數列是以遞推關系給出的，需要構造新數列轉為等差或等比數列，再利用公式求解例1.分別寫出下列數列的一個通項公式．一、觀察法例2.南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（

）個球．

A．12 B．20

C．55 D．110解析由題意知：故選：C.

觀察法即根據所給的一列數、式、圖形等，通過觀察分析數列各項的變化規律，求其通項．使用觀察法時要注意：

①觀察數列各項符號的變化，如果符號正負相間，則符號可用(－1)n或(－1)n＋1來調節．

②分式形式的數列，分子和分母分別找通項，并充分借助分子和分母的關系來解決．③對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數列、等比數列和其他方法來解決．此類問題雖無固定模式，但也有規律可循，主要靠觀察(觀察規律)、比較(比較已知的數列)、歸納、轉化(轉化為等差、等比或其他特殊數列)等方法來解決．方法總結練習.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列的第25項與第24項的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【提示】分奇偶項考慮.對點練習二、利用an與Sn的關系解析∵數列{an}的前n項和Sn＝n2－2n，∴a1＝S1＝－1，當n≥2時，Sn－1＝(n－1)2－2(n－1)＝n2－4n＋3，故an＝Sn－Sn－1＝2n－3，當n＝1時，an＝2n－3也成立，故?n∈N*，an＝2n－3.例3.(1)已知數列{an}的前n項和Sn＝n2－2n，那么它的通項公式為an＝________.已知Sn求an已知an與Sn的關系求an(2)已知數列{an}的前n項和為Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，則a100＝(

)A．297B．298 C．299D．2100解析：當n≥2時，由an＋1＝Sn

①，

可得an＝Sn－1

②，兩式相減得，an＋1－an＝an，所以an＋1＝2an，n≥2，當n＝1時，a2＝S1＝a1＝2，故數列{an}是從第2項開始的，公比是2的等比數列，所以，所以a100＝299.故選C.(3)設Sn是數列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結論正確的是(

)BCD又a1＝－1不符合上式，方法總結拓展：設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝__________.解析因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，兩式相減得(2n－1)an＝2，又由題設可得a1＝2，滿足上式，類似已知Sn求an，作差法求通項.解析：當n＝1時，a1＝14，對點練習三、公式法例4.(1)已知數列{an}滿足an+1=an﹣2

，且a1=1，求an。(2)已知數列{an}滿足an+1=2an，且a1=2，求an。由遞推式an+1=an+d(d為常數)或an+1=qan(q為常數)知相應數列為等差或等比數列，可直接利用其通項公式求解.an=﹣2n+3an=2n﹣2變為n，該如何求？﹣2變為，該如何求？方法總結∴{an}是等差數列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),則an=_______.解:n=m=1時，a2=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1時,由an+am=an+m

得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，則bn=_______.解：n=m=1時，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1時,由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首項為b1=2，公比為q=2的等比數列，bn=2·2n-1=2n

2n

對點練習四、累加法例4.(1)已知數列{an}滿足an+1=an﹣2

，且a1=1，求an。例5.已知數列{an}滿足an+1=an+n

，且a1=1，求an。解析：

因為an+1=an+n，所以an+1-an=n,a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，……an－an－1＝

n－1(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝1+2+3+…+n－1，因此所以

(n≥2)，且a1＝1也適合，形如an＋1－an＝f(n)的數列，可構造：把以上各式累加法，即可求數列{an}的通項公式．即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2).方法總結練習.在數列{an}中，an＋1－an＝3n－22，a1＝－2，則a30＝(

)A．659B．661C．663D．665解析因為an＋1－an＝3n－22，所以a2－a1＝－19，a3－a2＝－16，…，a30－a29＝65，所以a30－a1＝＝667，故a30＝a1＋667＝665.對點練習五、累乘法例4.(2)已知數列{an}滿足an+1=2an，且a1=3，求an。例6.數列{an}中，,求數列的通項an。形如

的數列，可構造再把所得的(n－1)個等式相乘，即可求數列{an}的通項公式．即利用

(n≥2).方法總結數列{an}滿足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則a6＝________.對點練習

1.若數列

{an}

滿足

a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),則數列{an}

的通項

an=

.

2.若數列

{an}

滿足

a1=1,a1·a2·a3·…·an=n2

(n≥2),則數列{an}

的通項

an=

.和式用減法積式用除法延伸練習

此處兩法與前面的累加法、累乘法，可稱為逆向思維求通項．

對于一些遞推關系較復雜的數列，可通過對遞推關系公式的變形、整理，從中構造出一個新的等比或等差數列，從而將問題轉化為前面已解決的幾種情形來處理。

六、構造法例7.(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項公式an＝______.解析設遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.例7.(2)已知數列{an}中，求通項公式an

。例7.(3)已知數列{an}中，求通項公式an

。解析方法總結(4)已知數列{an}中a1=1，,求an.解：兩邊取倒數得：所以數列是以為首項，為公差的等差數列.倒數法方法總結1.已知數列{an}滿足,求數列通項公式。2.已知數列{an}滿足,求數列通項公式。3.已知數列{an}滿足，求數列通項公式。4.已知數列{an}中a1=1，,求an對點練習課堂小結由遞推公式求數列的通項公式：(5)an+1=pan+q（p,q為常數）等差數列等比數列累加法累乘法an+1+x=p(an+x)an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)例8.已知數列{an}中a1=3，.證明：數列{ln(an-1)}是等比數列，并求數列{an}的通