第二十四章相似三角形（11個知識歸納+10類題型突破）1.掌握線段的比與成比例線段的概念；2.掌握黃金分割的相關概念；3.掌握相似三角形的性質與判定4、掌握平面向量的概念及其線性運算；知識點一、線段的比與成比例線段線段的比兩條線段長度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時必須統一單位）．成比例線段四條線段、、、中，如果，那么這四條線段、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．知識點二、比例的性質基本性質合比的性質等比性質知識點三、黃金分割黃金分割若線段AB上一點C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，這時稱點C是AB的黃金分割點，這個比值稱為黃金比，它的值為．知識點四、相似圖形相似圖形在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．知識點五、平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。圖形：幾何語言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推論平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例。圖形：幾何語言：∵DE∥BC，∴，，知識點六、相似三角形的判定預備定理平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．判定1有兩個角對應相等的兩個三角形相似．判定2兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．判定3三邊對應成比例的兩個三角形相似直角三角形的特殊判定若一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．知識點七、相似三角形的性質性質1相似三角形的對應邊成比例，對應角相等。性質2相似三角形的周長比等于相似比。∽，則由比例性質可得：類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。性質3相似三角形的面積比等于相似比的平方。∽，則分別作出與的高和，則要點詮釋：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的。如果把兩個相似多邊形分成若干個相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。性質4相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線之比等于相似比。要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段。知識點八、位似圖形定義兩個相似圖形，如果對應點的連線交于同一點，對應邊平行或在同一直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．性質位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比都等于相似比．畫位似圖形的步驟確定位似中心；連結原圖形中關鍵點與位似中心的線段（或延長線）；按相似比進行取點；（4）順次連接各點，所得的圖形就是所求的圖形。知識點九、相似三角形模型模型一：A、8模型已知：，結論模型二：共邊共角型已知：，結論：模型三：一線三角型模型四：相似與旋轉模型五：垂直相似結論①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC； ②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB； ③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.知識點十向量的相關概念1、平面向量的相關概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；（3）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；（4）相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；（5）互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．2、平面向量的加減法則（1）幾個向量相加的多邊形法則；（2）向量減法的三角形法則；（3）向量加法的平行四邊形法則．3、實數與向量相乘的運算設k是一個實數，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．（1）如果，且，那么的長度；的方向：當k>0時與同方向；當k<0時與反方向．（2）如果k=0或，那么．4、實數與向量相乘的運算律設m、n為實數，則（1）；（2）；（3）．5、平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數m，使．6、單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設為單位向量，則．單位向量有無數個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實數與向量的乘積可知：，．知識點十一向量的線性運算1、向量的線性運算向量加法、減法、實數與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算．如、、、等，都是向量的線性運算．一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達式整理成的形式，其中x、y是實數．2、向量的合成與分解如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實數），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關于、的分解式．平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解．題型一位似圖形的相關題型1．（2023秋·河北保定·九年級統考期末）下列關于位似圖形的表述：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比．其中正確命題的序號是（

）A．②③ B．①② C．③④ D．②③④【答案】A【分析】根據位似圖形的性質和定義（識別位似圖形，關鍵是看兩個相似多邊形的對應頂點所在的直線是否相交于一點，相交于一點的就是位似圖形，交點就是位似中心）逐個判斷即可得．【詳解】解：①相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，則原命題錯誤；②位似圖形一定有位似中心，則原命題正確；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形，則原命題正確；④位似圖形上任意一對對應點與位似中心的距離之比等于位似比，則原命題錯誤；綜上，正確命題的序號是②③，故選：A．【點睛】本題考查了位似圖形的性質和概念，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵．2．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中校考期末）如圖，與是位似圖形，位似比為1：4，若，則的長為()

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據對應點到位似中心距離之比等于位似比即可解答．【詳解】∵與是位似圖形，位似比為，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，掌握位似圖形中“對應點到位似中心距離之比等于位似比”是解答本題的關鍵．3．（2023·湖南衡陽·統考三模）如圖，四邊形與四邊形位似，其位似中心為點，且，則（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意求出，根據位似圖形的概念得到，，進而得出，，根據相似三角形的性質計算即可．【詳解】解：∵,∴，∵四邊形與四邊形位似，其位似中心為點，∴，，∴，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質，掌握位似圖形的對應邊互相平行是解題的關鍵．鞏固訓練：1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，點是四邊形與的位似中心，則；，．【答案】【分析】位似是特殊的相似，因而對應邊的比相等，對應角相等．【詳解】解：點O是四邊形與的位似中心，則這兩個圖形相似，因而對應邊的比相等，對應角相等，因而，，，故答案為：；；；；．【點睛】本題主要考查了位似的定義，掌握定義是解決此題的關鍵．2．（2023·遼寧朝陽·校考二模）如圖，已知與是位似圖形，位似中心是O，若與的周長比為2：1，的面積為3，則的面積為．

【答案】12【分析】根據位似圖形的周長之比等于位似比，位似圖形的面積之比等于位似比的平方進行求解即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，與的周長比為，∴與的位似比為，∴與的面積之比為，∵的面積為3，∴的面積為12，故答案為：12．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，熟知位似圖形的周長之比等于位似比，位似圖形的面積之比等于位似比的平方是解題的關鍵．3．（2023春·廣西防城港·九年級校考階段練習）如圖，是由等腰直角經過位似變換得到的，點均在軸上，已知：，，則兩個三角形在軸上的位似中心點的坐標是．【答案】/【分析】根據題意，確定位似中心在軸的正半軸上，，設位似中點，根據面積比等于位似比的平方，由此即可求解．【詳解】解：根據題意，，∴，∴，即位似為，如圖所示，位似中心點在軸的正半軸上，且，∴設，則，∴，，∴，解得，，∴位似中心點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題主要考查位似，掌握位似圖形之間的位似比與面積比的關系是解題的關鍵．4．（2023·河南周口·統考一模）如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，若與是位似圖形且頂點均在格點上．

