初中數(shù)學(xué)因式分解的常用方法及常出的32個(gè)習(xí)題陷阱初中數(shù)學(xué)中，因式分解是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，因?yàn)樗粌H是理解代數(shù)式的基礎(chǔ)，還在后續(xù)學(xué)習(xí)中有很多的應(yīng)用。在這篇文章中，我們將介紹初中數(shù)學(xué)中因式分解的常用方法以及解題的32個(gè)難點(diǎn)。一、因式分解的常用方法1.公因式提取法公因式提取法是指將一個(gè)代數(shù)式中所有項(xiàng)的公共因子提取出來(lái)，變成一個(gè)公因式和剩下的部分的積的形式。如：24a+12ab可以寫(xiě)成12a(2+b)。2.分組分解法分組分解法是指將一個(gè)代數(shù)式按照特定的規(guī)則進(jìn)行分組再進(jìn)表達(dá)，一般用于在特殊條件下的因式分解。如：4a2-12ab+9b2可以分為（2a）2-2×2a×3b+（3b）2，然后用(a-b)2=a2-2ab+b2得到（2a-3b）2。3.平方法平方差公式可以用于因式分解，公式為：a2-b2=(a+b)(a-b)。如：a2-25可以寫(xiě)成(a+5)(a-5)。4.公式法在初中數(shù)學(xué)中，有一些常用公式，如二次公式、高斯定理等，這些公式在因式分解中也可以起到幫助作用。如：x2-y2可以用公式(x+y)(x-y)表示。二、32個(gè)習(xí)題陷阱1.習(xí)題一：將5x2+10xy+4y2分解。（答案：(x+2y)(5x+2y)）難點(diǎn)：很多學(xué)生容易忽略+4y2這項(xiàng)，就沒(méi)有括在括號(hào)里，直接公因式提取或分組分解，結(jié)果變成(x+2y)5(x+2y)，這個(gè)式子明顯有誤。2.習(xí)題二：將x2+10xy+16y2分解。（答案：(x+4y)(x+4y)）難點(diǎn)：這個(gè)題如果直接公因式提取或分組分解會(huì)很困難，事實(shí)上，這個(gè)題可以通過(guò)列方程、用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)解決，但需要一定的運(yùn)算技巧。3.習(xí)題三：將3x2-12x+9分解。（答案：3(x-1)(x-3)）難點(diǎn)：這個(gè)題目會(huì)引起很多同學(xué)的困惑，因?yàn)?12x這個(gè)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)9很相似，容易認(rèn)為是“平方差”，從而想到用(a-b)2=a2-2ab+b2這個(gè)公式來(lái)解，但其實(shí)這個(gè)式子不適用于這個(gè)題目。4.習(xí)題四：將4x2-4xy-y2+z2分解。（答案：(2x-y+z)(2x+y-z)）難點(diǎn)：這個(gè)式子中有三個(gè)變量，不同學(xué)生的理解可能會(huì)不同，但是正確的做法是考慮把y2單獨(dú)提出來(lái)，變成(4x2-4xy+y2)+z2，然后因式分解。5.習(xí)題五：將(x+2)2-5分解。（答案：(x+1-√5)(x+1+√5)）難點(diǎn)：這個(gè)題目使用平方差公式需要考慮如何將-5拆分成可以使用平方差公式的形式，正確的做法是先將-5看成(-1)×5，然后重寫(xiě)為(x+2)2-1×5。6.習(xí)題六：將3x2+7xy+2y2分解。（答案：(3x+2y)(x+1)）難點(diǎn)：在這個(gè)題目中，如果只考慮公因式提取或者分組分解，可能會(huì)忽略2y2，而把3x2+7xy和2y2分別因式分解。正確的做法應(yīng)該是先把7xy看成6xy+xy，然后分別合并相同項(xiàng)，再以公因式提取和合并為主。7.習(xí)題七：將3x2-2x+1分解。（答案：(3x-1)2）難點(diǎn)：在這個(gè)題目中，很容易忽略常數(shù)1，而只考慮公因子3和x因子，這里需要注意，公式(x-a)2=x2-2ax+a2只適用于完全平方式，如果要應(yīng)用這一公式，需要先判斷這個(gè)式子是否為一個(gè)完全平方式。8.