衡陽市八中2024屆高三第2次月考數學試題注意事項：本試卷滿分為150分，時量為120分鐘一?單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1Ax0x2,Bxx2AB1.若集合，則（）x0x1x1xA.C.B.D.x0x2xx0x或12i2.在復平面內，復數對應的點的坐標為()4343550,1,,A.B.C.D.55x)(xx)，有2f(x)f(x)0，則x213.定義在R上的偶函數f(x)滿足：對任意的，21121（ff(2)fff(2)ffff(2)A.B.D.f(2)ffC.的公差為，前項和為，則d0是SnS”的（n）anSS2nS2n4.已知等差數列dn“”“3nA充分不必要條件C充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件5.某校高三有1000人參加考試，統計發現數學成績近似服從正態分布N(105，σ2)，且成績優良（不低于120分）的人數為360，則此次考試數學成績及格（不低于90分）的人數約為（）A.360B.640C.720D.780x22y21a3的左、右焦點分別為F1F2，A為上頂點，若1F的面積為3，則26.橢圓，a3F的周長為（）12A.8B.7C.6D.5第1頁/共6頁axxfx0（其中ea使得恒成fxaxe7.設函數x立，則實數m的取值范圍是（）11e,,AeB.21ee2,,C.D.28.如圖，在三棱錐S中，SASCAC22,ABBC2，二面角SB的正切值是S2，則三棱錐外接球的表面積是（）43A.12πB.4πC.43πD.π3二多選題（本大題共小題，每題分，共20分）?459.已知向量ab(2,4)，則下列結論正確的是（）.|2ab10B.A.(ab)aC.向量a,b的夾角為D.b在a方向上的投影向量是10a4的前項和為，前項積為，若滿足，1，annSn01nn1aa10.設等比數列7，則下列選項正確的是（）1a0為遞減數列1SaSA.B.nT1nn時，的最小值為4047C.當n時，T最小D.當n，則（）fxcos2x2sinx11.已知函數62A.函數在區間fx,上單調遞增第2頁/共6頁B.直線x是函數圖象的一條對稱軸fx23C.函數fx2最多有8個根，且這些根之和為8πfxax2πD.方程l:ykx2交軸于點P，圓yM:x22y1，過點P作圓M的兩條切線，切點分212.已知直線別為A，B，直線AB與交于點C，則（）15A.若直線l與圓M相切，則k15B.當k2時，四邊形的面積為219C.直線AB經過一定點74Q,0CQ為定值D.已知點，則三填空題（本大題共題，每小題分，共20分）?4513.在數學中，有一個被稱為自然常數（又叫歐拉數）的常數e2.71828．小明在設置銀行卡的數字密碼時，打算將自然常數的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼．如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼共有______個．1fxxae14.曲線xf0yxa垂直，則______.在點處的切線與直線215.底面ABCD為菱形且側棱底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若CG3FBEG的體積為__________..則三棱雃x軸的直線l:yay2xy2x1和的圖像交于點A，B，若函數16.設a0，平行于分別與函數y2x的圖像上存在點C，滿足為等邊三角形，則a_________．四?解答題（本大題共6小題，共70分）第3頁/共6頁，ABAC1且cb．317.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為2（1）求角A的大小；3（2）設M為BC的中點，且，求a的長度．218.某工藝品加工廠加工某工藝品需要經過a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互獨立，三道工序31212加工合格率分別為，，．三道工序都合格的工藝品為特等品；恰有兩道工序合格的工藝品為一等4品；恰有一道工序合格的工藝品為二等品；其余為廢品．