第1章集合1.3交集、并集集合A在集合S中的補集?UA是由給定的兩個集合A，S得到的一個新集合.這種由兩個給定集合按照某種規則得到一個新集合的過程稱為集合的運算.集合的交與并也是常見的兩種集合運算.觀察下列各組集合：(1)A＝{－1，1，2，3}，B＝{－2，－1，1}，C＝{－1，1}；(2)A＝{x∣x＜3}，B＝{x∣x＞0}，C＝{x∣0＜x≤3}；(3)A＝{x∣x為矩形}，B＝{x∣x為菱形}，C＝{x∣x為正方形}.●集合A，B，C之間具有怎樣的關系?●如何用數學語言表述這種關系?觀察(1)，可以發現，1∈A且1∈B，即元素1既屬于集合A又屬于集合B.這樣的元素還有－1.所有這樣的元素構成的集合就是C＝{－1，1}.(2)(3)也具有這種特征.這時稱C是A與B的交集.一、交集定義文字語言由所有屬于集合A____屬于集合B的元素構成的集合，記作_______作(“A交B”)且A∩B符號語言_______＝{x∣x∈A，____x∈B.且A∩B圖形語言A∩B可用圖中的陰影部分來表示.顯然有A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B.思考A∩B＝A可能成立嗎?A∩B＝?可能成立嗎?本質由A、B兩個集合確定一個新的集合，此集合是A、B中的公共元素組成的集合，這個集合中的元素同時具有集合A和集合B的屬性.作用①依據定義求兩個集合的交集；②求參數的值或范圍.二、并集交集A∩B是由給定的兩個集合A，B經過“運算”而得到的新集合，這種運算稱為“交”.而集合間另一種稱為“并”的運算也十分常見.觀察集合A＝{－1，1，2，3}，集合B＝{－2，－1，1}，集合D＝{－2，－1，1，2，3}，可以發現，集合D是由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構成的.這時，D稱為A與B的并集.定義文字語言由所有屬于集合A______屬于集合B的元素構成的集合，稱為A與B的并集，記作_______(讀作“A并B”).或者A∪B符號語言_______＝{x∣x∈A，____x∈B.或A∪B圖形語言A∪B可用圖中的陰影部分來表示.顯然有A∪B＝B∪A，A?B∩A，A?B∩

B.思考A∪B＝A可能成立嗎?A∪?UA是什么集合??本質由A、B兩個集合確定一個新的集合，此集合是所有A、B中的元素組成的集合，這個集合中的元素至少具有集合A或集合B的屬性之一.作用①依據定義求兩個集合的并集；②求參數的值或范圍.【思考】“x∈A或x∈B”包含哪幾種情況?如何用Venn圖表示?提示：“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種情況：

x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；

x∈A，且x∈B.用Venn圖表示如圖所示.三、交集、并集的性質A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B.A∪B＝B∪A，A?B∩A，A?B∩

B.例1已知A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，求A∩B和A∪B.解：A∩B＝{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}；A∪B＝{－1，0，1}∪{－1，0，1，2，3}

＝{－1，0，1，2，3}.例2學校舉辦了排球賽，高一(1)班45名同學中有12名同學參賽.后來又舉辦了田徑賽，班上有20名同學參賽已知兩項都參賽的有6名同學.兩項比賽中，高一(1)班共有多少名同學沒有參加過比賽?解：設U＝{x∣x為高一(1)班的同學}，A＝{x∣x為參加排球賽的同學}，B＝{x∣x為參加田徑賽的同學}，則A∩B＝{x∣x為排球賽和田徑賽都參加的同學}.畫出Venn

圖：可知沒有參加過比賽的同學有45－(12＋20－6)＝19(名).答這個班共有19名同學沒有參加過比賽.例3設A＝{x∣x＞0}，B＝{x∣x≤1}，求A∩B和A∪B.解A∩B＝{x∣x＞0}∩{x∣x≤1}＝{x∣0＜x≤1}；A∪B＝{x∣x＞0}∪{x∣x≤1}＝R.四、區間的概念為了敘述方便，在以后的學習中，我們常常會用到“區間”的概念設a，b∈R，且a

＜b，規定：(表中a，b∈R，且a＜b)閉區間符號_________＝{x∣a≤x≤b}圖示

開區間符號__________＝{x∣a＜x＜b}圖示

[a，b](a，b)左閉右開區間符號____________＝{x∣a≤x＜b}圖示

左開右閉區間符號_________＝{x∣a＜x≤b}圖示[a，b)(a，b]符號“＋∞”讀作“正無窮大”，符號“－∞”

