第5節共點力的平衡學習任務1．知道什么是共點力及共點力作用下物體平衡狀態的概念。2．掌握共點力平衡的條件。3．會用共點力的平衡條件，分析生活和生產中的實際問題。共點力平衡的條件1．平衡狀態：物體保持靜止或勻速直線運動狀態。2．二力平衡條件：作用在同一物體上的兩個力，如果大小相等，方向相反，并且在同一條直線上，那么這兩個力平衡。3．在共點力的作用下物體平衡的條件是合力為0。如圖甲中懸掛風景畫框的結點O受三個力，乙中的店牌受三個力，丙中的扁擔也受三個力。問題1觀察三幅圖中的作用力，哪些是共點力？提示：甲、乙圖中都是共點力。丙圖中不是共點力。問題2如何計算圖乙中的合力？提示：乙圖中的力是共點力，可以應用平行四邊形定則求合力。問題3圖甲中的風景畫框處于什么狀態？所受合力是多少？提示：平衡狀態；為零。1．共點力平衡的條件合外力等于0，即F合＝0→正交分解法Fx合=0Fy合=0，其中Fx合和2．由平衡條件得出的三個結論【典例1】孔明燈又叫天燈，相傳是由三國時的諸葛亮所發明。當年，諸葛亮被司馬懿圍困于平陽，無法派兵出城求救。諸葛亮算準風向，制成會飄浮的紙燈籠，系上求救的訊息，其后果然脫險，于是后世就稱這種燈籠為孔明燈?，F有一孔明燈升空后向著東北偏上方向勻速上升，則此時孔明燈所受空氣的作用力(含風力)大小和方向是()A．0 B．mg，東北偏上方向C．mg，豎直向上 D．2mg，東北偏上方向C[孔明燈向著東北偏上方向勻速上升，即處于平衡狀態，則合力為零，由于所受重力方向豎直向下，根據平衡條件，空氣的作用力大小F＝mg，方向豎直向上，故C正確。][跟進訓練]1．(多選)下列關于共點力的平衡與平衡條件的說法正確的是()A．相對靜止的兩個物體都處于平衡狀態B．物體做自由落體運動時處于平衡狀態C．如果物體處于平衡狀態，則物體沿任意方向的合力都必為零D．如果物體受到三個共點力的作用而處于平衡狀態，則任意兩個力的合力與第三個力大小相等，方向相反CD[兩個物體相對靜止可能以相同的速度做變速運動，A錯誤；物體做自由落體運動時具有加速度，不是平衡狀態，B錯誤；物體處于平衡狀態時，滿足F合＝0的條件，又因要F合＝0，必須要Fx、Fy同時為零，故物體沿任意方向的合力都必為零，C正確；如果物體受到三個共點力的作用而處于平衡狀態，要滿足F合＝0的條件，則任意兩個力的合力必與第三個力大小相等，方向相反，D正確。]2．(2022·哈爾濱六中高一檢測)如圖所示，有一均勻梯子AB斜靠在豎直墻上處于靜止狀態，假設墻面光滑，地面粗糙，則地面對梯子的作用力可能沿()A．F1的方向 B．F2的方向C．F3的方向 D．F4的方向B[對梯子受力分析知，梯子受豎直向下的重力G，墻施加的水平向右的彈力FN，另外地面施加的作用力F，此三力不平行，故三力應共點，如圖所示，F應與G、FN交于一點，所以可能的方向是沿F2的方向。]解答共點力平衡問題的三種常用方法在科學研究中，可以用風力儀直接測量風力的大小，其原理如圖所示。儀器中一根輕質金屬絲懸掛著一個金屬球。無風時，金屬絲豎直下垂；當受到沿水平方向吹來的風時，金屬絲偏離豎直方向一個角度。風力越大，偏角越大。通過傳感器，就可以根據偏角的大小指示出風力。問題1有風時金屬球受哪幾個力的作用？提示：有風時，它受到三個力的作用：重力mg、水平方向的風力F和金屬絲的拉力FT。問題2小球受到的風力F和拉力FT的合力與重力是什么關系？提示：是平衡力，滿足大小相等，方向相反且共線。問題3重力產生的作用效果是什么？提示：一是沿著金屬絲向左下方拉金屬絲，二是沿著水平方向向右拉小球。問題4如何計算風力大小F跟金屬球的質量m、偏角θ之間的關系(試畫出受力分析圖)提示：可以用合成法、分解法、正交分解法(如圖所示)。1．處理靜態平衡問題的常用方法合成法物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，任意兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反分解法物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，將某個力按作用效果分解，則其分力與其他兩個力分別平衡正交分解法物體在多個共點力作用下處于平衡狀態，應用正交分解法，則有Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝矢量三角形法如果三個力首尾相接恰好構成三角形，則這三個力的合力為零。