（1）求加工一件工藝品不是廢品的概率；（2）若每個工藝品為特等品可獲利300元，一等品可獲利100元，二等品將使工廠虧損20元，廢品將使工廠虧損100元，記一件工藝品經過三道工序后最終獲利X元，求X的分布列和數學期望．B=90°，AB22，ACD為等邊三角形，O為AC邊的19.在圖1中，為等腰直角三角形，EC2BE中點，E在BC邊上，且，沿AC將ACD進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，FB，FE，使得4．．（1）證明：平面（2）求二面角EFAC的余弦值．滿足，則稱數列為“平方遞推數列．已知數列中，19，點An1n2Anan20.若數列nan,an1在函數f(x)x22x的圖象上，其中n為正整數，（1）證明：數列a1是“平方遞推數列，且數列a1為等比數列；nna,ab,a*bba1,c2n4db*c的前項和d，求數列n（2）設，定義，且記nnnnnnnb,ab,S．n第4頁/共6頁x22y221ab0的右焦點，右頂點分別為F，A，Bb，1，點21.已知雙曲線C:abM在線段AB上，且滿足3，直線OM的斜率為1，O為坐標原點.（1）求雙曲線C的方程.（2）過點F的直線l與雙曲線C的右支相交于P，Qx兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得FEEPFQEQFP恒成立？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.1x，a0.fxxax22.已知函數（1）討論極值點的個數；fx（2）若恰有三個零點和兩個極值點x.12fxt,t,ttt2tx,xx1231312fxfx0（ⅰ）證明：；12m1memnmmnnnn1（ⅱ）若，且，證明：.ttt123第5頁/共6頁衡陽市八中2024屆高三第2次月考數學試題注意事項：本試卷滿分為150分，時量為120分鐘一?單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1Ax0x2,Bxx2AB1.若集合，則（）x0x1x1xA.C.B.D.x0x2xx0x或【答案】A【解析】【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再求兩個集合的交集.x1x1，1解得1x1，則B【詳解】不等式x2Ax0xABx0x1，又，所以故選：A.2.在復平面內，復數12i對應的點的坐標為()435543550,1,,A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先進行復數的除法運算，進而可得對應點的坐標.2i2i112i2ii【詳解】，所以對應點的坐標為．5故選：Af(x)f(x)xx)(xx)，有2210，則3.定義在R上的偶函數f(x)滿足：對任意的，12121（ff(2)fff(2)fB.A.第1頁/共27頁f(2)fffff(2)D.C.【答案】A【解析】f1f2x1x2[0∞)(x≠x)<0f(x)在[0∞)1212ff(2)f(2)f，選A.點睛：利用函數性質比較兩個函數值或兩個自變量的大小，首先根據函數的性質構造某個函數，然后根據函數的奇偶性轉化為單調區間上函數值，最后根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行的公差為，前項和為，則d0是SnS”的（n）anSS2nS2n4.已知等差數列dn“”“3nA.充分不必要條件C.充分必要條件【答案】CB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】n【分析】利用等差數列的前項公式，分別從充分性和必要性兩個方面進行判斷即可求解.【詳解】因為數列是公差為的等差數列，所以andnn2n(2nnnSSnad21d1d，3n2n12222n(2nn(nnnSS2nad1d1d，2nn1222SS(SS)n2d所以，3n2n2nn若等差數列的公差d0SSSS，則n2d0，所以，故充分性成立；3n2n2nnanSSSSSS(SS)n2d0，所以，故必要性成立，d0若，則3n2n2nn3n2n2nn所以“d0”是“故選：C.SSSS”3n2n2nn5.