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標；(2)與的位似比為__________，面積比為__________．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）連接、，兩線相交于點D，根據位似中心的概念、結合圖形解答即可；（2）根據，，即可得出相似比和面積比．【詳解】（1）解：如圖，位似中心的坐標為：．

（2）解：∵，，∴與的位似比為：，與的面積比為：．故答案為：，．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線所在直線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．5．（2023秋·安徽六安·九年級校考期末）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，與是關于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．（1）畫出位似中心點O；（2）求出與'的位似比；（3）以點O為位似中心，在圖中畫一個，使它與的位似比等于3∶2．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）位似圖形對應點連線所在的直線經過位似中心，如圖，直線AA′、BB′的交點就是位似中心O；（2）△ABC與△A′B′C′的位似比等于AB與A′B′的比，也等于AB與A′B′在水平線上的投影比，即位似比為3：6=1：2；（3）要畫△A2B2C2，先確定點A2的位置，再過點A2畫A2B2∥AB交OB′于B2，過點A2畫A2C2∥AC交OC′于C2．【詳解】解：（1）如圖所示，點O即為所求；（2）與的位似比為：；（3）如圖所示，即為所求．【點睛】本題考查位似圖形的意義及作圖能力．畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．6．（2023春·山東東營·八年級統考期末）如圖，點的坐標為，點的坐標為①以點為旋轉中心，將順時針方向旋轉90°，得到；②以點為位似中心，將放大，使相似比為，且點在第三象限．（1）在圖中畫出和；（2）請直接寫出點的坐標：（______，______）（3）在上面的（2）問下，直接寫出在線段上的任意動點的對應點的坐標：（______，______）．【答案】（1）見解析；（2）-3，-4；（3）3-2a，-2b【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出B、O的對應點B1、O1得到△AB1O1；把△OAB向左平移1個單位，再把平移后的各頂點的坐標都乘以-2后向右平移1個單位得到△A2B2O2各頂點的坐標，然后描點即可；（2）（3）由（1）中的圖形變換規律寫出A2和P2的坐標．【詳解】解：（1）如圖，△AB1O1和△A2B2O2為所作；（2）點A2的坐標：（-3，-4）；故答案為-3，-4；（3）點P2的坐標為（3-2a，-2b）．故答案為3-2a，-2b．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．題型二黃金分割1．（2023秋·九年級課時練習）已知線段，點P是線段的黃金分割點，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據黃金比值為計算即可．【詳解】解：點是線段的黃金分割點，，，故選：D．【點睛】本題考查的是黃金分割的概念，熟記黃金比值為是解題的關鍵．2．（2023·云南昆明·統考二模）如果矩形滿足，那么矩形叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形是黃金矩形，對角線，相交于且，則關于黃金矩形，下列結論不正確的是（）A． B．C． D．矩形的周長【答案】C【分析】計算得出，根據矩形的性質求得各項，即可判斷．【詳解】解：∵，且，∴，∵四邊形是矩形，∴，故選項A正確，不符合題意；∴，故選項B正確，不符合題意；∴，故選項C錯誤，符合題意；∴矩形的周長，故選項D正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．3．（2023春·九年級課前預習）公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統地論述了黃金分割，稱為最早的有關黃金分割的論著．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖，點C把線段分成兩份，如果，那么稱點C是線段AB的黃金分割點．冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可愛，活潑，他泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點處，若玩偶身高，則玩偶嘴巴離地高度是___m．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據黃金分割比，即可進行解答．【詳解】解：∵，∴，設玩偶嘴巴離地高度是，∴，解得：，故選：D．【點睛】本題主要考查了黃金分割，解題的關鍵是掌握黃金分割比為．鞏固訓練1．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考期中）已知線段，若是的黃金分割點，則長為．（，精確到）【答案】【分析】利用黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】是的黃金分割點，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割，近似數，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．2．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校考二模）黃金分割廣泛存在于藝術、自然、建筑等領域，例如，楓葉的葉脈蘊含著黃金分割．如圖，B為的黃金分割點（），如圖長度為，則的長度約為．（黃金分割率為）?【答案】【分析】根據黃金分割的定義可知：，由此求解即可.【詳解】解：∵B為的黃金分割點，，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟記黃金比是解題的關鍵.3．（2023春·安徽·九年級專題練習）鸚鵡螺是一類古老的軟體動物．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點（），若線段的長為8cm，則的長為cm．（結果保留根號）【答案】【分析】根據黃金分割的定義進行計算即可解答．【詳解】解：∵點P是的黃金分割點（），線段的長為，∴，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．4．（2023秋·河北保定·九年級統考期末）如圖，已知線段，用尺規作圖法按如下步驟作圖．

