2023年普通高等學校招生全國統一考試?仿真模擬卷

數學（六）

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷

和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

選項是符合題目要求的.

1.已知集合4={小2-1<°},3={#-2/0},若=則實數〃的取值范圍是（）

A.（-00,-2]B.[-2,4-00）

C,卜卜8）D.

2.如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若復數z=i（3-tri）為“等部復數”，則

實數。的值為（）

A.-1B.OC.3D.-3

3.雙曲線二—二=1（°>0/>0）的離心率為6，且過點4（2,2）,則雙曲線方程為（）

a~b~

A.x2~~=\

224

C九2>12-i

4236

4.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，設xsR,用[可表示不超

過x的最大整數，y=國也被稱為“高斯函數”，例如[21]=2,[3]=3,[―1.5]=—2,設%為函數

3

J（x）=k）g3%一高工的零點，則卜i）］=（）

A.2B.3C.4D.5

5.已知點P是圓C:（x—6『+（y—3）2=4上一點，若點尸到直線y=—2的距離為1,則滿足條

件的點P的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知。外7,），且5cos2tz+10sin2a=9，WOtana=（）

A.—B.2C.；D.一

922

7.隨著北京冬奧會的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內外，現有甲、乙、丙、丁4名運動員要與1個“冰墩

墩”站成一排拍照留戀，已知“冰墩墩”在最中間，甲、乙、丙、丁4名運動員隨機站于兩側，則甲、乙2名

運動員站“冰墩墩”同一側的概率為（）

111

1

--C--

A.4236

8.如圖，在正方體ABC。-AB|GA中，點P在線段8。上運動（包含端點），則直線與尸與G。所成

角的取值范圍是（）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.圓柱的側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是（)

02/24

83

A.8兀cm?B.—cm

71

c.%3D.-cm3

71兀

10.已知隨機變量X服從二項分布B（4，P）,其方差。（x）=l,隨機變量丫服從正態分布N（〃,4）,且

尸（X=2）+P（y<a）=l,則（）

I3

A.5B,p（x=2）=-

31

C.P（Y<a）=-D.P（y>l-a）=-

88

22

11.已知直線y=x+l交橢圓C:土+2-=l于A,B兩點，P是直線A6上一點，。為坐標原點，則（）

63

A.橢圓C的離心率為也

2

B.1明=乎

C.OAOB=-2

D.若月,乃是橢圓C的左，右焦點，則歸段―歸用歸2行

12.己知函數/（x）=（x-3）e,,若經過點（0,。）且與曲線y=/（x）相切的直線有兩條，則實數。的值為

（）

A.-3B.-2C.-eD.-e2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=9,2,6=（—則a?。一忖=.

14.寫出一個同時滿足下列條件的非常數函數.

①在［0,+8）單調遞增②值域［L+8）③/（力習十一力

15.“中國剩余定理”又稱“孫子定理1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數''問題

的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般

性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整

除問題：將1到2022這2022個數中，能被3除余1且被4除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成

數列｛%｝,則此數列的項數為.

16.函數/(x)=2sin(iyx+e)(<y>0,刨〈力的部分圖象如圖中實線所示，A,C為/(x)的圖象與x軸

交點，且A-；,0,M,N是/(X)的圖象與圓心為C的圓(虛線所示)的交點，且點M在y軸上，N

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知數列｛%｝滿足q=1,｛n-\)an-叫“=0(/1>2).

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)若4=2"q,求數列出｝的前“項和S”.

18.如圖，中，AB=4,AC=2,B=g,點。在邊BC上，S.cosZADB=--—.

67

(1)求8￡>；

(2)求,ABC的面積.

19.近年來，師范專業是高考考生填報志愿的熱門專業.某高中隨機調查了本校2022年參加高考的100位

文科考生首選志愿(第一個院校專業組的第一個專業)填報情況，經統計，首選志愿填報與性別情況如下

表：(單位：人)

首選志愿為師范專業首選志愿為非師范專業

女性4515

04/24

男性2020

假設考生選擇每個科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.

(1)根據表中數據，能否有99%的把握認為首選志愿為師范專業與性別有關？

(2)若以上表中頻率代替概率，從該校考生中隨機選擇8位女生，試估計選擇師范專業作為首選志愿

的人數.