某校高三有1000人參加考試，統計發現數學成績近似服從正態分布N(105，σ2)，且成績優良（不低于120分）的人數為360，則此次考試數學成績及格（不低于90分）的人數約為（）A.360B.640C.720D.780【答案】B【解析】第2頁/共27頁【分析】利用正態分布的性質可解.360640P(X90)P(X120)P(X90)1P(X90)【詳解】因為，所以，所以此次考10001000640試數學成績及格（不低于90分）的人數約為1000故選：B640.1000x22y21a3的左、右焦點分別為F1F2，A為上頂點，若1F的面積為3，則26.橢圓，a3F的周長為（）12A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】【分析】設橢圓的半焦距為，由條件利用表示△F的面積，由條件列方程求，再由關系求a,b,cccc12AF，由此可求21F的周長.2aAF，根據橢圓定義求1x22y21a3的半短軸長為，半焦距為，bc【詳解】設橢圓a31SFFbc3，AF12的面積12則b2由題知c3，所以c1，abAFAF2a42c2，2FF2c2，由橢圓的定義知，又1212所以△F的周長為426.12故選：C.axxfx0（其中ea使得恒成fxaxe7.設函數x立，則實數m的取值范圍是（）11e,,A.B.e21ee2,,C.D.2【答案】A第3頁/共27頁【解析】exxxex)(a)0gx,h(x)ygx和函數yhx(axxxxyaya下方，等價于一個函數的最小值大于另一個函數的最大值，即可得出答案．【詳解】函數的定義域為(0,)，fxexx由fx0(axex)axx0，所以(a)(a)0，，得xxxex令g(x),h(x)，xxygx和函數yhx的圖象，一個在直線yaya上方，一個在直下方，等價由題意知，函數于一個函數的最小值大于另一個函數的最大值，x1xg(x)(x0)g(x)，得由，xx2x0,e時，gxgx所以當單調遞增，單調遞減，x(e,)gxgx當時，ee1egxg(e)g(x)，沒有最小值，所以exexxexe(xx由h(x)(x0)，得h(x)，xx2x2xhxhx上單調遞增，當m0時，在x)hxhx在上單調遞減，所以有最大值，無最小值，不合題意，hxhxhx單調遞減，m0時，在x上當x)hxhx上在單調遞增，h(x)hme所以，1h1ge所以即e，e11m(,)．所以，即m的取值范圍為e2e2第4頁/共27頁故選：A．8.如圖，在三棱錐S中，SASCAC22,ABBC2，二面角SB的正切值是S2，則三棱錐外接球的表面積是（）43A.12πB.4πC.43πD.π3【答案】A【解析】【分析】利用二面角SB的正切值求得SB，由此判斷出2BS,,，且兩兩垂直，由此將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設E是AC的中點，連接EB,ESSASC,ABBC，由于，ACSE,ACBESB所以，所以是二面角的平面角，所以2，sinSEBcosSEBtanSEB3.由得3sin2SEBSEB12在SAC中，SE22SA2AE22226，2，2SEBEcosSEB2，2在中，BEAB2AE2222在△SEB中，由余弦定理得：SBSE22BE2所以，由于SASCAC22，所以由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為23.設正方體外接球的半徑為R，則R3，所以外接球的表面積為BS,,兩兩垂直.4R2π，2第5頁/共27頁故選：A.二多選題（本大題共小題，每題分，共20分）?459.已知向量ab(2,4)，則下列結論正確的是（）.A.(ab)a|2ab10B.C.向量a,b的夾角為D.b在a方向上的投影向量是10a4【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據向量的加法和數量積的坐標表示，可得答案；對于B，根據向量的數乘以及加法坐標公式，結合模長的坐標公式，可得答案；對于C，根據向量夾角公式，可得答案；對于D，根據投影的定義，結合向量數乘的幾何意義，可得答案.ab1aba31130aba【詳解】對于A，，由，則，故A正確；242，2ab422225，故B錯誤；對于B，2abab123410，a2210b224252對于C，，，則ab102a,b，即向量a,b的夾角為，故C正確；ab102524ab10aaa對于D，b在a方向上的投影向量是2，故D錯誤.10a故選：AC.