習(xí)題八：將(a-b)2-4ab分解。（答案：(a-2b)(a-b)或(b-a)(a+2b)）難點(diǎn)：這個(gè)式子中的兩項(xiàng)都是平方項(xiàng)，如果直接使用平方差公式會(huì)出現(xiàn)相互抵消的情況，正確的解法是將4ab化成2ab+2ab，然后分別合并相同項(xiàng)并公因式提取。9.習(xí)題九：將2x2-3xy+1.5y2-6分解。（答案：(x-1.5y-2)(2x-y+3)）難點(diǎn)：這個(gè)式子中有負(fù)數(shù)，這容易讓學(xué)生誤解，常見(jiàn)的錯(cuò)誤是乘負(fù)負(fù)得正，誤以為可以直接合并x和y的項(xiàng)，但實(shí)際上，負(fù)數(shù)也是數(shù)字，加減法和乘法同樣適用。10.習(xí)題十：將2x2-5xy+3y2分解。（答案：(2x-3y)(x-y)）難點(diǎn)：這個(gè)式子中很容易注意到2x2和3y2，但是容易忽略-5xy，因此，分組分解和公因式提取都很難，正確的解法是用其他的方法，如解二元一次方程組。11.習(xí)題十一：將9(xy+xz+yz)-4y(x+z)-4z(x+y)分解。（答案：(3y-2x)(3z-2x)）難點(diǎn)：在這個(gè)題目中，如果僅考慮括號(hào)內(nèi)的因式分解，會(huì)很難把它們合并，正確的做法是先將9(xy+xz+yz)化為3(x+y+z)(xy+xz+yz)，然后合并相同項(xiàng)并公因式提取。12.習(xí)題十二：將x3-5x2+8x-4分解。（答案：(x-2)(x-2)(x-1)）難點(diǎn)：這個(gè)題目中有兩個(gè)平方項(xiàng)和兩個(gè)重復(fù)的括號(hào)，很容易在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)檫@里的(x-2)的平方起到了重復(fù)的作用，所以只要考慮(x-2)和(x-1)即可。13.習(xí)題十三：將4x3-27分解。（答案：(2x-3)(2x2+6x+9)）難點(diǎn)：這個(gè)題目中，常數(shù)項(xiàng)27可能會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為是“完全平方”，但其實(shí)它不是，正確的解法是先考慮因式2x-3，然后化簡(jiǎn)式子，再嘗試分解2x2+6x+9。14.習(xí)題十四：將x3+3x2-4x-12分解。（答案：(x-2)(x+2)(x+3)）難點(diǎn)：這個(gè)題目中，很容易注意到x3、3x2和-12，但是常數(shù)項(xiàng)-4很容易被忽略，容易從而影響因式分解的整體結(jié)果。15.習(xí)題十五：將a3+b3-3ab(a+b)分解。（答案：(a+b)(a2-ab+b2)）難點(diǎn)：在這個(gè)題目中，存在“三次差”，導(dǎo)致其比較難以分解，正確的做法是先將其改寫(xiě)為二次差，然后再用平方差公式求解。16.習(xí)題十六：將x?-1分解。（答案：(x2+1)(x2-1)或(x+1)(x-1)(x2+1)）難點(diǎn)：這個(gè)題目中x?-1可以看作(x2)2-12，這樣就可以用平方差公式處理了，但是在分解前，有多種因式分解的思路需要選擇。17.習(xí)題十七：將x3+y3+z3-3xyz分解。（答案：(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)）難點(diǎn)：這個(gè)題目中的三次差較難分解，這時(shí)可以使用三次和公式(x+y+z)3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x)（其中右側(cè)的和對(duì)稱），然后把多項(xiàng)式拆分為兩部分進(jìn)行計(jì)算。18.習(xí)題十八：將x?-1分解。（答案：(x-1)(x?+x3+x2+x+1)或(x+1)(x?-x3+x2-x+1)）難點(diǎn)：在這個(gè)題目中，可以簡(jiǎn)單地使用(x-1)的公式進(jìn)行拆解，但是另一個(gè)拆分方式稍難，可以通過(guò)一些不同的推導(dǎo)公式來(lái)得到結(jié)果。