（1）過點B作的垂線，并在垂線上取．（2）連接，以點C為圓心，為半徑畫弧，交于點E．（3）以點A為圓心，為半徑畫弧，交于點D．則點D是線段的黃金分割點，請說明其中的道理．【答案】見解析【分析】設長為x，則長為，利用勾股定理可得，進而可得，即可得，問題得解．【詳解】解：設長為x，則長為，，．，，，，即點D是線段的黃金分割點．【點睛】本題主要考查了黃金分割的相關知識，根據題意，求出，，掌握黃金分割點的定義，是解答本題的關鍵．5．（2023·江西南昌·統考一模）美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近時，越給人一種美感．如圖，某女士身高，下半身長與身高的比值是．(1)求該女士下半身長；(2)為盡可能達到美的效果，求她應穿的高跟鞋的高度．（結果精確到）【答案】(1)該女士下半身x為；(2)她應穿的高跟鞋的高度為．【分析】（1）列式計算即可求解；（2）設需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可．【詳解】（1）解：；答：該女士下半身x為；（2）解：設需要穿的高跟鞋是，則，解得：，答：她應穿的高跟鞋的高度為．【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用．明確黃金分割所涉及的線段的比是解題關鍵．6．（2023秋·山西運城·九年級統考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：黃金分割：兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發現：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點P叫做線段AB的黃金分割點．采用如下方法可以得到黃金分割點：如圖2，設AB是已知線段，經過點B作BD⊥AB于點B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點．任務：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則BC的長為．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識，解題關鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．題型三三角形一邊的平行線1．（2023秋·陜西西安·九年級西安市鐵一中學校考開學考試）如圖，在中，，且，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據，再根據平行線分線段成比例定理可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了行線分線段成比例定理，正確得到是解題的關鍵．2．（2023春·吉林長春·八年級校考期末）如圖，，根據“平行線分線段成比例定理”，下列比例式中不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理，即可解答．【詳解】解：，，故A正確，不符合題意；，故B正確，不符合題意；，故C不正確，符合題意；，故D正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理應用，靈活運用定理，找準對應關系是解題的關鍵．3．（2023春·福建莆田·八年級校考期末）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（）A． B． C．5 D．9【答案】A【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，，∴，∴，解得：，故選：A．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校考開學考試）如圖，，如果，，，那么．

【答案】/【分析】根據平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得，經檢驗，滿足所列方程，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理、解分式方程，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解答的關鍵，注意比例線段要對應．2．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）如圖，直線．分別交直線m、n于點A，B，C，D，E，F．若，，則的長為．【答案】【分析】直接根據平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：∵直線，∴根據平行線分線段成比例定理得：∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，理解并熟練運用基本性質定理是解題關鍵．3．（2023·河北衡水·校聯考二模）如圖，已知在中，，，點P是的中點，過點P的直線與交于點Q，依據尺規作圖痕跡解決下列問題．

（1）與是否平行？（填“是”或“否”）；（2）的周長為．【答案】是8【分析】（1）由尺規作圖痕跡可知，根據平行線的判定即可得到；（2）由平行線等分線段定理和三角形中位線定理即可求得結論．【詳解】解：（1）與是平行，證明：由尺規作圖痕跡可知，，；（2），點是的中點，，，是的中位線，，的周長．故答案為：是，8．

【點睛】本題主要考查了作圖—基本作圖，平行線等分線段定理和三角形中位線定理，熟知作一個角等于已知角的方法是解決問題的關鍵．4．（2023春·山東煙臺·八年級統考期中）如圖，在中，點、、分別在、、上，，．若，，，求的長度．【答案】【分析】根據平行線分線段成比例，可得，代入數據即可求解．【詳解】∵，，∴，∴，即∵，，，∴，解得：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，找準對應邊是解題的關鍵．5．（2023·全國·模擬預測）下面是證明直角三角形的一個性質定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，中，，點D為邊上中點．求證：．方法一證明：延長至點E，使得，連接，．

方法二證明：過點D作于E．

【答案】見解析【分析】方法一：由題意易證四邊形是矩形，然后根據矩形的性質可進行求證；方法二：由題意易得，然后根據平行線所截線段成比例可知，然后問題可求證．【詳解】方法一證明：延長至點E，使得，連接，，

∵點D為邊上中點，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴；方法二證明：過點D作于E，

∵，即，∴，∴點D為邊上中點，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查矩形的性質、平行線所截線段成比例及線段垂直平分線的性質，熟練掌握矩形的性質、平行線所截線段成比例及線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．6．（2023·全國·九年級專題練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發現，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設，，依次是的三邊，，或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線交的邊于點，交邊于點，交邊的延長線與點．過點作交于點，則，（依據），∴，∴，即．情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長線于點，，．…(1)情況①中的依據指：；(2)請你根據情況①的證明思路完成情況②的證明；(3)如圖3，，分別是的邊，上的點，且，連接并延長，交的延長線于點，那么【答案】(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例(2)證明過程見詳解(3)【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理解決問題即可；（2）如圖2中，作交于，模仿情況①的方法解決問題即可；（3）利用梅氏定理即可解決問題．【詳解】（1）解：情況①中的依據是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．故答案為：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．（2）證明：如圖2中，作交于，則有，∴，∴，則，變形得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．題型四相似三角形的判定定理1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，下列條件不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據有兩個角對應相等的三角形相似和兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．【詳解】解：A、∵，，∴，故此選項不合題意；B、∵，，∴，故此選項不合題意；C、∵，∴，，∴，故此選項不合題意；D、不能判定，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．2．（2023秋·九年級課時練習）如圖，為線段上的一點，與交于點，，與交于點，交于點，則下列結論中錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由相似三角形的判定逐一進行判斷即可．【詳解】解：，且，，，故選項B正確，不符合題意；，，故選項A正確，不符合題意；，，故選項C正確，不符合題意；由條件無法證明，故選項D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．3．（2023春·山東菏澤·八年級統考期末）如圖，下列條件：①；②；③；④；其中單獨能夠判定的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據相似三角形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：，，，故①單獨能夠判定；，，，故②單獨能夠判定；由③不能判定，，，，故④單獨能夠判定；其中單獨能夠判定的條件有3個，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·陜西西安·九年級高新一中校考開學考試）如圖，P是的邊上一點，請添加一個條件使得與相似，則你添加的條件可以是，（只需添加一個符合的條件即可）

