引言在十六世紀中葉，G.Cardano

(1501-1576)在研究一元二次方程時引進了復數。他發現這個方程沒有根，并把這個方程的兩個根形式地表為。在當時，包括他自己在內，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實上，復數被Cardano引入后，在很長一段時間內不被人們所理睬，并被認為是沒有意義的，不能接受的“虛數”。直到十七與十八世紀，隨著微積分的產生與發展，情況才有好轉。特別是由于L.Euler的研究結果，復數終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了復指數函數與三角函數之間的關系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法國.1768-1822）將復數用平面向量或點來表示，以及K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復數為一對有序實數后，才消除人們對復數真實性的長久疑慮，“復變函數”這一數學分支到此才順利地得到建立和發展。第一章復數與復變函數第一節復數第二節復平面上的點集第三節復變函數第四節復球面與無窮遠點第一節復數1.虛數單位:對虛數單位的規定:一、復數的概念虛數單位的特性:2.復數:注：實數可以比較大小,但復數不能比較大小.兩個復數相等他們的實部和虛部都相等即復數z

等于0

它的實部和虛部同時等于0.即二、復數的代數運算1.兩復數的代數和:2.兩復數的積:3.兩復數的商:4.共軛復數:實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數稱為共軛復數.6.共軛復數的性質:例1解例2證5.復數域:全體復數在四則運算這個代數結構下構成一個復數域,記作C.實數域和復數域都是代數學中所研究的域的概念的實例.例3解設三、復平面1.復數的模顯然下列各式成立2.利用平行四邊形法求復數的和差兩個復數的加減法運算與相應的向量的加減法運算一致.

復數和差的模的性質性質(1)(2)等號成立的幾何意義：3.復數的輻角輻角不確定.0xxyqz=x+iy|z|=rP輻角主值的定義:例如：當z在第二象限時，當z在第三象限時，如何驗證？4.復數的三角表示和指數表示利用直角坐標與極坐標的關系復數可以表示成復數的三角表示式再利用歐拉公式復數可以表示成復數的指數表示式例4將下列復數化為三角表示式與指數表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此練習1：寫出的輻角和它的指數形式。解：練習2：例5解1.乘積與商乘積：兩個復數乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復數乘積的輻角等于它們的輻角的和.四、復數的乘冪與方根從幾何上看,兩復數對應的向量分別為兩復數相乘就是把模數相乘,輻角相加.注由于輻角的多值性,兩端都是無窮多個數構成的兩個數集.對于左端的任一值,右端必有值與它相對應.例4：設求：解：若取則若取則兩個復數的商的模等于它們的模的商;兩個復數的商的輻角等于被除數與除數的輻角之差.商2.冪與根

n次冪:棣莫佛公式棣莫佛公式冪的指數形式推導過程如下:根據棣莫佛公式,(k=0,1,2,…,n-1)當k以其他整數值代入時,這些根又重復出現.從幾何上看,例6解即例7解：例8解即很多平面圖形能用復數形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復數形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例8將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復數形式的方程來表示.

[解]

通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數方程表示為因此,它的復數形式的參數方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)6.復數在幾何上的應用舉例由此得知由z1到z2的直線段的參數方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0

t