6.2.3向量的數乘運算課后·訓練提升基礎鞏固1.下列說法中正確的是()A.λa與a的方向不是相同就是相反B.若a,b共線,則b=λaC.若|b|=2|a|,則b=±2aD.若b=±2a,則|b|=2|a|解析顯然當b=±2a時,必有|b|=2|a|.答案D2.3(2a-4b)等于()A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b解析利用向量數乘的運算律,可得3(2a-4b)=6a-12b.故選D.答案D3.已知a=5e,b=-3e,c=4e,則2a-3b+c=()A.5e B.-5e C.23e D.-23e解析2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e.答案C4.已知e1,e2是不共線向量,則下列各組向量中是共線向量的有()①a=5e1,b=7e1;②a=12e1-13e2,b=3e1-2e2;③a=e1+e2,b=3e1-3eA.①② B.①③ C.②③ D.①②③解析①中,a與b顯然共線;②中,因為b=3e1-2e2=612e1-13e2=6a,故a與b共線;③中,設b=3e1-3e2=k(e1+e2),得3=k,-答案A5.已知a,b是不共線的向量,AB=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,且A,B,C三點共線,則實數λ的值為()A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2解析因為A,B,C三點共線,所以存在實數k使AB=kAC.因為AB=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].因為a與b不共線,所以λ解得λ=2或λ=-1.答案D6.設D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則EB+FC等于(A.BC B.12AD C.AD D解析如圖,EB=EC=EC+=12×2AD答案C7.已知m,n是實數,a,b是向量,則下列說法中正確的是()①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,則a=b;④若ma=na,則m=n.A.②④ B.①② C.①③ D.③④解析①和②正確;③中,若m=0,則不能推出a=b,錯誤;④中,若a=0,則m,n沒有關系,錯誤.①②正確,故選B.答案B8.(a+9b-2c)+(b+2c)=.

答案a+10b9.設向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數λ=.

解析∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b與a+2b平行,則存在唯一的實數μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,則λ=μ,1=2μ,解得答案110.計算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);(2)12(3a+2b)-23a(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=123a-23a+2=76a+12b-76a-12(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b.11.已知e1,e2是兩個非零不共線的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a與b是共線向量,求實數k的值.解由題意知a≠0.∵a與b是共線向量,∴存在實數λ,使a=λb,∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,∴λk=2,λ=-1能力提升1.已知△ABC三個頂點A,B,C及平面內一點P,若PA+PB+PC=A.點P在△ABC內部B.點P在△ABC外部C.點P在AB邊所在的直線上D.點P在線段AC上解析∵PA+∴PC=-2PA,∴點P在線段AC邊上.答案D2.如圖,在△ABC中,AB=a,AC=b,DC=3BD,AE=2EC,則DE等于(A.-13a+34b B.512aC.34a+13b D.-34a解析DE=34(AC-AB=-34a+512故選D.答案D3.如圖,AB是☉O的直徑,點C,D是半圓弧AB上的兩個三等分點,AB=a,AC=b,則AD等于()A.a-12b B.12aC.a+12b D.12a解析連接CD,OD,如圖.∵點C,D是半圓弧AB上的兩個三等分點,∴AC=CD,∠CAD=∠DAB=13×90°=30°∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°.∴∠CAD=∠ADO=30°,∴AC∥DO.由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°.∴∠CDA=∠DAO.∴CD∥AO.∴四邊形ACDO為平行四邊形.∴AD=AO+AC答案D4.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若AC=a,BD=b,則AF等于()A.14a+12b B.13C.12a+14b D.23解析∵△DEF∽△BEA,∴DFAB∴DF=13AB,∴AF∵AC=AB+AD=a,∴AB=12(a-b),AD∴AF=12(a+b)+16(a-b)=23答案D5.已知在△ABC中,點M滿足MA+MB+MC=0,若存在實數m使得AB+AC=mAM成立解析∵MA+MB+MC=0,∴點M是∴AB+AC=3AM,∴m=答案36.設a,b是兩個不共線的非零向量,若向量ka+2b與8a+kb的方向相反,則k=;若向量ka+2b與8a+kb的方向相同,則k=.

答案-447.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,點M是AB的中點,點N在BD上,且BN=13BD求證:M,N,C三點共線.證明設BA=a,BC=b,則由向量減法的三角形法則可知CM=BM又N在BD上,且BD=3BN,∴BN=13BD=1∴CN=BN-BC=13a-23b=∴CN=23CM,又直線CN與∴M,N,C三點共線.8.在△ABC中,點D和E分別在BC,AC上,且BD=13