的前項和為，前項積為，若滿足，1，annSn01nn1aa10.設等比數列7，則下列選項正確的是（）1a0第6頁/共27頁為遞減數列1SaSA.B.nT1nnC.當n時，T最小D.當時，的最小值為4047n【答案】BC【解析】a20241，判斷BT的意義，結合ABn【分析】首先討論數列的單調性，判斷A選項的判斷，再判斷C；結合等比數列的性質，以及AB選項的判斷，即可判斷D.a0aa7a07a0，【詳解】A.由條件可知，，與，同號，所以，則11a1q0，則公比q0而若0q1，數列單調遞減，則07,1，那么71，與已知矛盾，若q1，則0aaa1，則那么71，與已知矛盾，17q，才存在，使1，所以等比數列q1aaa只有當單調遞增，故A錯誤；7nB.因為，單調遞增，所以1，1a0anaSS1，即S1S則，故B正確；C.因為q1，且a1，所以當n時，n最小，故C正確；aa11，1a21，D.根據等比數列的性質可知，7T1nn時，的最小值為4046，故D錯誤.所以當故選：BC，則（）fxcos2x2sinx11.已知函數62A.函數在區間fx,上單調遞增B.直線x是函數圖象的一條對稱軸fx23C.函數的值域為fx2最多有8個根，且這些根之和為8πfxax2πD.方程【答案】BCD第7頁/共27頁【解析】【分析】根據函數的周期性與對稱性，結合復合函數的單調性作出圖象即可解決問題.fxcos2x2sinx,xR【詳解】，f(x)cos(2x)2|sin(x)2x2|sinxf(x)，y則f(x)是偶函數，圖象關于軸對稱.f(x)2(x)2sin(x)2x2sinxf(x)，f(x)T.f(x)2(x)2sin(x)2x2x又222f(x)2(x)2sin(x)2x2x且，222f(x)f(x)，即f(x)圖象關于x軸對稱，222kx,kZ故直線都是f(x)的對稱軸.22x時，sinx0當，13f(x)2x2sinx2sin2x2sinx12(sinx2)，則221232令tsinx，則可看成由yt)2tsinx與復合而成的函數，f(x)tsinx,x單調遞增，2x1t132yt)2當，則，單調遞增，則f(x)單調遞增；62262113x,，則t,12yt)2當且，單調遞減，則f(x)單調遞減；2232f(x)f(0)f()f(x)f().26fxcos2x2sinx,x2π的大致圖象.結合以上性質，作出函數第8頁/共27頁62選項A，函數在區間fx,上單調遞減，故A項錯誤；選項B，直線x是函數圖象的一條對稱軸，故B項正確；fx23232選項C，當x[0,]時，函數fx的值域為，函數的值域為，，由函數周期Tπfx故C項正確；選項D，如圖可知，方程fxaxi,8)最多有8個根，設為，不妨設ixxxx，1238x2π時，函數f(x)的圖象關于x當對稱，8x(xx)(xx)(xx)(xx)428則，i18273645i1即這些根之和為8π，故D項正確.故選：BCD.l:ykx2交軸于點P，圓yM:x22y1，過點P作圓M的兩條切線，切點分212.已知直線別為A，B，直線AB與交于點C，則（）15A.若直線l與圓M相切，則k15B.當k2時，四邊形的面積為219C.直線AB經過一定點第9頁/共27頁74Q,0CQ為定值D.已知點，則【答案】ACD【解析】，進而求出P0,4【分析】根據圓心到直線距離等于半徑建立等式，解出即可判斷；根據求出kAkPM，根據相切可得四邊形面積等于兩個全等的直角三角形面積和，根據三角形面積公式即可求出結,M,B,P果；根據相切可知四點共圓，且為直徑，求出圓的方程即可得弦所在的直線方程，進而判斷C；根據直線AB過定點及可得90，即在以CMN為直徑的圓上，求出圓的方程可發現圓心為點Q，即可判斷D.4k1k【詳解】解：對于A，若直線l與圓M相切，則圓心到直線的距離1，215解得k，所以A正確；15P0,4時，，，k2M2,0PM16425，對于B，當,PB為圓的兩條切線，所以PAMPBM90，因為2119，所以四邊形的面積S2△AMPA1PM所以B錯誤；對于C，因為，M0，且PAM，P2kPBM90,M,B,P所以四點共圓，且為直徑，44k2所以該圓圓心為，半徑為k1k2，2所以圓的方程為：x12yk21k，2因為AB是該圓和圓M的相交弦，所以直線AB的方程為兩圓方程相減，即x12yk2x22y21k21，AB:2x230化簡可得：，第10頁/共27頁32所以直線AB經過定點N,0，所以C正確；對于D，因為，所以90，32N,0上，所以90AB因為在直線32，，MNM2,0N,0即點C在以為直徑的圓上，因為174,014所以圓心為，半徑為，4227，圓心為Q,0，416741xy2所以圓的方程為：141CQ因為點C在該圓上，所以故選：ACD為定值，所以D正確．