【答案】（答案不唯一）【分析】由于兩個三角形有公共角，因此可添加一組角對應相等即可判定兩三角形相似．【詳解】解：添加條件：，∵，，∴，故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關鍵：兩組角對應相等的兩個三角形相似，兩組邊對應成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似．2．（2023·遼寧撫順·統考三模）如圖，在正方形網格中：①；②；③；這3個斜三角形中，能與相似的是．（點、、、、均在格點上）【答案】【分析】分別求出三個三角形的三邊的比（按邊長的大小順序），所求三邊之比等于的三邊之比就是與相似的三角形．【詳解】解：∵的三邊之比是，的三邊之比是的三邊之比是，的三邊之比是．∴與相似，故答案為：．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，勾股定理與網格，掌握“三邊對應成比例，兩三角形相似”是解題的關鍵．3．（2023秋·河南漯河·九年級統考期末）如圖，在中，，，點為中點，點在上，當為時，與以點A、D、E為頂點的三角形相似．

【答案】3或【分析】先得到，再分與兩種情況討論即可解答．【詳解】解：當時，∵，∴，∴，當時，∵，∴，∴，綜上，或，故答案為：3或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是分類討論思想的運用及熟練掌握相似三角形的判定定理．4．（2023春·吉林長春·九年級統考開學考試）如圖，點是的邊上的一點，點為上的一點，若，，求證：．

【答案】見解析【分析】先根據等邊對等角得到，進而得到，再由即可證明．【詳解】證明：，，

，

，

．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，等邊對等角，熟知兩組角對應相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．5．（2023秋·河北滄州·九年級統考期末）如圖，點，分別在的邊，上，且，，，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據已知線段長證，結合，兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似，可證．【詳解】證明：，，，，，，，，，，（兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似）【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．6．（2023·浙江杭州·校聯考三模）如圖所示，延長平行四邊形一邊至點F，連接交于點E，若．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，則，即可求證；（2）根據平行四邊形的性質可得，根據相似三角形的性質可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，由（1）可得，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形對邊平行且相等；相似三角形對應邊成比例．題型五相似三角形的性質定理1．（2023春·四川達州·九年級校考期中）如圖，在中，為上一點，連接，，且與相交于點，，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行四邊形的性質得到，得到，根據相似三角形的性質計算即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質、平行四邊形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中校考期中）如圖，與位似，點O為位似中心，若的周長等于周長的．，則的長度為（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據位似變換的概念得到，根據周長之比得到相似比，繼而求解．【詳解】解：∵與位似，∴，∵的周長等于周長的，∴相似比為，∵，∴，故選C．【點睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵．3．（2023春·山東濟寧·九年級統考期末）如圖，矩形中，，，點E為的中點，點P為邊上一個動點，連接，過點P作于點Q，當時，的長為（

）

A．3 B．4 C． D．【答案】B【分析】根據矩形性質，，點E為的中點，則，由得到，得到，則四邊形為平行四邊形，求出的長即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴；故選：B．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是證明四邊形為平行四邊形．鞏固訓練1．（2023·河南平頂山·統考模擬預測）如圖，中，，點D、E分別是邊上的動點，折疊得到，且點落在BC邊上，若恰好與相似，則的長為．

【答案】或【分析】由折疊的性質可得，先證明只存在和兩種情況，再設設，則，分兩種情況利用相似三角形的性質列出方程求解即可．【詳解】解：由折疊的性質可得，∵，∴互不相等，∵恰好與相似，∴只存在和兩種情況，設，則，當時，則，∴，解得，∴；當時，則，∴，解得，∴；綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形對應邊成比例是解題的關鍵．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，交對角線于點，則的值為．

【答案】2【分析】由平行四邊形的性質得出，，由是邊的中點，得出==，證，即可得解．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵是邊的中點，∴==，∵，∴，，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質等，解題關鍵是掌握平行四邊形的性質及相似三角形的判定與性質．3．（2023春·海南海口·九年級海口市第九中學校考階段練習）如圖，在邊長為的菱形中，，將菱形沿翻折，使點A的對應點G落在對角線上．若，則的長為cm，的長為cm．

【答案】2/【分析】根據菱形的性質，折疊的性質，以及，可以得到為等邊三角形，根據三角形內角和和平角的意義，得出，對應邊成比例，設，，，由比例式列出方程，再根據，解出，即可解答．【詳解】由折疊的性質可知，，∴，∴四邊形是菱形，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，設，，，∴，即，又，即，解得，∵，即，∴，∴．故答案為：2；．【點睛】本題考查了菱形的性質，折疊的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形內角和，平角的意義，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據比例式列方程．4．（2023春·河北邢臺·九年級統考開學考試）如圖，為上一點，．