參考公式：K>-----)------------------,其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

參考數據：

P（K2>k.）0.100.050.0100.001

ko2.7063841663510.828

20.如圖，四棱錐P-ABCD中，Q4_L平面ABCQ,底面A8C。是直角梯形，AB//CD,ABLAD,

Q4=l,BC=CD=2,AB=3,點E在棱PC上.

BE

(1)證明：平面AED_L平面％B；

(2)已知點E是棱PC上靠近點P的三等分點，求二面角C—AE-O的余弦值.

21.已知直線x+2y-2=0過拋物線C：f=2py(p>0)的焦點.

(1)求拋物線C的方程;

(2)動點A在拋物線C的準線上，過點A作拋物線C的兩條切線分別交x軸于M,N兩點，當,AVN的

面積是好時，求點A的坐標.

2

22.已知函數/（為）=疣，，g（x）=21n]+2.

(1)求函數/(x)的最值；

(2)若關于x的不等式/(x)-g(x”依恒成立，求實數人的取值范圍.

2023年普通高等學校招生全國統一考試?仿真模擬卷

數學(六)

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷

和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

選項是符合題目要求的.

1,已知集合人斗*一1叫，8={#-2/0},若入5=3,則實數.取值范圍是()

A.B.[-2,+oo)

[1)(1

C.——，+8D.-oo,——

L2)I2」

【答案】C

【解析】

【分析1求出A=B={^x>2a\,根據=得到4=8,從而得到不等式，

求出實數”的取值范圍.

【詳解】A=x2-1<0|=-1<x<1},B={x|x-2aN0}={x|xN2a},

因為所以AqB,

故24zW—1,解得：ci<—,

2

故選：C

2.如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若復數z=i(3-ai)為“等部復數”，則

實數。的值為()

A.-1B.OC.3D.-3

【答案】C

06/24

【解析】

【分析】利用復數的乘法法則得到z=a+3i,從而得到a=3.

【詳解】z=i（3—ai）=—ai'+3i=a+3i,故a=3.

故選：C

22

3.雙曲線二一與=l（a>0/>0）的離心率為6,且過點A（2,2）,則雙曲線方程為（）

a"b"

22

A爐r_xB.工-J

224

2222

C.工上=1D.上上=1

4236

【答案】B

阿斤】

【分析】通過已知得出“與人的兩個關系式，即可聯立求解，代入雙曲線方程即可得出答案.

22

【詳解】雙曲線0-/=1（。>0,。>0）的離心率為6,

a

a2+b2-c1

.a2+b2

=3，即2a2=b1,

Q-

22

雙曲線3-5?=l(a＞。力＞0)過點4(2,2),

a~b~

.44_

..------------——1,

b"

44

則由2〃與一^一不=1聯立解得：a=yp2?b=2,

ab

22

???雙曲線的方程為：—-^-=1,

24

故選：B.

4.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，設x《R,用［可表示不超

過X的最大整數，y=[x]也被稱為“高斯函數”，例如[2.1]=2,同=3,[―1.5]=—2,設％為函數

3

y（x）=iog3x------的零點，則&]=（）

X+1

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】首先判斷函數的單調性，再根據零點存在性定理判斷與所在區間，最后根據高斯函數的定義計算

可得.

3

【詳解】解：因為丁=1。83%與丁=一二1在（0,+8）上單調遞增，

3

所以/（%）=log3X--—在（0,+8）上單調遞增，

X+1

3313

又〃3）=log33-幣=1-丁/0,/（2）=10§32-^=10§32-1<0,

所以“X）在（2,3）上存在唯一零點％,即/<2,3）,所以[%]=2.

故選：A

5.已知點尸是圓C:（x-8『+（y-3『=4上一點，若點P到直線y=J^x—2的距離為1,則滿足條

件的點尸的個數為（）

A.1B.2C.3D,4

【答案】C

【解析】

【分析】根據圓心到直線的距離即可求解.

?32

【詳解】由題意可知圓心為所以c（6,3）到y=氐一2的距離為d=|^^'1=1,

故與直線y=J?x-2平行且過圓心的直線與圓相交的兩個交點即為滿足條件的點P,此時有兩個，又圓

的半徑為2,故當過圓心且與y=2垂直的直線與圓的下半部分相交的一個點也符合，故共有3個.

