2023年秋季南充市第一中學高2022級三校區聯考數學試題總分：150分考試時間:120分鐘第I卷（選擇題）單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．不存在2．已知圓，則圓心與半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，3．如圖，在正方體中，異面直線AC與所成的角為（

）A． B． C． D．4．已知點，是圓上的動點，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．5．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則6．如圖，二面角等于135°，，是棱上兩點，，分別在半平面，內，，，且，，則（

） B．C． D．47．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個點P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．8．已知點P是直線上的動點，過點P作圓的切線，切點為C，D，則四邊形的面積的最小值是（

）A． B．4 C． D．8二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，選漏得2分，多選不得分。9．已知直線的方程為，則（

）A．直線在軸上的截距為2B．直線在軸上的截距為3C．直線的傾斜角為銳角D．過原點且與垂直的直線方程為10．已知實數滿足方程，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為11．數學美的表現形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規律性，是一種科學的真實美.平面直角坐標系中，曲線C：就是一條形狀優美的曲線，對于此曲線，給出如下結論：①曲線C圍成的圖形的周長是；②曲線C圍成的圖形的面積是2π；③曲線C上的任意兩點間的距離不超過2；④若P（m，n）是曲線C上任意一點，的最小值是其中正確的結論為（

）A．① B．② C．③ D．④12．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，過的截面與棱，分別交于點F，G（G，E，F可能共線），則下列說法中正確的是（