(1)求證：；(2)若平分，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）根據三角形的外角等于和它不相等的兩個內角和可得，證明即可解答．（2）結合（1）和平分，證明，可得，進而可得答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，又∵，∴．（2）解：∵平分，∴，由（1）知，，∴，又∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是得到．5．（2023春·湖南株洲·九年級統考開學考試）如圖，已知矩形，點在邊上，連接，過點作交于點．

(1)求證：．(2)若，，，求的長．【答案】(1)證明過程見詳解(2)的長為【分析】（1）根據矩形的性質可得，，根據，可得，由此可得，根據相似三角形的判定即可求解；（2）由（1）可知，根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，且，∴．（2）解：∵，，∴，且，由（1）可知，，∴，即，解得，，∴的長為．【點睛】本題主要考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質的綜合，掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2023春·福建泉州·八年級校考期末）（1）如圖①，中，．動點、、分別在邊，，上，且，設，，求，，應滿足的條件；（2）如圖②，四邊形中，，在射線上作點，線段上作點，，且上只存在唯一的點，求作符合條件的點，．（要求：尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）

【答案】（1）

（2）見解析【分析】（1）先證得，可得到，結合，可知，可以看作關于的一元二次方程的兩個實數解．（2）以點為圓心，以長為半徑作圓弧，交于點，以點為圓心，以適當長度為半徑作弧，分別交，于點，，分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交點為，作射線，交的延長線于點．【詳解】（1）∵，∴為等邊三角形．∴．∴．又，∴．∴．∴．∴．∴．又，∴，可以看作關于的一元二次方程的兩個實數解．∴．∴．（2）以點為圓心，以長為半徑作圓弧，交于點，以點為圓心，以適當長度為半徑作弧，分別交，于點，，分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交點為，作射線，交的延長線于點．

【點睛】本題主要考查一元二次方程、相似三角形的判定及性質，角平分線的作法，能根據題意構建一元二次方程是解題的關鍵．題型六重心的有關性質1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）在等腰中，，分別是，的中點，點是線段上的一個動點，當的周長最小時，點的位置在（

）

A．的重心處 B．的中點處 C．點處 D．點處【答案】A【分析】連接，，首先證明，由，推出當共線時，的值最小，此時是的中線，由此即可判斷．【詳解】解：如圖，連接PB，BE．

，，，，，，當共線時，的值最小，此時是的中線，也是中線，點是的重心，故選：A．【點睛】本題考查三角形的重心，等腰三角形的性質，軸對稱線段和最短問題，關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決問題．2．（2023·陜西榆林·統考二模）如圖，點G為的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F，連接EF，若，則EF的長度為（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4【答案】A【分析】根據點G為的重心，可知點E為的中點，點F為的中點，即可求解．【詳解】解：∵點G為的重心，∴點E為的中點，點F為的中點，∴為的中位線，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了三角形重心的概念，知道重心是中線的交點是解題的關鍵．3．（2023春·福建泉州·九年級校聯考期中）如圖，在中，，點是的重心，，垂足為，若，則線段的長度為（

）A．4 B．3 C．6 D．【答案】A【分析】因為點是的重心，根據三角形的重心是三角形三條中線的交點以及重心的性質：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是，可知點為的中點，，根據，可得，進而證得，從而得到，代入數值即可求解．【詳解】解：如圖，連接并延長交于點．點是的重心，點為的中點，，，，，，，，（公共角），∴，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的重心的定義及其性質，熟練運用三角形重心的性質是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區第二中學校考二模）等腰中，，，則重心G到底邊的距離是．【答案】/【分析】根據題意作出高線，首先根據等腰三角形的性質及勾股定理可求得的長，再根據重心的性質即可求得結果．【詳解】解：如圖所示，過點A作于點D，

∵，，∴，∴，∵為等腰三角形底邊上的中線，∴重心一定在上，且重心G到底邊的距離為的長，根據重心的性質可知，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，重心的性質，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．2．（2023·上海·一模）如圖，G是的重心，延長交于點D，延長交于點E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為．【答案】1【分析】連接，延長交于F點，連接，由G是的重心，可證是的中位線，從而可求出的長．利用三角形重心的定義和性質得到，，再證明得到即可．【詳解】解：連接，延長交于F點，連接，如圖，

∵G是的重心，∴D、E分別是的中點，∴是的中位線，∴．∵P點是的重心，∴F點為的中點，，∵Q點是的重心，∴點Q在中線上，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質．三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．3．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在直角坐標系中，點B（-2，3），點C在x軸負半軸，OB=BC，點M為△OBC的重心，若將△OBC繞點O旋轉90°，則旋轉后三角形的重心的坐標為【答案】（1，2）或（-1，-2）或（-1，-2）或（1，2）【分析】先根據重心的性質求得重心M的坐標，再分△OBC繞點O順時針旋轉90°時和△OBC繞點O逆時針旋轉90°時，利用全等三角形的判定和性質求解即可．【詳解】解：∵OB=BC，點M為△OBC的重心，∴BM⊥x軸，∵點B的坐標為（-2，3），∴點M的坐標為（-2，1），①當△OBC繞點O順時針旋轉90°時，過點M作MD⊥x軸于點D，過點M1作M1E⊥y軸于點E，∠MOE+∠M1OE=90°，∠MOD+∠MOE=90°，∴∠MOD=∠M1OE，又∵MO=M1O，∴Rt△MOD≌Rt△M1OE，∴OD=OE=2，MD=M1E=1，∴點M1的坐標為（1，2）；②當△OBC繞點O逆時針旋轉90°時，同理可得點M2的坐標為（-1，-2）；故答案為：（1，2）或（-1，-2）．【點睛】本題考查了重心的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，數形結合是解題的關鍵．4．（2023春·安徽蕪湖·八年級校考階段練習）如圖，是的重心，且，，，求中邊上的高．