4三填空題（本大題共題，每小題分，共20分）?4513.在數學中，有一個被稱為自然常數（又叫歐拉數）的常數e2.71828．小明在設置銀行卡的數字密碼時，打算將自然常數的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼．如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼共有______個．【答案】36【解析】【分析】根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解．【詳解】如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，兩個2捆綁看作一個元素與7，1全排列，排好后有4個空位，兩個8插入其中的2個空位中，注意到兩個2，兩個8均為相同元素，A33C2436那么小明可以設置的不同密碼共有．故答案為：36.1fxxae14.曲線xf0yxa垂直，則______.在點處的切線與直線2【答案】1【解析】第11頁/共27頁【分析】根據導數的幾何意義和垂直關系可知f02，由此可構造方程求得結果.1fx在f0垂直，f02yx【詳解】處的切線與直線，2又xxxa1exf0a12a1.，，解得：fxexae故答案為：1.15.底面ABCD為菱形且側棱底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若CG3FBEG的體積為__________..則三棱雃838333【答案】【解析】##【分析】先證明四邊形為平行四邊形，可得BF2，進而證明EA//平面，進而利用FBEGEBGFVABGF求解即可.ACBD相交于點O，交EG于點P，，連接【詳解】連接，連接ADHE//，由已知可得：平面平面BCGF平面，因為平面平面，平面EH//FGEF//為平行四邊形，所以，同理可得：，所以四邊形的中點，所以P為EG的中點，O為AC所以OP//AE，所以4，所以BF2.1S△4所以.2EA//FB,FBBCGF,女平面，因為所以平面EA//，平面所以點A到平面的距離等于點到平面E的距離，為23.第12頁/共27頁13833所以FEVAS△23.833故答案為：.【點睛】求三棱錐的體積的時候，要注意利用圖形的特點，看把哪個點當成頂點更好計算.x軸的直線l:yay2xy2x1和的圖像交于點A，B，若函數16.設a0，平行于分別與函數y2x的圖像上存在點C，滿足為等邊三角形，則a_________．6【答案】32【解析】,BAB的中點D的坐標，進而表示出【分析】根據給定條件，利用指數、對數互化關系求出點C的坐標，及的坐標即可求解作答.【詳解】直線l:ya，由2xa，得xlog2a，Aa,a，即點2xa1a，得，即點2Blog2aa，于是AB1，由2x13，得CDAB，CD如圖，取AB的中點D，連接CD，由正，213顯然點C不可能在直線l上方，因此點Ca,a)，而點C在函數y2x的圖象上，222第13頁/共27頁3223123aa22a，即a36則，解得a3，222422226所以a3.26故答案為：32四?解答題（本大題共6小題，共70分），ABAC1且cb．317.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為2（1）求角A的大小；3（2）設M為BC的中點，且，求a的長度．2A【答案】（1），3（2）a=7【解析】1）由三角形的面積公式，向量的數量積公式列方程，兩方程相除，可求出出角A的大小；tanA31a2c244（2）在ABC中由余弦定理得a，2b22c2，在△ABM中由余弦定理得31a22231a2b244cosAMC可求出的值.