故選:C

08/24

y,

-2

Pi

6.已知ae，且5cos2a+10sin2a=9，則tana=()

9

AB.2cD.

-t-?2

【答案】B

【解析】

【分析】由己知利用二倍角公式，平方關系siVa+cos2a=1代換，可得史學史U=9,根據a的范

tan~a+l

圍即可求解.

【詳解】由5cos2a+10sin2a=9，得

5cos2a+20sinacosa=9，

5cos2a+20sinacosa

則nil--------------------=

sin2cif4-cos2a

54-20tan6z八，口

即Ur1tan%+l=9,得9tan0-a-20tana+4=0,

則(9tantz_2)(tana_2)=0,

得tana=2或tana=2,

9

7171

又ae4f2所以tancr>1,

故tana=2.

故選：B

7.隨著北京冬奧會的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內外，現有甲、乙、丙、丁4名運動員要與1個“冰墩

墩”站成一排拍照留戀，已知"冰墩墩''在最中間，甲、乙、丙、丁4名運動員隨機站于兩側，則甲、乙2名

運動員站“冰墩墩”同一側的概率為（）

【答案】c

【解析】

【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名運動員與1個“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中間的所有排法

的所有排法，再求甲、乙2名運動員站“冰墩墩”同一側的排法，根據古典概型概率公式求概率.

【詳解】甲、乙、丙、丁4名運動員與1個“冰墩墩”排成一排，

且“冰墩墩”在最中間的所有排法有A：=24種，

甲、乙2名運動員站“冰墩墩”同一側排法有2A；A；=8種，

Q1

由古典概型的概率公式可得甲、乙2名運動員站“冰墩墩”同一側的概率：尸=——=一，

243

故選：C.

8.如圖，在正方體ABCQ-AAGR中，點P在線段8。上運動（包含端點），則直線與G。所成

角的取值范圍是（）

【答案】B

【解析】

【分析】要求直線所成角，轉化為方向向量所成角，建立如圖所示空間直角坐標系，所以

BF=BiB+BP=B]B+2BR=（一九一九一1+?（0W2W1）,又DC】=（0,1,1）,設則直線gP與CQ

所成角為仇則cos9=Ms（gp,0G）|，結合x的范圍即可得解.

10/24

以D4,DC,。。為蒼y,z建立如圖所示空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1，則8(1,1,0),。(0,0,1),C,(0,1,1),4(1,1/)，

所以4P+B戶+=(0,0,-1)+〃-1,-1,1)=(一/1,一/1,-1+丸)(0式;IW1)

OG=(0,1,1)，

則設直線用尸與G。所成角為

則2岫配,叫卜扁"匕上加］，

由0WXW1,所以3分-24+1=3/l—士+-e

I3；3

TtIt

,所以

6'3'

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.圓柱的側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是()

、83

A.871cm3B.—cm

it

1643

C.——cm-3D.—cm

nn

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知中圓柱的側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長為4cm,高為

2cm的和圓柱的底面周長為2cm,高為4cm,兩種情況分別由體積公式即可求解.

【詳解】側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，

..............」2

若圓柱的底面周長為4cm,則底面半徑R=—cm,h=2cm,

71

Q

此時圓柱的體積V=TC/?2A=—cm1

71

若圓柱的底面周長為2cm,則底面半徑R='cm,〃=4cm,

71

此時,圓柱的體積V=nR?h=—cm'

71

故選：BD

10.已知隨機變量X服從二項分布3（4,〃），其方差。（X）=l,隨機變量丫服從正態分布N（p,4）,且

P(X=2)+P(y<a)=l,則()

I3

A〃=]B.P(X=2)=w

31

c.p(y<?)=-D.p(y>i-a)=-

88

【答案】AB

【解析】

【分析】根據二項分布的方差公式得到方程求出P，再根據獨立重復試驗的概率公式求出P（X=2）,即

可判斷A、B、C,最后根據正態分布的性質判斷D.