讀作“負無窮大”符號__________＝{x∣x＞a}圖示

符號___________＝{x∣x＜b}圖示

符號_____________＝R(a，＋∞)(－∞，b)(－∞，＋∞)[a，b]，(a，b)分別叫作閉區間、開區間；[a，b)叫作左閉右開區間，(a，b]叫作左開右閉區間；a，b叫作相應區間的端點.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)若A，B中分別有3個元素，則A∪B中必有6個元素.(

)?當A，B有公共元素時，A∪B中元素個數小于6.(2)若A∩B＝?，則A＝B＝?. (

)(3)對于任意兩個集合A，B，若A∩B＝A∪B，

則A＝B.(

)(4)若x∈A∩B，則x∈A∪B. (

)???2.已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，

則A∩B＝(

).A.{0，2}B.{1，2}C.{0}D.{－2，－1，0，1，2}A【拓展延伸】集合交、并、補的性質(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B);(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B).證明如下:用Venn圖表示(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)，有用Venn圖表示(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)有：【跟蹤訓練】1.已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x∣x2－x－2＝0}，則A∩B＝(

)A.? B.{2}

C.{0}D.{－2}B解析：因為B＝{x∣x2－x－2＝0}＝{－1，2}，A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}.解析2.已知集合A＝(－∞，1)，B＝(－∞，0)，則(

).A.A∩B＝(－∞，0) B.A∪B＝RC.A∪B＝(1，＋∞) D.A∩B＝?、A解析：因為A＝(－∞，1)，B＝(－∞，0)，

則A∩B＝(－∞，0)，A∪B＝(－∞，1).解析3.設集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，

則(A∩B)∪C＝_______________.

{1，2，3，4}解析：因為A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，

所以A∩B＝{1，2}.又C＝{2，3，4}，

所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}.解析4.已知集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a＋1}，

若A∩B＝{2}，則實數a的值為_________.

2解析：因為集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a＋1}，A∩B＝{2}所以a＝2或a＋1＝2，當a＝2時，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，成立；

當a＋1＝2時，a＝1，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}，不成立；

綜上，實數a的值為2.解析5.已知全集U＝R，A＝{x|－3＜x≤5}，

B＝{x|－5＜x＜－2或x＞5}，

分別求A∩B，A∪B，A∪?UB.借助數軸可知A∩B＝{x|－3＜x＜－2}，A∪B＝{x|x＞－5}，A∪?UB＝{x∣x≤－5或－3＜x≤5}.練習1.已知A＝{x∣x

為小于7的正偶數}，B＝{－2，0，2，4}，求A∩B和A∪B.解：A∩B＝{2，4}；A∪B＝{－2，0，2，4，6}.2.設U為全集，若A為的子集，則A∩A＝___________，A∪A＝____________，A∩?＝___________，A∪?＝____________，A∩?UA＝_________，A∪?UA＝__________.AA?A?U3.根據下列條件，分別求A∩B，A∪B.(1)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{－1，0，4}；(2)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{－1，0，1}；A∩B＝{－1，0}，A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}.A∩B＝{－1，0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}.(3)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{－1，0，1，2，3}；(4)A＝{－1，0，1，2，3}，B＝?.A∩B＝{－1，0，1，2，3}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}.A∩B＝?，A∪B＝{－1，0，1，2，3}.4.根據下列條件，分別求A∩B，A∪B.(1)A＝{x∣x≥0}，B＝{x∣x≤0}；(2)A＝{x∣x≥0}，B＝{x∣x＜2}；A∩B＝{0}，A∪B＝R；A∩B＝{x∣0≤x＜2}，A∪B＝R.(3)A＝{x∣x≥0}，B＝{x∣x＞2}.A∩B＝{x＞2}，A∪B＝{x∣x≥0}.5.設A＝{(x，y)∣y＝－4x＋61}，B＝{(x，y)∣y＝5x－31}，求A∩B.解：A∩B，即A＝B，－4x＋6＝5x－3，x＝1，y＝2.所以A∩B＝{(x，y)∣x＝1，y＝2}.6.設A＝{x∣x＝2k－1，k∈Z，B＝{x∣x＝2k，k∈Z}，

求A∩B，A∪B.解：A∩B無解，A∪B＝{x∣x∈Z，k∈Z}.習題1.2感受·理解1.填表：∩?AB????A?AA∩BB?B∩AB∪?AB??ABAAAA∪BBBB∪AB∩?A?UA????A?AU?UA?U?UA∪?A?UA??A?UAAAAU?UA?UAU?UA2.已知A＝(－1，3]，B＝[2，4)，求A∩B.解：由數軸可得A∩B＝[0，2]，3.已知A＝(0，1]，B＝[－1，0]，求A∪B.解：A∪B＝[－1，1]4.已知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{2，4，6，8}.(1)B?A成立嗎?A?B成立嗎?(2)求A∩B和A∪B.B?A成立；A?B不成立.A∩B＝B＝{2，4，6，8}A∪B＝A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}5.

