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大題考法精研——解三角形的綜合問題12目錄3題型一利用正、余弦定理進行邊角計算題型二與多邊形有關的解三角形問題題型三解三角形中的范圍、最值問題題型一利用正、余弦定理進行邊角計算[解]

(1)因為D為BC的中點，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.(2)因為D為BC的中點，所以BC＝2BD.[思維建模]解三角形問題的解題關鍵選定理①已知兩角和一邊，利用正弦定理求解．②已知三邊求三個角，利用余弦定理求解．③已知兩邊和其中一邊的對角，選擇含有已知角的余弦定理求第三邊．④涉及幾個三角形往往需要正弦定理與余弦定理聯(lián)合，聯(lián)立方程求解，條件中有角平分線時，往往需要利用三角形的角平分線定理，注意利用鄰補角的余弦值互為相反數(shù)巧轉化①當條件是邊的齊次式時可以利用正弦定理化邊為角，然后利用三角恒等變換，結合三角形的內角和定理進行轉化．②當條件是角的正弦的齊次式，或者是角的余弦的式子時，可以將條件轉化為邊之間的關系，進一步轉化往往需要因式分解，達到化簡的目的續(xù)表[針對訓練]1．(2023·遂寧模擬)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等差數(shù)列，且7sinA＝3sinC.(1)求cosB；解：(1)因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.[例2]在四邊形ABCD中，AB＝1，CD＝DA＝2，BC＝3，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解決下列問題．(1)求BD的長；(2)求四邊形ABCD的面積．題型二與多邊形有關的解三角形問題、因為∠DCB＋∠DAB＝π，所以cos∠BAD＋cos∠BCD＝0，[思維建模]平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解．(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果．(2)因為∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，所以∠DBA＝∠DBC＝60°.又∠ADC＝150°，所以∠DAB＋∠DCB＝360°－120°－150°＝90°.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，求b＋c的取值范圍．[關鍵點撥]題型三解三角形中的范圍、最值問題切入點利用誘導公式及正弦定理將邊化角遷移點將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式障礙點在求b＋c的范圍時，易出現(xiàn)僅考慮B為銳角的情形由正弦定理可得(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.所以2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因為B∈(0，π)，所以sinB>0.[思維建模]三角形中的最值與范圍問題的兩種解決方法(1)利用基本不等式求得最大值或最小值；(2)將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結合角的范圍確定所求式的范圍．即cosAcosB＝sinB＋sinAsinB.所以cos(A

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