【答案】【分析】延長到，使得，與交于點，連接，，延長與交于點，根據勾股定理的逆定理證明，繼而求得的面積，最后根據的面積求得邊上的高即可．【詳解】解：延長到，使得，與交于點，連接，，延長與交于點，如圖，

是的重心，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，設中邊上的高為，則，．故中邊上的高為．【點睛】本題考查了三角形的面積公式，平行四邊形的性質與判定，勾股定理，直角三角形的性質，三角形的重心的概念和性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．5．（2023·江西·九年級專題練習）如圖均是由邊長為1的小正方形組成的3×3網格，△ABC的頂點均在格點上．利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．(1)在圖①中，作出△ABC的重心O．(2)在圖②中，在△ABC的邊AC上找一點P，連接BP，使△ABP的面積為△ABC面積的．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據三角形的重心是三角形的三條中線的交點，即可求解；（2）如圖，連接EF交AC于點P，根據△AEP∽△CFP，可得點P即為所求，即可求解．【詳解】（1）解：如圖①中，點O即為所求；（2）解：如圖②中，點P即為所求；理由如下∶∵AE∥CF，∴△AEP∽△CFP，∴，∴，∴△ABP的面積為△ABC面積的．【點睛】本題主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質，熟練掌握三角形的重心是三角形的三條中線的交點，相似三角形的判定和性質定理是解題的的關鍵．6．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，在正方形網格中，的頂點在格點（網格線的交點）上，請僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）(1)在圖1中作的重心（提示：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心）；(2)在圖2中作，且G是格點．（畫出一個即可）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據重心是三角形三邊中線的交點，分別作出三邊中線即可得到答案；（2）根據題意可知，因此只要保證等于即可，利用正方形的性質即可得解．【詳解】（1）解：如圖①，點D即為所求；；（2）解：如圖2，，，，即為所求．．【點睛】本題主要考查矩形的性質，正方形的性質，三角形重心，熟知矩形的性質，正方形的性質是解題的關鍵題型七相似三角形的動點問題1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在中，，，，是上一點，，點從出發沿方向，以的速度運動至點處，線段將分成兩部分，可以使其中一部分與相似的點的個數為（

）A．0個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據相似三角形的判定定理“有兩個角分別相等的兩個三角形相似”，按點P的運動軌跡，一次進行判斷即可．【詳解】解：①當時，，②當時，，③當時，，④當時，，綜上：一共有4個，故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握“有兩個角分別相等的兩個三角形相似”．2．（2023春·八年級單元測試）如圖，中，，，，點P從點A出發，以1cm/s的速度沿向點C運動，同時點Q從點A出發，以2cm/s的速度沿向點C運動，直到它們都到達點C為止．線段PQ的長度為y（cm），點P的運動時間為t（s），則y與t的函數圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據勾股定理可得，然后分兩段：當點Q在AB邊上時，，當點Q在BC邊上時，，分別求出函數關系式，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，根據題意得：點Q到達點B的時間是，到達點C的時間為，點P到達點C的時間為，當點Q在AB邊上時，，，如圖，過點Q作QD⊥AC于點D，則DQ∥BC，∴△ADQ∽△ACB，∴，∴，解得：，，∴，∴，即；當點Q在BC邊上時，，，，如圖，∴，，∴，即，綜上所述，y與t的函數關系式為，∴函數圖象第一段為過原點的直線的一部分，第二段為自左向右逐漸下降的線段．故選：A【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，求函數解析式，勾股定理，一次函數圖象，熟練掌握相關知識點，并利用分類討論和數形結合思想解答是解題的關鍵．3．（2023秋·云南楚雄·九年級校考期中）如圖，在銳角三角形中，，，動點從點出發到點停止，動點從點出發到點停止，點運動的速度為，點運動的速度為，如果兩點同時開始運動，那么以點，，為頂點的三角形與相似時的運動時間為（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】設以點，，為頂點的三角形與相似時的運動時間為，然后分兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：設以點，，為頂點的三角形與相似時的運動時間為，根據題意得：，，則，當，即時，∴，解得：；當，即時，∴，解得：，綜上所述，以點，，為頂點的三角形與相似時的運動時間為或．故選：A【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的對應邊成比例是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統考期末）在中，，，點是的中點，點為上一動點，當時，與相似．【答案】或【分析】根據相似三角形的性質可得比例關系進而得出的值．【詳解】解：∵和相似時，∴或者，∵在中，，，點是的中點，∴，∴由可得，由可得，故答案為：或，【點睛】本題考查了相似三角形的性質，根據題意列出線段的比例關系是解題的關鍵．2．（2023秋·山東濱州·九年級統考期末）如圖，在中，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動．若點P、Q分別從點A、B同時出發，問經過秒鐘，與相似．【答案】2或5/5或2【分析】分和兩種情況解答即可．【詳解】解：設P、Q運動時間為秒，根據題意，，，則，當時，則，即，解得：；當時，則，即，解得：，綜上，當經過2或5秒鐘，與相似．故答案為：2或5．【點睛】本題考查相似三角形的動點問題，理解題意，掌握相似三角形的性質，分類討論是解答的關鍵．3．（2023春·江蘇淮安·八年級校考期中）如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿著邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿著邊向點C以的速度移動．若P、Q兩點同時開始運動，當點P運動到點B時停止，點Q也隨之停止．運動過程中，若以B、P、Q為頂點的三角形與相似，則運動時間為s．【答案】2或【分析】設點P運動的時間為，則，，再分兩種情況求t的值，一是，則，可列方程；二是，則，可列方程，解方程求出相應的t的值即可．【詳解】解：設點P運動的時間為，則，∴，∵，∴當時，，∴，∴，解得；∵，∴當時，，∴，∴，解得．綜上所述，運動時間為或．故答案為：2或．【點睛】此題重點考查相似三角形的判定與性質、動點問題的求解、數形結合與分類討論數學思想的運用等知識與方法，正確地用代數式表示相似三角形的對應邊的長度是解題的關鍵．4．（2023春·黑龍江大慶·八年級統考階段練習）如圖，在中，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊BC向點C以的速度移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，多長時間后，與相似？