19.習(xí)題十九：將x?+4分解。（答案：(x2+2x+2)(x2-2x+2)或(1-x2+2x2)(1+x2+2x2)）難點(diǎn)：這是一個(gè)關(guān)于x?的式子，它很難直接分解，最好的方法是將其轉(zhuǎn)換成二次和或三次和，然后再進(jìn)行分解。20.習(xí)題二十：將2x2y-5xy2+3y3分解。（答案：y(2x-y)(3y-x)）難點(diǎn)：在這個(gè)題目中，容易忽略公因式y(tǒng)，這是一個(gè)非常普遍的錯(cuò)誤，學(xué)生會(huì)直接從2x2y-5xy2+3y3開(kāi)始分解，結(jié)果會(huì)忘記提取公因式，從而影響結(jié)果。21.習(xí)題二十一：將16x?-25y?分解。（答案：(4x2-5y2)(4x2+5y2)）難點(diǎn)：這個(gè)題目乍一看不太容易分解，但是常數(shù)項(xiàng)是25卻不是完全平方，所以，需要通過(guò)其他手段來(lái)進(jìn)行拆分，可以視y2為一個(gè)輔助變量，然后分解出(x2+y2)和(x2-y2)兩個(gè)式子。22.習(xí)題二十二：將x?+2x2+1分解。（答案：(x2+1)2）難點(diǎn)：這個(gè)例子很容易讓人產(chǎn)生相互抵消的錯(cuò)覺(jué)，注意到x?+2x2+1中沒(méi)有除x?以外的項(xiàng)，所以為1(x2+1)2。23.習(xí)題二十三：將2x3y2+13x2y3+15xy?+6y?分解。（答案：y2(2x+3y)(x+2y)2）難點(diǎn)：這個(gè)例子中，我們需要處理不同次冪的因式，其中，較高次冪的y不是x的項(xiàng)，應(yīng)該視作整體，所以，第一道這題的最重要任務(wù)是把x和y的項(xiàng)分組。24.習(xí)題二十四：將6x3+11x2-35x-50分解。（答案：(2x-5)(3x+10)(x-1)）難點(diǎn)：這個(gè)式子中有四項(xiàng)，通常使用取相反數(shù)、中間項(xiàng)分解等技巧可以改寫(xiě)為二次和或三次和，再進(jìn)行分解。25.習(xí)題二十五：將x2y+xy2+y3分解。（答案：y(x+y)2）難點(diǎn)：在這個(gè)例子中，需要對(duì)x2y和xy2進(jìn)行分類討論，然后可以發(fā)現(xiàn)它們的和并不影響分解，這時(shí)只需要觀察公因式即可。26.習(xí)題二十六：將4x3+2x2-15x-9分解。（答案：(x+3)(4x2-6x-3)）難點(diǎn)：在這個(gè)例子中，我們只考慮系數(shù)為1的公因式，然后可以考慮分解4x2-6x-3的項(xiàng)。這個(gè)三次式的求解可以使用求根公式或其他的方法，需要一定的練習(xí)。27.習(xí)題二十七：將6x3+9x2-6xy2-9xy分解。（答案：3x(2x+3y)(1-x)）難點(diǎn)：在這個(gè)例子中，積和式中存在三個(gè)較高次冪的變量，但是不同次冪的項(xiàng)并不影響分解，所以必須先分組。28.習(xí)題二十八：將2x3-5x2y-12xy2+30y3分解。（答案：2(x-3y)(x2+3xy+5y2)）難點(diǎn)：在這個(gè)例子中，首先要注意其他項(xiàng)，然后找到公因式后，可以進(jìn)一步分解多項(xiàng)式。29.習(xí)題二十九：將x3-7x2+14x-8分解。（答案：(x-2)(x-2)(x-2)）難點(diǎn)：在這個(gè)例子中，常數(shù)項(xiàng)是-8，容易被誤導(dǎo)認(rèn)為是“完全平方”，雖然那個(gè)解法也是可行的，但是在不是完全平方的情況下，確保進(jìn)行正確的計(jì)算必須優(yōu)先考慮。30.習(xí)題三十：將x?-y?分解。（答案：(x2-y)(x2+y)(x2+y2)）難點(diǎn)：在這個(gè)例子中，需要尋找到公因子(x2-y)，然后，可以使用平方和公式或立方和公式。此后，再進(jìn)一步分解。31.習(xí)題三十一：將6x?y-27x2y3+81y?分解。（答案：9y(2x-y)(3y+x)(3y-x)2）難點(diǎn)：這個(gè)例子中有三個(gè)變量，導(dǎo)致不