【詳解】解：因為隨機變量X服從二項分布B（4,p）,且其方差O（X）=1,

所以。（X）=4p（l-p）=l,解得p=g,故A正確;

3

所以P（X=2）=C：又P(X=2)+P(y<a)=l,

8

所以P（y<a）=*,所以B正確，C錯誤;

8

所以丫則正態曲線關于x對稱，因為a—，=L—（l—a）,

\2J222

所以p(y>l—a)=p(y<a)=9,故D錯誤.

8

故選：AB

11.已知直線y=x+l交橢圓C:t+二=1于A，B兩點，P是直線上一點，。為坐標原點，則（）

63

12/24

A.橢圓。的離心率為上

2

B.|明=乎

C.OAOB=-2

D.若耳,鳥是橢圓C的左,右焦點，則忸圖—|P用歸2及

【答案】AD

【解析】

【分析】根據橢圓方程求出“、b、c,即可求出離心率，即可判斷A,設4&，x),B(與M，聯立

直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，根據弦長公式判斷B,求出b為=(百+1)(々+1),根據數量積

的坐標表示判斷C,設大卜6,0)關于直線A5的對稱點為E(e,f),求出對稱點的坐標，再根據

^PF2\-\PF^<\EF2\,即可判斷D.

【詳解】解：因為橢圓C:二+E=1,所以/=6，b2=3,則。=指，」=五2—從=6,

63

所以離心率e=￡=噂=交，故A正確；

a<62

y=x+1

設A(%，x),3(尤2，%)，由‘fy2,消去y得3犬+41-4=0，

I63

仆44

顯然△>(),所以工1+%2=-g，尤|“2=—§，

所以恒司=>/$卜—q='g)—4x^—,故B錯誤；

又y%=(%+])(*2+1)=玉*2+內+工2+1=，

所以。4-QB=xw+xy2=—3，故c錯誤；

設月(一百,0)關于直線AB的對稱點為E(e,f),

J——J

c4-x/3e=—1/t—\

則17,解得(即￡(一1,1一6,

f-6+e,/=1-V3''

—=-------+1

122

則|P￡|=|PE|,||尸局-附||=仍用-|尸回歸|%|,當且僅當尸，E，苞三點共線時取等號,

所以此國—伊用的最大值為但用=，1-Gy+(1-G)2=2點,即歸圖一|P3<2血，故D正確,

故選：AD

12.已知函數"x)=(x-3)e"若經過點(0,。)且與曲線y=/(x)相切的直線有兩條，則實數〃的值為

()

A.-3B.-2C.-eD.-e2

【答案】AC

【解析】

【分析】設出切點并根據導函數性質設出過切點的切線方程，參變分離構建新函數，求導畫出草圖即可根

據條件得出答案.

【詳解】設切點為—3)e'),

由/(x)=(x-3)e*,

得r(x)=e'+(x_3)eyx_2)e，

則過切點的切線方程為：y-(r-3)e,=(r-2)e,(x-r).

把(0,a)代入，得a_(53)d=Q_2)e'(OT),

即一a=e'(廠—37+3),

令g(x)=e*(x2—3x+3),

則g'(x)=e*(x2_x),

則當xe(-e,0)u(l,+8)時，g'(x)>0,

當xe(0,l)時，g'(X)<0,

g(x)的增區間為(一0)與(1,+<?),減區間為(0,1),

做出草圖如下:

14/24

因為過點（0,4）且與曲線y=/（X）相切的直線有兩條，貝卜。=e或—Q=3,

則a=_3或a=-e,

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知向量a=（4,2百），人=（一1,\/^）,則a2一忖=.

【答案】0

【解析】

【分析】根據向量的數量積和向量的模長公式，直接進行計算即可.

【詳解】“m―W=（4,2G）.（T,9_J（_1）2+（G『=T+6—2=0，

故答案：0

14.寫出一個同時滿足下列條件的非常數函數.

①在［（）,+8）單調遞增②值域口,+8）③

【答案】/（x）=x2+l（不唯一）

【解析】

【分析】結合函數的性質選擇合適函數即可.

【詳解】由/（X）寸■（-x）得函數為偶函數，關于y軸對稱，結合單調性及值域，可以為〃力=1?+1.

故答案為：/（x）=f+l（不唯一）.

15.“中國剩余定理”又稱“孫子定理1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數''問題

的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般

性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”中國剩余定理''講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整

除問題：將1到2022這2022個數中，能被3除余1且被4除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成

數列{%},則此數列的項數為.

