2022-2023學年八年級數學下冊同步精品課堂（滬教版）第22章四邊形22.6三角形中位線（第1課時）思考與歸納

一張三角形紙片，用一條平行于這個三角形一邊的直線把它分割成一個梯形和一個小三角形.如果所得的梯形和小三角形恰好拼成一個平行四邊形，那么這條用于分割的直線與三角形另外兩邊的交點在什么位置？為什么？觀察：三角形的中位線段DE與邊BC有什么樣的數量關系和位置關系？DEBACDEBC（A）

聯結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.操作如圖，過△ABC邊AC上的任意一點（除點A、C外），作BC的平行線，可將三角形分割成一個三角形和一個梯形.移動平行線，是否存在某個特殊的位置，恰好使分割得的梯形和三角形拼成一個平行四邊形？答：存在的，點E是AC的中點.怎么拼？答：若平行線與AB邊交于點D，將△AED繞點E旋轉180°，即得到□DBCD′.

操作如圖，過△ABC邊AC上的任意一點（除點A、C外），作BC的平行線，可將三角形分割成一個三角形和一個梯形.為什么拼出的圖形是平行四邊形？圖形的旋轉△ADE≌△CD′E

∠A=∠1AB∥CD′DE∥BC

四邊形DBCD′是平行四邊形操作如圖，過△ABC邊AC上的任意一點（除點A、C外），作BC的平行線，可將三角形分割成一個三角形和一個梯形.這時，點D位于線段AB的什么位置上？

答：由于CD′=DB

，且CD′=AD，所以AD=BD，點D是AB的中點.點D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，則線段DE是△ABC的一條特殊線段.為什么拼出的圖形是平行四邊形？連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.ABCDE知識要點兩層含義:②如果DE為△ABC的中位線，那么D、E分別為AB、AC的

.①如果D、E分別為AB、AC的中點,那么DE為△ABC的

；中位線中點問題：你能通過剪拼的方式，將一個三角形拼成一個與其面積相等的平行四邊形嗎？小明的做法：將△ADE繞點E按順時針方向旋轉180°到△CFE的位置（如圖），這樣就得到了一個與△ABC面積相等的平行四邊形DBCF.ADEFCB猜一猜:三角形兩邊中點的連線與第三邊有怎樣的關系？能證明你的猜想嗎？ADEFCBDE和邊BC的關系數量關系：位置關系：平行DE是BC的一半能說出理由嗎?三角形中位線的概念聯結三角形兩邊的中點的線段叫做三角形的中位線.一個三角形共有幾條中位線呢？點D為AB中點，點E為AC中點，點F為BC中點，則DF、FE、ED都是△ABC的中位線.一個三角形共有三條中位線.三角形的中位線與三角形的中線有何區別？適時小結三角形的中位線與三角形的中線的區別.三角形概念圖形中位線中線聯結兩邊中點的線段.聯結頂點與其對邊中點的線段.兩邊中點一頂點一中點學習三角形中位線定理

通過上述的操作過程，你能猜想△ABC的中位線DE與邊BC有怎樣的位置關系和數量關系嗎？DE∥BC且答：猜想并歸納三角形中位線的性質.如何證明你的猜想.答：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.如何證明四邊形DBCF是平行四邊形？

∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），根據實驗操作，如何添輔助線，構造與△ADE全等的三角形？

已知：如圖，在△ABC中，AD=BD，AE=CE．求證：DE∥BC，且．

延長DE至點F，使EF=DE，聯結CF.證明：∵AE=EC，∠2=∠3，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∠A=∠1，∴AB∥CF，即BD∥CF.∵AD=BD，AD=CF，∴DB=CF.∴DF∥BC，且DF=BC.∴DE∥BC，且.適時小結：

倍長中位線也是輔助線的常添方法之一.學習三角形中位線定理

如何解決？

ABCDEBCADEF證明二：延長DE到F,使EF=DE,連接FC、DC、AF∴四邊形ADCF是平行四邊形∴四邊形DBCF是平行四邊形∵AE=EC∴CF∥DA，CF=DA∴CF∥BD，CF=BD∴

DF∥BC，DF=BC又DE=DF∴DE∥BC且DE=BC三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.在△ABC中,∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC，且（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）.符號語言：例題6

已知：如圖，點O是△ABC內任意一點，D、E、F、G分別是OB、

OC、AC、AB的中點．求證：四邊形DEFG是平行四邊形．由已知條件你能在圖中找到什么？

GF、DE分別是△ABC和△OBC的中位線，且這兩個三角形有公共邊BC.如何證明？

例題6.

已知：如圖，點O是△ABC內任意一點，D、E、F、G分別是OB、

OC、AC、AB的中點．求證：四邊形DEFG是平行四邊形．證明：∵點G、F分別為AB、AC的中點，∴GF∥BC，且（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．同理：DE∥BC，且.∴GF∥DE，且GF=DE.∴四邊形DEFG是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.課本練習（2）如果DE=5，那么BC=____.101、如圖，已知AD=DB，AE=EC，（1）如果BC=，那么DE=____；2.已知：如圖，△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA三邊的中點.求證：中位線DF和中線AE互相平分.證明：聯結ED、EF.∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊）．同理：EF∥AB，∴四邊形DEFA是平行四邊形（平行四邊形的定義）.∴中位線DE和中線AE互相平分（平行四邊形的對角線互相平分）.適時小結：已知兩邊中點構造三角形的中位線是常用的添輔助線的方法之一.3.如圖,B、C兩點被海水隔開,在B、C外選擇一點A,找到△BAC的中點E、F,測量得EF=22米,這樣就能求出B、C兩點間的距離.請說出這是為什么?3、如圖，B、C兩點被海水隔開，在B、C外選擇一點A，找到AB、AC的中點E、F，測量得EF=22米.這樣就能求出B、C兩點間的距離.請說出這是為什么？答：∵點E、F分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC，且BC=2EF=44米（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．已知:如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為各邊的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.ABCHDEFG分析:將四邊形ABCD分割為三角形,利用三角形的中位線可轉化兩組對邊分別平行或一組對邊平行且相等來證明.4.求證:順次聯結四邊形四條邊的中點,所得的四邊形是平行四邊形證明:連接AC.∵E,F,G,H分別為各邊的中點,∴EF∥HG,EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.ABCHDEFG∴EF∥AC,HG∥AC,隨堂檢測1.如左圖，MN為△ABC的中位線，若∠ABC=61°，則∠AMN=

，若MN=12，則BC=

.AMBCN61°24ADBCE2.如右圖，△ABC中，

D，E分別為AB，AC的中點，當BC=10㎝時，則DE=

.5㎝3.如圖,D、E、F分別是△ABC三邊的中點你能發現△DEF的面積與△ABC的面積有什么關系嗎？為什么？●●●ABCDEF解：S△DEF=S△ABC.理由如下：由題意得DE,DF,EF是△ABC的中位線，∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,∴四邊ADFE,BDEF,DECF都是平行四邊形，∴S△DEF=S△ADE=S△BDF=S△CEF,∴S△DEF=S△ABC.4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,D是斜邊AB的中點，E是BC的中點.

（2）若AB=10,DE=4,求△ABC的面積.