【答案】或【分析】首先設經秒鐘與相似，由題意可得，，，又由是公共角，分別從與分析，即可求得答案．【詳解】解：設經秒鐘與相似，則，，，，，是公共角，①當，即時，，解得：；②當，即時，，解得：，經過2或秒鐘與相似．【點睛】此題考查了相似三角形的判定．此題難度適中，屬于動點型題目，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．5．（2023秋·湖南益陽·九年級校聯考期末）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從點A出發，沿AB以4cm/s的速度向點B運動，同時點Q從點C出發，沿CA以3cm/s的速度向點A運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為xs．(1)當時，求x的值．(2)△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)能，AP＝cm或20cm【分析】（1）利用平行線分線段對應成比例，列比例式進行計算即可；（2）分類討論：①△APQ∽△CQB，②當△APQ∽△CBQ，利用相似的性質，對應邊對應成比例，列式計算即可．【詳解】（1）解：當時，AP：AB＝AQ：AC，∵AP＝4x，AQ＝30－3x，∴，解得：x＝；（2）解：∵BA＝BC∴，①當△APQ∽△CQB時，有，即：，解得：，∴（cm），②當△APQ∽△CBQ時，有，即：，解得：x＝5或x＝－10（舍去），∴PA＝4x＝20（cm），綜上所述，當AP＝cm或20cm時，△APQ與△CQB相似．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，以及相似三角形的判定和性質．熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．6．（2023秋·四川樂山·九年級統考期末）如圖，正方形的邊與矩形的邊重合，將正方形以秒的速度沿方向移動，移動開始前點與點重合．已知正方形的邊長為，，，設正方形移動的時間為秒，且．(1)當______秒時，；(2)若以、、為頂點的三角形同相似，求的值；(3)過點作交于點，連接．①若的面積為，的面積為，則的值會發生變化嗎？請說明理由；②當線段所在直線與正方形的對角線垂直時，求線段的長．【答案】(1)(2)或(3)①不會，見解析，②【分析】（1）根據，；根據三角形的面積為：，即可；（2）根據題意得，，，分類討論，和相似，即可；（3）根據，得；根據相似三角形的判定，得，推出；再根據，，即可；根據線段所在直線與正方形的對角線垂直，得點在對角線所在的直線上，得是等腰直角三角形，根據，求出；再根據，即可得到的值．【詳解】（1）由題意得，，，∵，∴，∴，故答案為：．（2）由題意的，，，∵，∴當，∴，解得：；當，∴，解得：，經檢驗：經經驗，和滿足條件．∴當或時，以、、為頂點的三角形同相似．（3）①結論：的值不會發生變化，理由如下：∵，∴，∵在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的值不會發生變化．如圖：所示∵線段所在直線與正方形的對角線垂直，∴點在對角線所在的直線上，∴點、、三點共線，∴是等腰直角三角形，∴，化簡得：，解得，，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質，動點運動的軌跡，勾股定理的運用．題型八相似三角形的應用1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風華中學校考開學考試）如圖，身高的小亮站在某路燈下，發現自己的影長恰好是，經測量，此時小亮離路燈底部的距離是，則路燈離地面的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，得出，即，求出結果即可．【詳解】解：根據題意可知，，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，證明．2．（2023春·安徽·九年級專題練習）《墨經》最早述及的小孔成像，是世界上最早的關于光學問題的論述．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據圖中所標注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】據小孔成像原理可知，利用它們的對應邊成比例就可以求出之長．【詳解】解：如圖過O作直線，交于F，

依題意，∴，∴，由可以得，∵分別是它們的高，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵在于理解小孔成像原理給我們帶來的已知條件，還有會用相似三角形對應邊成比例．3．（2023秋·山西大同·九年級統考期末）同學們在物理課上做“小孔成像”實驗．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當蠟燭火焰的高度為時，所成的像的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，得出蠟燭火焰的高度與像的高度的比值為，進而求出答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，

設所成的像的高度為由題意可得：，解得：，∴所成的像的高度為．故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的應用，理清題意，正確得出比例關系是解題關鍵．鞏固訓練1．（2023春·吉林長春·八年級校考期末）明珠綠星數學社團想利用標桿測量樓高，小明先在處堅立一根高的標桿，發現點、、在同一直線上．測得，，已知，點、、在同一直線上，于點，于點．則樓高為m．