【答案】169

【解析】

【分析】根據題意可知所求數為能被12除余1，得出數列伍,｝的通項公式，然后再求解項數即可.

【詳解】解：因為能被3除余1且被4除余1的數即為能被12除余1的數，

2033

故a“=12〃-U,5eN*),又見42022,B[J1<2022,解得〃

又”eN,“，所以1?〃W169且〃eN*.

故答案為：169.

16.函數/(x)=2sin?x+。)(刃>0,刨<])的部分圖象如圖中實線所示，A,C為/(x)的圖象與x軸

交點，且人(-，,0),M,N是/(x)的圖象與圓心為C的圓(虛線所示)的交點，且點用在y軸上，N

【解析】

【分析】根據函數/(x)=2sin(s+e)的圖象以及圓。的對稱性可得函數的周期，結合可得

7T

.f(x)=2sin(2u+1),進而求解M的坐標，由勾股定理即可求解半徑.

【詳解】根據函數/(X)=2sin(s+0)的圖象以及圓。的對稱性，

可得知，N兩點關于圓心C(c,0)對稱，

所以c=一,于是工=。+，=，=>巴=工=>/=2兀，

3262刃2

16/24

I1jrjr

由0=2兀及A—,0,得\~(p=b+kji,keZn(p=—+kii,keZ,

V6J33

由于附<I,所以夕=三，

所以f(x)=2sin(27u+?,f(0)=也,從而“(0,6)，故半徑為=+3=^-,

故答案為：亞

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數列｛%｝滿足q=1,(n-l)a?-nan_｝=0(n>2).

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵若a=2"q,求數列出｝的前“項和S1t.

【答案】(D%=〃

(2)S?=(n-l)-2n+l+2

【解析】

【分析】(1)由題意得數列為常數列，可數列｛《,｝的通項公式；

(2)利用錯位相減法求數列前〃項和.

【小問1詳解】

由(〃一1)為一叫,T=0(〃N2),得工=也(”22),所以數列［%］為常數列，有"=幺=1,

nrt-1InJn1

an=n

【小問2詳解】

bn=r.a,=n.r,

Sn=3+2x22+3x23++(〃一1”I+〃-2",

2s“=2?+2x23+3x24+?+(〃-1)2"+n-2',+',

兩式相減，—s=21+2?+23++2"-?2'用=2°-2)-〃?2'用=(1-n)-2'川一2，

"1-2、7

所以5.=(〃_1>2向+2

18.如圖，在.一A8C中，AB=4,AC=23=三，點。在邊BC上，且cos/4O8=—土-.

67

（1）求BD；

（2）求_ABC的面積.

【答案】（1）有

⑵2G

【解析】

【分析】（1）由cos/A08=—X上求出sinNADB,再由正弦定理即可求出8。

7

（2）根據余弦定理可求出BC,進而求出的面積.

【小問1詳解】

同里，BJ

在.ADB中，cosNADB=--—，則sinZADB

776

所以sin4AD=sin值+ZAZ可=；x,釗+爭斗=答,

BDAB

由正弦定理可得:則V212V7

sinNBADsinNADB

147

【小問2詳解】

在「ABC中，由余弦定理可得：cos30°=—=+16-4

225C-4

解得：BC=2卮

所以的面積S=』x26x4x2=2百.

22

19.近年來，師范專業是高考考生填報志愿的熱門專業.某高中隨機調查了本校2022年參加高考的100位

文科考生首選志愿（第一個院校專業組的第一個專業）填報情況，經統計，首選志愿填報與性別情況如下

18/24

表：(單位：人)

首選志愿為師范專業首選志愿為非師范專業

女性4515

男性2020

假設考生選擇每個科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.

(1)根據表中數據，能否有99%的把握認為首選志愿為師范專業與性別有關？

(2)若以上表中的頻率代替概率，從該校考生中隨機選擇8位女生，試估計選擇師范專業作為首選志愿

的人數.

參考公式：K2=-——〃(絲尸)——其中〃=a+b+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

參考數據:

2

P（K>k0）0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828

【答案】(1)沒有99%的把握認為首選志愿為師范專業與性別有關；

(2)6.