已知A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，C＝{1，5，6}，

求

A∩(B∩C)

和(A∪B)∪C.解：B∩C＝{1}，故A∩(B∩C)＝{1}；A∪B＝{1，2，3，4}，

故(A∪B)∪C＝{1，2，3，4，5，6}.6.已知A＝{x∣x

≤0}，B＝{

x∣x≤1}，求A∩B，并

判斷A與B之間的關系.解：A∩B＝{x∣x

≤0}＝A，故A?B.7.在平面內，設A，B，O均為定點，P為動點，下列

集合分別表示什么圖形？(1){P∣PA＝PB}；(2){P∣PO＝1}.線段AB的垂直平分線；以O點為圓心，半徑為1的圓.8.某班級有三個微信群，文學群成員有：梅、蘭、竹、

桂、松、柳，數學群成員有梅、竹、松、楓、楊、樺，

音樂群成員有：蘭、菊、荷、桂、松、柳.用集合表

示三個群的成員.解：由題意，文學群成員用集合表示為：{梅，蘭，竹，桂，松，柳}.數學群成員用集合表示為：{梅，竹，松，楓楊，樺}.

音樂群成員用集合表示為：{蘭，菊，荷，桂松，柳}.9.寫出陰影部分所表示的集合.解：第一個圖，陰影部分在集合B中，但不在集合A中，所以可以表示為B∩(?UA).第二個圖陰影部分既在集合A中，也在集合B中又在集合C中，所以可以表示為A∩B∩C.思考·運用10.(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，4}，求?U(A∪B)與(?UA)∩(?UB)；解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，

B＝{1，4}∴A∪B＝{1，2，3，4，5},∴?U(A∪B)＝{6}；∵?UA＝{1，4，6}，?UB＝{2，3，5，6}，∴(?UA)∩(?UB)＝{6}；綜上所述，結論是：?U(A∪B)＝{6}，

(?UA)∩(?UB)＝{6}.(2)在下圖中用陰影表示?U(A∪B)與(?UA)∩(?UB)；∵?U(A∪B)＝{6}，(?UA)∩(?UB)＝{6}.∴?U(A∪B)(?UA)∩(?UB)UU(3)由(1)(2)，你有什么發現?解：由(1)知?U(A∪B)＝{6}，(?UA)∩(?UB)＝{6}.∴?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)由(2)知?U(A∪B)與(?UA)∩(?UB)的圖像相同.∴?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)

綜上所述，結論是：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)11.已知U＝R，A＝{x∣l≤x≤3}，B＝{x∣2＜x＜4}，

分別求A∩B，A∪B，A∪?UB.解：∵A＝{x∣1≤x≤3}，B＝{x∣2＜x＜4}.∴?UB＝{x∣x≤2或x

≥4}，

∴

A∩B＝{x∣2＜x≤3}，

A∪(?UB)＝{x∣x

≤3或x≥4.12.設m為實數，A＝{m＋1，－3}，B＝{2m－1，m－3}.

若A∩B＝(－3)，求m的值.解：因為A∩B＝{－3}，

所以－3∈B，

當2m

－1＝－3，即m

＝－1時，

m

－3＝－1－3＝－4，

m

＋1＝－1＋1＝0，所以A＝{0，3}，B＝{－4，

－3}滿足A∩B＝{－3}，所以m

＝－1；當m

－3＝－3，即m

＝0時，2m－1＝2×0－1＝－1，

m

＋1＝0＋1＝1，所以A＝{1，－3}，B＝{－1，

－3}，滿足A∩B＝{－3}，所以m

＝0.綜上，m＝－1或m＝0.探究·拓展13.(探究題)我們知道，如果集合A?S那么S的子集A

的補集為?SA＝{x∣x∈S，且x?A}.類似地，對于

集合A，B，我們把集合{x∣x∈A，且x?B}叫作

集合A與B的差集，記作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，則有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}.據此，試回答下列問題：(1)S是高一(1)班全體同學的集合，是高一(1)班全體女同學的集合，求S－A及?SA；解：如果集合A?B，那么S的子集A的補集為

?S

A＝{x∣x∈S，且x?A}.A對于集合A，B，我們把集合{x∣x∈A，且x∈B}叫作集合A與B的差集，記作A－B.已知S是高一(1)班全體同學的集合，A是高一(1)班全體女同學的集合.由題意可得：S－A＝?SA＝{x∣x是高一(1)班的男同學}.綜上所述，結論為：S－A＝?SA＝{x∣x是高一(1)班的男同學}.(2)在下列各圖中用陰影表示集合A－B；

(3)如果A－B＝?，集合A與B之間具有怎樣的關系?解：如果A－B＝?，

那么集合A與B之間的關系為