專題08比例線段（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)11種題型3個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：相似圖形的概念知識(shí)點(diǎn)2：相似多邊形的概念（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3；兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4：比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5：黃金分割（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)6：平行線分線段成比例（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：相似圖形的判定題型2：由相似多邊形的概念判斷命題的真假題型3：識(shí)別成比例線段題型4：與比例線段有關(guān)的計(jì)算題型5：有關(guān)比例尺的計(jì)算題型6：利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算題型7：黃金分割的實(shí)際應(yīng)用題型8：平行線分線段成比例應(yīng)用題型9：設(shè)輔助元求值題型10：與比例線段有關(guān)的開放題題型11：平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論與平行四邊形的綜合【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位易錯(cuò)點(diǎn)2：判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)3：解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似多邊形及相似比等有關(guān)概念。2.了解比例線段的概念，了解比例的基本性質(zhì)、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用比例性質(zhì)進(jìn)行簡單的變形。3.了解黃金分割點(diǎn)的概念，掌握基本事實(shí)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”及其推論?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似圖形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形．重點(diǎn)剖析：相似圖形不僅有平面圖形，還有立體圖形，在初中階段主要研究平面圖形的相似。在兩個(gè)大小不相等的相似圖形中，我們可以認(rèn)為大的圖形是由小的圖形經(jīng)過放大而成的，也可以認(rèn)為小的圖形是由大的圖形經(jīng)過縮小而成的。學(xué)法指導(dǎo)：兩個(gè)圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)。【例1】（2022秋?埇橋區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．任意兩個(gè)正方形 B．任意兩個(gè)平行四邊形 C．任意兩個(gè)菱形 D．任意兩個(gè)矩形【變式】下列給出的圖形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一張底片印出來大小不同的照片（B）一張巨幅畫像和用照相機(jī)把它拍出來的照片（C）小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像（D）五星紅旗上的大五角星和小五角星知識(shí)點(diǎn)2相似多邊形的概念（重點(diǎn)）如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長度成比例．當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們對(duì)應(yīng)邊的長度的比值為1．注意?。。∨袛鄡蓚€(gè)多邊形是否相似時(shí)，既要考慮對(duì)應(yīng)角是否相等，又要考慮對(duì)應(yīng)邊長度的比是否相等，二者缺一不可。學(xué)法指導(dǎo)：在判斷兩個(gè)多邊形是否為相似多邊形時(shí)，邊數(shù)相同、角分別相等容易判斷，而邊是否成比例則需要通過計(jì)算來確定，即分別計(jì)算長邊與長邊的比，短邊與短邊的比，在判斷時(shí)應(yīng)注意對(duì)應(yīng)關(guān)系。【例2】某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.

【變式】已知四邊形與四邊形相似，且.四邊形的周長為26.求四邊形的各邊長.知識(shí)點(diǎn)3兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）兩條線段的比：注意?。?！在計(jì)算兩條線段的比時(shí)，這兩條線段的長度單位必須要統(tǒng)一。兩條線段的比是一個(gè)沒有單位的正實(shí)數(shù)，該比值與線段的長度無關(guān)。在地圖或工程圖紙上，圖上距離與實(shí)際距離的比通常稱為比例尺，因此比例尺也是兩條線段的比的一種形式。2．成比例線段：對(duì)于四條線段、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意！??！比例線段是有順序的，即比例線段、b、c、d與比例線段、c、b、d是不同的?！纠?】（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組線段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm知識(shí)點(diǎn)4比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）（1）基本性質(zhì)：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質(zhì)：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質(zhì)：如果，那么．重點(diǎn)剖析：利用比例的基本性質(zhì)可以在比例式和等積式之間互相轉(zhuǎn)化。將比例式化為等積式是有條件的，并不是比例式中的四個(gè)字母中的任意兩個(gè)字母的乘積就等于另外兩個(gè)字母的乘積，而是比例的外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積。使用等比性質(zhì)時(shí)，要注意b+d≠0這個(gè)條件，否則這個(gè)性質(zhì)不成立?！纠?】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則（

）A．?3 B．3 C． D．知識(shí)點(diǎn)5黃金分割如果點(diǎn)把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項(xiàng)，那么稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)稱為線段的黃金分割點(diǎn)．其中，，稱為黃金分割數(shù)，簡稱黃金數(shù)．注意?。?！一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，因此，一般說點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，需加注或AP＜BP，否則在已知AB的長度求AP（或BP）的長度時(shí)，會(huì)有兩種情況，此時(shí)應(yīng)分情況討論。【例5】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考一模）主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上（BP長為x），則x滿足的方程是（）A． B．C． D．以上都不對(duì)知識(shí)點(diǎn)6平行線分線段成比例基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，那么．平行線分線段成比例速記口訣?。。∑叫芯€分線段，成比例是關(guān)鍵。先找出平行線，再找出上、下、全，對(duì)應(yīng)之比均相等，代入數(shù)值求線段。【例6】（2022秋·安徽六安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（）A． B． C． D．【變式】（2023秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【方法二】實(shí)例探索法題型1相似圖形的判定1.下面的四個(gè)圖案是空心的矩形，正方形，等邊三角形，不等邊三角形，其中每個(gè)圖案的邊的寬度都相等，那么每個(gè)圖案中邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）2.如果兩個(gè)四邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，能不能得出這兩個(gè)四邊形相似？為什么？