【解析】

【分析】(1)首先利用數據求得=100(45X20—15x20)°&593<6.635，對照表格數據即可得解;

60x40x65x35

(2)根據人數可得女生中首選志愿為師范專業的概率P=0.75,設該校考生中隨機選擇8位女生中選擇

師范專業作為首選志愿的人數為x,所以x3(8,0.75),利用二項分布即可得解.

【小問1詳解】

根據所給數據求得片=l0°(45x20-15x20)2-6.593<6.635，

60x40x65x35

所以沒有99%的把握認為首選志愿為師范專業與性別有關.

【小問2詳解】

100名高考考生中有60名女生，首選志愿為師范專業有45人，

故首選志愿為師范專業的概率P=0.75，

設該校考生中隨機選擇8位女生，選擇師范專業作為首選志愿的人數為x,

所以x3(8,0.75),

所以E(x)=8x0.75=6,

所以隨機選擇8位女生計選擇師范專業作為首選志愿的人數為6.

20.如圖，四棱錐P—A8CZ)中，B4_L平面ABC。，底面A8CD是直角梯形，AB//CD,ABYAD,

(1)證明：平面AED_L平面以&

(2)已知點E是棱PC上靠近點P的三等分點，求二面角C—AE—。的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)叵

14

【解析】

【分析】(1)由題意可證得Q4_LAQ,又Afi_LA。，由線面垂直的判定定理可得AD_L平面Q4B,再由

面面垂直的判定定理即可得證；

(2)以A為原點，AZZAB,/爐分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面C4E和

平面AED的法向量，再由二面角公式即可得出答案.

【小問1詳解】

因為24_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以R4_LA。，

又PAAB=A,PA,AB\平面RW，

所以A￡>_L平面PAB.

又ADu平面ADE，所以平面AE￡)_L平面Q鉆.

小問2詳解】

以A為原點，AD,AB,AP分別為x,J7,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，

過C作CG//4),交A8于點G,則易知四邊形AOCG是矩形，

所以AO=CG=JFW=百，

20/24

則A(0,0,0),8(3,0,0),P(0,0,l),C(2，V3,0),D(0,G,0),

E是棱PC上靠近點P的三等分點,

所以設E(x,y,z),則=所以(x,y,z—1)=；(2,6,—1卜

2告則4潛"叫潛斗血(0,后0),

則X-

33

設平面ADE的法向量為n=(x,y,z),則〃.AD=0且〃.AE=0，

.,.百y=0且2x+@y+2z=o,；.y=0,令x=l,則z=—1,

333

二平面ADE的一個法向量〃=。,0,-1),

設平面ACE的法向量為〃2=a，x，zJ,AP=(O,O,l),4C=(2,6,O)

則〃-AC=0且“-AP=0,，4=0且2芯+8y=0,

令x=JJ,則y=-2,平面ACE的一個法向量，〃=(73,-2,0),

/、mnG^42

?*.cos(m,n)=--n-r=—f=--j==------,

'1\m\\n\72x7714

二面角C—AE—￡＞的余弦值為這.

21.已知直線x+2y-2=0過拋物線。：/=2刀(〃>0)的焦點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)動點A在拋物線C的準線上，過點A作拋物線C的兩條切線分別交x軸于M,N兩點，當心的

面積是由時，求點A的坐標.

2

【答案】（1）x2=4y

（2）或（-1,-1）

【解析】

【分析】（1）求出焦點坐標為（0,1），從而得到p=2,求出拋物線方程；

（2）設出A（m,-1）,過點A的拋物線的切線方程設為了=一1+攵（％-加）,與拋物線方程聯立，根據△=0

得到16公-16相左-16=0,設過點A的拋物線的兩條切線方程的斜率分別為％1,總，求出

仁+欠2=加,秘2=-1，表達出石一到=比-4|，S謝=g+4,列出方程

17/n2+4=—，求出機=土1,得到點A的坐標.

22

【小問1詳解】

x+2y-2=0中令x=0得：y=l,

故焦點坐標為（0,1）,故5=1，解得：P=2,故拋物線方程為V=4y；

【小問2詳解】

拋物線準線方程為：y=-l,

設過點A的拋物線的切線方程設為y=T+Z（x-〃?），

聯立j?=4y得：X2-4AX+4ZT?Z+4=0-

由△=16公