在△ACM中由余弦定理得0a31a222【小問1詳解】3因為△ABC的面積為，213所以bcsinA，即bcsinA3，22因為ABAC1，所以bcA1，第14頁/共27頁bcsinAbccosA33，所以因為，得tanAA0,，所以A3【小問2詳解】A，所以bcsin3，得bc2，因為33在ABC中，由余弦定理得a2b2c2bcAb2c22，311在△ABM中，，a,c，2223144a2c2AM2BM2AB2cos由余弦定理得，2AMBM31a2223112在△ACM中，，CMBCa,ACb，2231a2b22CM2244由余弦定理得，2CM31a222因為所以，0，3131a44a2c22b2440，所以31312a2a222231a2231a2c2b20，得b2c22所以所以，2231a2a22，得a27，22所以a=7第15頁/共27頁18.某工藝品加工廠加工某工藝品需要經過a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互獨立，三道工序31212加工合格率分別為，，．三道工序都合格的工藝品為特等品；恰有兩道工序合格的工藝品為一等4品；恰有一道工序合格的工藝品為二等品；其余為廢品．（1）求加工一件工藝品不是廢品的概率；（2）若每個工藝品為特等品可獲利300元，一等品可獲利100元，二等品將使工廠虧損20元，廢品將使工廠虧損100元，記一件工藝品經過三道工序后最終獲利X元，求X的分布列和數學期望．【答案】（1）；2（2）分布列見解析，數學期望為.【解析】1）三道工序都不合格為廢品，求事件的概率，利用對立事件，求不是廢品的概率；（2）由X的取值，計算相應的概率，列出分布列，由公式求數學期望.【小問1詳解】記“加工一件工藝品為廢品”為事件A，311422161PA111則，1516PA1PA則加工一件工藝品不是廢品的的概率．【小問2詳解】由題意可知隨機變量X的所有可能取值為-100，-20，100，300，1100PX，16311111111520PX，，422422422163113111117PX100422422422163113PX300，42216則隨機變量X的分布列為：XP-100-201003001573161573175100300EX20100故．161616162第16頁/共27頁B=90°，AB22，ACD為等邊三角形，O為AC邊的19.在圖1中，為等腰直角三角形，EC2BE中點，E在BC邊上，且，沿AC將ACD進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，FB，FE，使得4．．（1）證明：平面（2）求二面角EFAC的余弦值．【答案】（1）證明見解析3（2）2【解析】FOAC，即可證明；1）由等邊三角形三線合一，得出，再由勾股定理逆定理得出（2）方法一：建立空間直角坐標系，由面面夾角的向量法計算即可；方法二：作EMAC，垂足為M，ENAFNEEFAC，則二面角的平面角為作，垂足為N，連接，首先由線面垂直得出ENM，在△中，求出cosENM即可．【小問1詳解】證明：連接OB，為等腰直角三角形，B=90°因為所以，AB22，AC4，因為O為AC邊的中點，1所以AC2，2AFACFC4，在等邊三角形中，因為O為AC邊的中點，FOAC所以，則FOAFAO223，2又4，第17頁/共27頁所以22FB2，即，，OB平面，因為所以O，AC平面．平面【小問2詳解】是等腰直角三角形，90，OAC中點，方法一：因為為邊所以OBAC，由（1）得平面，則以O為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建，，立空間直角坐標系，42,,0則A2,0，EF0,0,23，，3348AE,,0AF0,2,23所以，，33，設平面FAE的法向量為nx,y,z2y23z0AFn0，得，令，得3,1，z1n23,由483AEn0x3y01,0,0易知平面的一個法向量為m，設二面角EFAC的大小為θ，第18頁/共27頁mn3則|cos，2mn由圖可知二面角EFAC為銳角，3所以二面角EFAC的余弦值為．