題型2由多邊形的概念判斷命題的真假3.下列說法中，正確的是（）A．兩個(gè)矩形必相似 B．兩個(gè)含45°角的等腰三角形必相似 C．兩個(gè)菱形必相似 D．兩個(gè)含45°角的直角三角形必相似4.下列判斷中，正確的是（）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個(gè)角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似題型3識(shí)別比例線段5.下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm6.下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，題型4與比例線段有關(guān)的計(jì)算7．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若線段、、、成比例，其中，，，則____．8．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項(xiàng)是______cm．9．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎龡l線段、、，其中，，是、的比例中項(xiàng)，則_____．題型5有關(guān)比例尺的計(jì)算10.在比例尺為的地圖上，量得與兩地的距離是厘米，則與兩地的實(shí)際距離是 ．題型6利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算11．（2023春·安徽淮北·九年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則________．12．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．題型7黃金分割的實(shí)際應(yīng)用13．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）生活中到處可見黃金分割的美，如上圖,在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)：使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（

）．A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米14.主持人站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，如果舞臺(tái)AB長為20米，一個(gè)主持人現(xiàn)站在舞臺(tái)AB的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)C處，則下列結(jié)論一定正確的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A.①②③④B.①②③C.①③D.④15．（2023?合肥一模）設(shè)點(diǎn)C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則AC的長為cm．16．（2023?雨山區(qū)一模）數(shù)學(xué)中，把這個(gè)比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），若線段AB的長為8cm，則BP的長為cm．17．（2022秋?霍邱縣期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB（AP＞BP）上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)P是AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)B進(jìn)入，則他至少走多少米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上？（結(jié)果保留根號(hào)）18．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．如圖，若舞臺(tái)長為20米，主持人現(xiàn)站在A處，請(qǐng)問主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少多少米處才最自然得體？（結(jié)果精確到米）19.寬與長之比為的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個(gè)黃金矩形里面畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.題型8平行線分線段成比例的應(yīng)用20.（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．21.如圖，，，，求的值．22.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．23．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，是邊的中線，，與交于點(diǎn)G，求的值．24．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，．求證：．題型9設(shè)輔助元求值25．（2022秋?宣州區(qū)期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．26．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知線段，，滿足，且．(1)求線段，，的長．(2)若線段是線段，的比例中項(xiàng)，求線段的長．27．（2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)?？计谀┮阎猘，b，c為的三邊長，且，．(1)求線段a，b，c的長；(2)若線段x是線段a，b的比例中頂（即），求線段x的長．28．（2022秋?無為市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知線段a＝4cm，線段b＝9cm，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段c的長．29．（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段a、b、c滿足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x．題型10：與比例線段有關(guān)的開放題30．已知三個(gè)數(shù)、、，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)，使它們成比例，求出所有符合條件的數(shù)．題型11：平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論與平行四邊形的綜合31.如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長線交 的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．32．（2022·安徽安慶·校聯(lián)考一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．(1)若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE=CF，求證：DE=DF；(2)若AD⊥BC于D，且BD=CD，求證：四邊形AEDF是菱形；(3)若AE=AF=1，求的值．33．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經(jīng)過點(diǎn)C．（1）DQ＝10米時(shí)，求△APQ的面積．（2）當(dāng)DQ的長為多少米時(shí)，△APQ的面積為1600平方米．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位。34.在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實(shí)際距離為km．35.東海大橋全長千米，如果東海大橋在某張地圖上的長為厘米，則這張地圖的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）易錯(cuò)點(diǎn)2：判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)。36.已知有三條線段的長分別為，，的線段，請(qǐng)?jiān)偬硪粭l線段，使這四條線段成比例，求所添線段的長度．37.已知甲、乙兩個(gè)三角形相似，甲三角形的三邊長分別為、、，乙三角形其中一邊的長為，求乙三角形的另外兩邊的長．易錯(cuò)點(diǎn)3：解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)38.（1）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，厘米，求的長；（2）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，求的值．39.如圖，樂器上的一根弦厘米，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，求的長．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知線段a，b，c，求作線段x，使x滿足的作圖中不正確的是（）A． B． C． D．2．（2023春·吉林長春·八年級(jí)長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、3．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（），那么下列結(jié)論正確的為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，直線分別交、、于點(diǎn)、、，直線分別交、、于點(diǎn)、、，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．5．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，連接小正方形中兩個(gè)頂點(diǎn)、，線段與網(wǎng)格線的其中兩個(gè)交點(diǎn)為、，那么：：的值是（）A．：： B．：： C．：： D．：：6．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則=（）A．2 B．- C．-1 D．7．（2022秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，線段b是、的比例中項(xiàng)，則線段c的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．128．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，如圖，在中，分別在邊上，∥，，，則的長度為（

）A．4 B．6 C．12 D．159．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，正方形頂點(diǎn)E、F在邊上，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在內(nèi)部，連接并延長交于點(diǎn)D，若，，則長為（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.510．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：a、b、c滿足（），則k的值為（）A．2 B．0或2 C． D．2或二、填空題11．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校考階段練習(xí)）科學(xué)家們通過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外界環(huán)境溫度與人體正常體溫（）之比等于黃金分割比時(shí)，人體感覺最舒適，這個(gè)氣溫約為（精確到）．12．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，則＝．13．（2021秋·安徽安慶·九年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，那么線段的長是．14．（2022秋·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤?，則．15．（2023·安徽馬鞍山·校考一模）數(shù)學(xué)中，把這個(gè)比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然