）A．存在點F，使得B．線段長度的取值范圍是C．四棱錐的體積為2時，點F只能與點B重合D．設截面，，的面積分別為，，，則的最小值為4第II卷（非選擇題)填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．平行直線與之間的距離為．14．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，且，那么15．圓關于直線的對稱圓的方程為.16.已知點，點，點在直線上，若滿足等式的點有兩個，則實數的取值范圍是________．三、解答題：本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題12分,共70分.17.（本小題滿分10分）已知三角形的三個頂點是(1)求直線AC方程（用斜截式表示）；(2)求AB邊上高所在直線方程（用一般式表示）.18．①圓心在直線：上，圓過點；②圓過直線：和圓的交點：在①②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中進行求解．已知圓經過點，且________．(1)求圓的標準方程；(2)已知點，求過點的圓的切線方程．19．（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．(1)證明：EF∥平面ABP；(2)求直線與平面所成角的正弦值．20．直線，圓.(1)證明：直線恒過定點，并求出定點的坐標；(2)求直線被圓截得的最短弦長；(3)設直線與圓交于兩點，當的面積最大時，求直線方程.21．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，點E，F分別是BC，DC的中點.(1)證明：平面ACD⊥平面AEF；(2)若∠BCD＝60°，點G是線段BD上的動點，問：點G運動到何處時，平面AEG與平面ACD所成的角最小.22．古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．(1)求點P的軌跡方程；(2)若點P與點Q關于點B對稱，點，求的最大值；(3)若過B的直線與第二問中Q的軌跡交于E，F兩點，試問在x軸上是否存在點，使恒為定值？若存在，求出點M的坐標和定值；若不存在，請說明理由．南充一中高2022屆第二學期半期考試數學試題參考答案18CDDDDCCD9BCD10AC11AD12BCD5．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則【詳解】對于A，若，，則或者或者相交，故A錯誤，對于B，若，則或者或者相交，故B錯誤，對于C，若且，則m與n可能平行、相交或異面，故C錯誤.對于D，若，則，又，所以，故D正確，故選：D.6．【詳解】由二面角的平面角的定義知，所以，由，，得，，又因為，所以，所以，即．7．【詳解】因為平面，平面，所以，又，所以兩兩垂直，所以三棱錐的外接球即為以為長，寬，高的長方體的外接球，即該球的直徑為長方體體對角線的長，因為，所以，所以該球的半徑為2，體積為.故選：C8．由題意要使得四邊形的面積最小，則需要切線長最小，由切線長公式知，只要使得圓心到直線上的點的距離最小，最小值為圓心到直線的距離，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以最小的切線長為，最小值．故選：D．9．【答案】BCD【詳解】在中，令，得，所以A不正確；令，得，所以B正確；因為直線l的斜率為，所以直線l的傾斜角為銳角，故C正確；因為與l垂直的直線方程可設為，又直線過原點，所以，故D正確.故選：BCD10．【詳解】由圓的方程，可化為，設圓的圓心為，可得圓心坐標為，半徑為，對于A中，設，即，由，解得，即的最大值為，所以A正確；對于B中，由，表示原點到圓上點的距離，又由，則的最大值為，所以的最大值為，所以B不正確；對于C中，設，即，由，解得，即的最大值為，所以C正確；對于D中，設，即，由，解得或，所以D錯誤.故選：AC.11【詳解】當時，曲線C的方程可化為；當時，曲線C的方程可化為；當時，曲線C的方程可化為；當時，曲線C的方程可化為；由圖可知，曲線C是四個半徑為的半圓圍成的圖形，即曲線C圍成的圖形的周長是，故①正確；曲線C所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線C所圍成圖形的面積為，故②錯誤；由曲線C的圖象可知，曲線C上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故③錯誤；因為到直線的距離為，所以，當d最小時，易知在曲線C的第一象限內的圖象上，因為曲線C的第一象限內的圖象是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故④正確.故選：AD.12．【詳解】因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、，設點、，其中，.對于A選項，若存在點，使得，且，，，解得，不合乎題意，A錯；對于B選項，設，其中、，即，即，可得，，則，所以，，B對；對于C選項，，其中，故，又，故即，故點F只能與點B重合，C對；對于D選項，，，則點到直線的距離為，，則點到直線的距離為，所以，，故，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，D對.故選：BCD.14．【詳解】由于，所以直線的方向向量與平面法向量互相垂直，故，15．【詳解】的圓心為，關于對稱點設為，則有:，解得，所以對稱后的圓心為，故所求圓的方程為.故答案為：16.解：設，則，，代入得，化簡得，所以，．由題意，圓與直線相交，圓心到直線的距離，所以，解得．三、解答題（共70分）17.（1）因為，所以................................2分由點斜式可得直線AC方程為，即.................................5分（2）因為，所以所求直線斜率為，................................7分又因為所求直線過點，所以由點斜式可得，整理得.........................10分18．（1）解：選①：設圓心，則由題意：∵圓心在直線：上，∴………（ⅰ）∵圓過點和，∴，即，................................3分化簡得：…（ⅱ）聯立（ⅰ）（ⅱ）解得：，∴圓心，半徑為，∴圓的標準方程為.................................6分選②：如下圖：設直線：和圓的交點為，連接，則由直線和圓的位置關系、圓和圓的位置關系知直線，垂足為，連接、.由題意，圓的圓心為，半徑.∵直線方程為，，∴直線方程為，故設圓心，由圖知，則，由解得直線和直線交點，則，圓半徑，，，由得：，解得：.∴圓心，半徑.∴圓的標準方程為.................................6分（2）解：由（1）知，選①或選②，圓的標準方程均為，如下圖，點在圓外，則因為圓的圓心到軸距離，所以，是圓過點的一條切線.................................8分設圓過點的另一條切線斜率為，則其方程為：，即.由直線與圓相切知圓心到直線距離為半徑，則有，解得：，................................10分∴切線方程為，即.................................11分綜上知，過點的圓的切線方程為和...............................12分19．（1）由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個法向量．因為，所以．又平面，所以平面．注：也可用證線線平行，取PB的三等分點...............................6分（2）因為，，，，，所以，，，...............................7分設平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個法向量為．...............................9分設直線與平面所成的角為，則．...............................12分20．（1）證明：由題意知可化為，故解得直線恒過定點................................4分（2）因為所以圓的圓心為，半徑，如圖所示：

由兩點距離公式PC=5...............................5分、根據勾股定理AP=11∴AB=211..............................8分（3）方法1（幾何法），且為鈍角，當時有最大值，即面積有最大值，此時同（2），即.方法2設圓心到直線的距離為，則，，當時有最大值，此時同（2），，當直線被圓截得的弦長最短時，與垂直，，，即.或者由，，解得，...............................12分21．（1）因為△ABC是正三角形，點E是BC中點，所以AE⊥BC，又因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，又因為CD?平面BCD，所以CD⊥AE；因為點E，F分別是BC，CD的中點，所以EF∥BD，又因為BD⊥CD，所以CD⊥EF，又因為CD⊥AE，AE∩EF＝E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，所以CD⊥平面AEF，又因為CD?平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF...............................6分（2）在平面BCD中，過點E作EH⊥BD，垂足為H，設B