矢量三角形法可以充分利用幾何邊角關系求解平衡問題2．應用共點力靜態平衡條件解題的步驟【典例2】(多選)如圖所示，重物的質量為m，輕細繩AO和BO的A端、B端是固定的，平衡時AO是水平的，BO與水平方向的夾角為θ，重力加速度為g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分別是()A．F1＝mgcosθ B．F1＝mgC．F2＝mgsinθ D．F2＝mgBD[解法一：合成法由力的平行四邊形定則，作出F1、F2的合力F12，如圖所示，又考慮到F12＝mg，由幾何關系得F1＝mgtanθ，F2＝解法二：正交分解法將O點受的力沿水平方向、豎直方向正交分解，如圖(a)所示。由力的平衡條件得F2cosθ－F1＝0，F2sinθ－mg＝0，解得F2＝mgsinθ，F1＝(也可以用效果分解法求解，同學們可以試一試)解法三：(矢量三角形法)O點受到mg、F1和F2的作用處于平衡狀態，畫出受力分析圖，如圖(b)所示。再將三個力的矢量平移到一個三角形中，三力構成首尾相接的封閉的三角形，如圖(c)所示。則由幾何關系可知F1＝mgtanθ，F2＝mg[跟進訓練]3．用繩子將鳥籠掛在一根橫梁上，如圖所示。若鳥籠重19.6N，求繩子OA和OB對結點O的拉力。[解析]以結點O為研究對象，根據共點力的平衡條件，受力分析如圖所示。F＝T，且T＝G由三角函數關系得F1＝Fcos30°＝19.6×32N≈F2＝Fsin30°＝19.6×0.5N＝9.8N所以，繩子OA對結點O的拉力大小是17.0N，方向沿繩由O指向A；OB對結點O的拉力大小是9.8N，方向沿繩由O指向B。[答案]見解析4．如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點。設滑塊所受支持力為FN，OP與水平方向的夾角為θ。下列關系正確的是()A．F＝mgtanθ B．F＝mgC．FN＝mgtanθ D．FN＝mgA[對小滑塊進行受力分析，如圖所示，將FN沿水平方向和豎直方向進行分解，根據平衡條件列方程。水平方向有FNcosθ＝F，豎直方向有FNsinθ＝mg，聯立解得F＝mgtanθ，FN]“活結”與“死結”、“活桿”與“死桿”模型1．“活結”與“死結”模型(1)“活結”一般是由輕繩跨過光滑滑輪或者繩上掛一光滑掛鉤而形成的。繩雖然因“活結”而彎曲，但實際上是同一根繩，所以由“活結”分開的兩段繩上彈力的大小一定相等，兩段繩合力的方向一定沿這兩段繩夾角的平分線。(2)“死結”兩側的繩因結而變成了兩根獨立的繩，因此由“死結”分開的兩段繩上的彈力不一定相等。2．“活桿”與“死桿”模型(1)“活桿”：即桿用轉軸或鉸鏈連接，當桿處于平衡狀態時，桿所受到的彈力方向一定沿著桿，否則會引起桿的轉動。如圖甲所示，若C為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，彈力方向始終沿桿的方向。(2)“死桿”：若輕桿被固定不發生轉動，則桿所受到的彈力方向不一定沿桿的方向。如圖乙所示，水平橫梁的一端A插在墻壁內，另一端B裝有一個小滑輪，一繩的一端C固定于墻壁上，另一端跨過滑輪后懸掛重物m?；唽K的作用力應為圖丙中兩段繩中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB桿彈力的方向不沿桿的方向?！镜淅?】