【答案】【分析】根據題意可得，進而根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，，，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．2．（2023春·吉林長春·八年級長春市解放大路學校校考期末）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小藝同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼晴離地面高度為米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為米，鏡子與旗桿的水平距離為米，則旗桿的高度為米．

【答案】【分析】根據鏡面反射的性質，，再根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可．【詳解】解：如圖：

∵，，∴，∵，∴，∴即∴，經檢驗，是原方程的解，故答案為：8【點睛】本題考查了相似三角形的應用．應用鏡面反射的基本性質，得出三角形相似，再運用相似三角形對應邊成比例即可解答．3．（2023秋·河北邢臺·九年級統考期末）如圖，為了測量平靜的河面的寬度，即的長，在離河岸點米遠的點，立一根長為米的標桿，在河對岸的岸邊有一根長為米的電線桿，電線桿的頂端在河里的倒影為點，即，兩岸均高出水平面米，即米，經測量此時三點在同一直線上，并且點共線，點共線，且均垂直于河面，

（1）過點作于，則米；設交于點，則米；（2）河寬米．【答案】12【分析】延長交的反向延長線于點，由求得，再由求得，便可解決問題．【詳解】解：延長交的反向延長線于點，

則四邊形是矩形，米，，（米），，，，，（米），，米，米，米，，，，，，，米，（米），故答案為：；；12．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定的應用，關鍵是構造和證明三角形相似．4．（2023春·山東東營·八年級統考期末）學完了圖形的相似這一章后，某中學數學實踐小組決定利用所學知識去測量一棵大樹的高度，如圖，直立在處的標桿米，小愛站在處，眼睛處看到標桿頂，樹頂在同一條直線上人，標桿和樹在同一平面內，且點，，在同一條直線上已知米，米，米，請根據以上測量數據，幫助實踐小組求出該樹的高度．【答案】樹高為米【分析】過作交于點，交于點，可證明四邊形為長方形，可得的長；可證明∽，故可求得的長，所以樹高的長即可知．【詳解】解：過作交于點，交于點，由已知得，，，，，，四邊形為矩形，米，米，米，米，，，，∽，，，解得：，米，答：樹高為米．【點睛】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，關鍵是正確作出輔助線，構造出相似三角形．5．（2023·陜西榆林·統考模擬預測）西安古城墻凝聚了中國古代勞動人民的智慧，它作為古城西安的地標性建筑，吸引了不少人慕名而來．節假日，看見宏偉的城墻后，他想要測量城墻的高度．如圖，站在距城墻約30米的點N處（即米），把手臂向前伸直且讓小棍豎直，樂樂看到點B和城墻頂端D在一條直線上，點C和底端E在一條直線上．已知樂樂的臂長約為60厘米，小棍長24厘米，求城墻的高度．

【答案】城墻的高度DE為12米【分析】先說明，根據相似三角形的性質可得，最后代入相關數據即可解答．【詳解】解：由題意可作出下圖：

由題意得，，米，∵，∴，∴，即，解得：．∴城墻的高度為12米．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，正確作出輔助線、構造相似三角形是解答本題的關鍵．6．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學校聯考期中）“參天三柏倚高峰，武帝曾經駐六龍”講的是嵩陽書院內的三棵古柏現存兩棵，分別名為“大將軍柏”和“二將軍柏”，林學專家測定，古柏的樹齡不低于年，是我國現存最古老和最大的柏樹某中學數學課題學習小組欲測量“二將軍柏”的高度，他們利用太陽光照射下的影長進行測量小西先在大樹影子端點處豎立了一根長為米的木棒，并測得木棒的影長米，然后小樂在的延長線上找到點，使得點，，在同一直線上，并測得米，已知圖中所有點均在同一平面內，且，，根據以上測量過程及測量數據，請你幫助該課題學習小組求出“二將軍柏”的高度結果精確到米．【答案】20米【分析】從實際問題中抽象出相似三角形，利用相似三角形的性質列比例式求解即可．【詳解】解：由題意得，，，∴，即，∴，∵，，，∴，即，解得，答：“二將軍柏”的高度約為米．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出相似三角形，難度不大．題型九實數與向量相乘1．（2023春·上海奉賢·八年級統考期末）下列關于向量說法錯誤的是（

）A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模C．長度為零的向量叫做零向量 D．零向量是沒有方向的【答案】D【分析】根據向量的相關定義，逐項分析判斷即可求解．【詳解】A.既有大小，又有方向的量叫做向量，故該選項正確，符合題意；

B.向量的大小叫做向量的模，故該選項正確，符合題意；C.長度為零的向量叫做零向量，故該選項正確，符合題意；

D.零向量有方向的，但方向不是確定的，故該選項不正確，不符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了向量的相關定義，熟練掌握向量的定義是解題的關鍵．2．（2023·上海·九年級假期作業）已知為單位向量，向量與方向相反，且其模為的4倍；向量與方向相同，且其模為的2倍，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平面向量的性質得到，，從而得到．【詳解】解：根據題意知，，，則，，則，觀察選項，只有選項B符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了平面向量的知識．此題比較簡單，注意掌握單位向量的知識．3．（2023·上海·九年級假期作業）已知非零向量、，且有，下列說法中，不正確的是()A．| B．C．與方向相同 D．【答案】C【分析】根據向量的相關概念逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵非零向量、，且有，∴，，，與方向相反，故A，B，D正確，C錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了向量的相關概念，掌握向量的相關概念是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·上海·八年級專題練習）如果與是平行向量且長度相同，那么向量（用表示）．【答案】【分析】利用向量相等，向