2方法二：作EMAC，垂足為M，作，垂足為N，連接EN，，平面因為平面，所以，ACFOO，AC,平面，又因為所以EM平面ACF，又平面，所以EMAF，MMN,EM又，，平面，所以AF平面，又EN平面所以，AFC，AEFAF，又平面平面所以二面角EFAC的平面角為ENM，EMECCM23因為EM∥，所以，BC412所以，，333238RtAMNFAC60AMAO，2在中，，38433所以sin60，324243383所以ENEM22，333所以ENM，即二面角EFAC余弦值為．22第19頁/共27頁滿足，則稱數列為“平方遞推數列．已知數列中，19，點An1n2Anan20.若數列nan,an1在函數f(x)x22x的圖象上，其中n為正整數，（1）證明：數列a1是“平方遞推數列，且數列a1為等比數列；nna,ab,a*bba1,c2n4db*c的前項和dnn（2）設，定義，且記，求數列nnnnnnb,ab,S．n【答案】（1）證明見解析n*2n4且nN,S（2）nn25nn4且nN.*【解析】【分析】(1)根據“平方遞推數列”的定義和等比數列的定義進行證明a,ab,a*bdb*cdS(2)由的新定義和，可得出表達式，再分段求前n項和即可.b,ab,nnnnn【小問1詳解】a,a在函數f(x)x22x的圖象上，n1a2n2a，n點nn1n11n是“平方遞推數列．1,a1n2因為a110，1對aa2兩邊同時取對數得lga111，2lgan1nn1n是以1為首項，2為公比的等比數列．a1∴數列n【小問2詳解】由（1）知ban12n12n1，n第20頁/共27頁由數列的通項公式得，bcnnn4時，bcnn4時，bc當；當．nnna,ab,a*b2n1,n，nNd**,db*c又由，得b,ab,nnnn2nn，nN12nn4且nN*Sbn2n1；當當時，時，n112*Sb123456nn4且nNn(n2n4)241n5n21，22n*2n4且nN,S綜上，nn25nn4且nN.*x22y221ab0的右焦點，右頂點分別為F，A，Bb，1，點21.已知雙曲線C:abM在線段AB上，且滿足3，直線OM的斜率為1，O為坐標原點.（1）求雙曲線C的方程.（2）過點F的直線l與雙曲線C的右支相交于P，Qx兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得FEEPFQEQFP恒成立？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.y2【答案】（1）x21312E,0（2）存在，【解析】1，3，直線OM的斜率為1，求得a,b,ca,b之間的關系式，解得1）由的值，進而求出雙曲線的方程；（2）設直線的方程，與雙曲線的方程聯立，可得兩根之和及兩根之積，由等式成立，可得EF為EP,EQ的斜率之和為0，整理可得參數的值，即求出E的坐標．的角平分線，可得直線【小問1詳解】c2a2b2c0，所以Fc,0，，，Aa,0Bb設第21頁/共27頁313Ma,b，因為點M在線段AB上，且滿足因為直線OM的斜率為1，所以，所以點31311313bab1，所以3，a31因為1，所以ca1，解得a1，b3，c2.y2所以雙曲線Cx21.的方程為3【小問2詳解】x假設在軸上存在與不同的定點，使得FEEPFQEQFP恒成立，EPFQEQFP當直線l的斜率不存在時，E在x軸上任意位置，都有；當直線l的斜率存在且不為0時，設，直線l的方程為x2，Et,033直線l與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，則kk0且，33設，，Qx,y2Px,y1122yx21，得k1y1290k，322210，36k360，2由x212k9yyyy所以因為，，1221221k1kEPFQEQFPkk0，，，即，所以EF平分第22頁/共27頁1y21y20，即02y2tyy0有，得，1t2t12tky22t1212912k12所以0k0，解得t，由.2k2tk21k1212EPFQEQFPE,0綜上所述，存在與F不同的定點E，使得恒成立，且.【點睛】方法點睛：解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，要強化有關直線與雙曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、