如圖甲所示，細繩AD跨過固定的水平輕桿BC右端的輕質光滑定滑輪懸掛一質量為M1的物體，∠ACB＝30°；圖乙中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻壁上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向的夾角為30°，在輕桿的G點用細繩GF懸掛一質量為M2的物體(都處于靜止狀態)，求：(1)細繩AC段的張力FTAC與細繩EG的張力FTEG之比；(2)輕桿BC對C端的支持力；(3)輕桿HG對G端的支持力。[解析]題圖甲和乙中的兩個物體M1、M2都處于平衡狀態，根據平衡的條件，首先判斷與物體相連的細繩，其拉力大小等于物體所受的重力；分別取C點和G點為研究對象，進行受力分析如圖1和2所示，根據平衡規律求解。(1)圖1中細繩AD跨過輕質光滑定滑輪懸掛質量為M1的物體，物體處于平衡狀態，細繩AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g圖2中由FTEGsin30°＝M2g，得FTEG＝2M2g所以FTACFTEG(2)圖1中，FTAC、FNC、M1g三個力之間的夾角都為120°，根據平衡規律有FNC＝FTAC＝M1g，FNC的方向與水平方向成30°，指向右上方。(3)圖2中，根據平衡規律有FTEGsin30°＝M2g，FTEGcos30°＝FNG，所以FNG＝M2g1tan30°＝3M2g，[答案](1)M12M2(2)M1g，方向與水平方向成30°指向右上方(3)3[跟進訓練]5．如圖所示為三種形式的吊車的示意圖，OA為桿，重力不計，AB為纜繩，當它們吊起相同重物時，桿OA在三圖中的受力Fa、Fb、Fc的關系是()A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝FbC．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝FcC[分別對三種形式的結點進行受力分析，設桿的作用力分別為F1、F2、F3，各圖中FT＝mg。在圖(a)中，F1＝2Gcos30°＝3G。在圖(b)中，F2＝Gtan60°＝3G。在圖(c)中，F3＝Gcos30°＝32G可知a＝b＞c，故C正確，A、B、D錯誤。]1．若某一物體受共點力作用處于平衡狀態，則該物體()A．一定是靜止的B．一定做勻速直線運動C．所受各共點力的合力可能不為零D．所受各共點力的合力為零D[物體處于平衡狀態時，物體可能靜止或做勻速直線運動，選項A、B錯誤；此時所受各共點力的合力一定為零，選項C錯誤，D正確。]2．(2022·廣東卷)如圖所示是可用來制作豆腐的石磨。木柄AB靜止時，連接AB的輕繩處于繃緊狀態。O點是三根輕繩的結點，F、F1和F2分別表示三根繩的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列關系式正確的是()A．F＝F1B．F＝2F1C．F＝3F1D．F＝3F1D[以O點為研究對象，受力分析如圖所示，由幾何關系可知θ＝30°，由平衡條件可得F1sin30°＝F2sin30°，F1cos30°＋F2cos30°＝F，聯立可得F＝3F1，故D正確，A、B、C錯誤。]3．如圖所示質量為m的物體懸掛在A點，OA為可繞O點轉動的輕桿，與豎直墻面的夾角θ＝30°，AB為輕繩，與豎直墻面的夾角α＝60°，輕繩AB和輕桿OA的彈力分別是()A．12mg，32mg B．32mgC．mg、mg D．mg，3mgA[對節點O受力分析如圖所示，根據平衡條件可得，輕桿OA中的彈力F＝mgcosθ＝mgcos30°＝32mg，輕繩AB的拉力T＝mgsin30°＝12mg，故選項A]4．(2022·江西吉安高一期末)如圖所示，一條不可伸長的輕質細繩一端跨過光滑釘子b懸掛一質量為m1的重物，懸掛點為d，另一端與另一輕質細繩相連于c點，ac＝l2，c點懸掛質量為m2的重物，平衡時ac正好水平，此時d點正好與ac在同一水平線上，且到b點的距離為l，到a點的距離為54l，則兩重物的質量的比值m1mA．52B．2C．54DC[法一：合成法因c點處于平衡狀態，所以任意兩個力的合力均與第三個力大小相等，方向相反，如圖甲所示，根據平行四邊形定則將力F與m1g合成，則sinθ＝m2gm1g，而si