PAGE1關(guān)于“最優(yōu)捕魚策略問題”的數(shù)學(xué)模型姓名：胡恩楊班級：07本（2）學(xué)號：070501402036指導(dǎo)老師：田有亮?xí)r間：2008年12月13日最優(yōu)捕魚策略問題的研究與分析摘要：本問題是一個典型的可再生資源開發(fā)的數(shù)學(xué)模型。我們?nèi)∶磕觊_始捕撈時刻作為魚數(shù)量的計數(shù)時刻，考慮同一年齡組魚在一年中生長過程的時間連續(xù)性，首先用微分方程組建立于基本模型,從理論上完整地描述了各年齡魚的變化情況,其次,從基本模型出發(fā),我們構(gòu)造出年度最優(yōu)模型,得到了可持續(xù)捕獲應(yīng)滿足的條件及在此條件下可獲得的年最高收獲量,在對“魚的生產(chǎn)能力不受到太大破壞”進(jìn)行詳細(xì)分析和合理描述的基礎(chǔ)上,巧妙構(gòu)思,建立了承包期總產(chǎn)量模型,給出了公司應(yīng)采取的捕撈策略及相應(yīng)的承包期最高收獲量。實(shí)現(xiàn)漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展。在求解漁業(yè)公司5年捕魚問題時，我們利用計算機(jī)求出5年捕魚兩關(guān)于捕撈強(qiáng)度系數(shù)表達(dá)式的極大值及對應(yīng)捕撈強(qiáng)度系數(shù)，驗(yàn)證了在此捕撈強(qiáng)度系數(shù)下對生產(chǎn)能力破環(huán)不大，并求出了該公司每年的捕撈策略。[關(guān)鍵詞]：Scheafer模型、數(shù)理統(tǒng)計、離散模型。一、問題重述為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實(shí)現(xiàn)咳持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。考慮對某種魚（鯷魚）的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分4個年齡組，稱1齡魚，…，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年齡組魚自然死亡率均為0.8（1/年），這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109105（個），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵。產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為1.221011/1.221011n）。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.421，漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)咳持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）。某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時各年齡組的魚群的數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29（109條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。二、符號約定用R表示非負(fù)實(shí)數(shù)集合。單位時間死亡總數(shù)與魚總數(shù)之比稱為自然死亡率。單位時間捕撈量與各年齡組魚群條數(shù)之比稱為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。T:為年份t:為時間Ni:為i齡魚的數(shù)量r:為自然死亡率n:為年產(chǎn)卵數(shù)量E3:為3齡魚捕撈強(qiáng)度系數(shù)E4:為4齡魚捕撈強(qiáng)度系數(shù)a3:為3齡魚每年產(chǎn)卵量a4:為4齡魚每年產(chǎn)卵量b:為計算方便而引入三、模型假設(shè)魚分為1、2、3、4齡魚，4齡魚存活一年后仍劃為4齢魚。各年齡組魚的自然死亡率為0.8/年，且死亡是一連續(xù)過程，不是在某一時刻突發(fā)。3、4齡魚在一年的最后4個月集中產(chǎn)卵，且在該4個月的開始時刻進(jìn)行；3齡魚產(chǎn)卵量為0.5*1.109*100000個/條，4齡魚產(chǎn)卵量為1.109*100000個/條；卵孵化成活為1齢魚，成活率為1.22*10000000000/(1.22*10000000000+n)。捕撈在產(chǎn)卵孵化前8個月進(jìn)行，且捕撈是一連續(xù)過程，不是在某一時刻發(fā)生；捕撈強(qiáng)度系數(shù)固定，只能捕撈3、4齢魚，它們的捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42：1經(jīng)濟(jì)效益以捕撈總量來衡量。四、模型的建立與求解（1）模型的建立考察1、2齡魚的生長過程，根據(jù)Scheafer模型解得T年的i齡魚在T+1年變?yōu)閕+1齢魚，所以考察3、4齢魚的生長過程，根據(jù)Scheafer模型，在前8個月，由于捕撈與死亡均影響魚的變化，因而微分方程為，求解得，N0為每年年初的i齡魚總數(shù)，由此可知，在時刻t的捕撈為EiNi(t)，則年捕撈量為在后4個月，只有死亡率起作用，因而微分方程為：求解得N0為第8個月末時的i齡魚總數(shù)。計算得T年第8個月末i齡魚數(shù)為T年末存活數(shù)根據(jù)以上分析，得出整個生存過程中滿足的關(guān)系為（2）模型的求解再可持續(xù)捕撈情況下，Ni(T)趨于平衡，因而Ni與T無關(guān)，可得以下方程組其中Ni為第i種魚的平衡數(shù)量。解得其中b是為計算方便而設(shè)的變量。以上方程組解的結(jié)果為：當(dāng)b>1.22*10^11時，n=b-1.22*10^11或n=0。當(dāng)b<1.22*10^11時，n=0。現(xiàn)在我們來求可持續(xù)捕撈時能獲得最高年產(chǎn)量的E3,E4的值。求解得：E3=7.296，E417.3629五、模型檢驗(yàn)與分析（1）模型的檢驗(yàn)針對漁業(yè)公司的5年捕撈計劃，我們利用已得的迭代方程在已知各個年齡組魚的初始值（N10，N20，N30，N40）的前提下，可迭代求出（N1i，N2i，N3i，N4i）即第i年時魚的分布是E4的函數(shù)，其中Nji為第J齢魚第I年的條數(shù)。則每年的捕撈量：W1=2.34401*1011gW2=2.14853*1011W4=3.77825*1011gW5（2）模型的分析為了驗(yàn)證我們所得到的使得5年捕撈量最大的E4是符合不對魚生產(chǎn)能力造成較大破環(huán)的要求。又通過計算來觀測當(dāng)經(jīng)過5年捕撈即停止捕撈后魚的數(shù)量的恢復(fù)過程。經(jīng)分析這是一個可接搜的策略。為了對魚的捕撈進(jìn)一步研究，將R=1，2，...10的R年連續(xù)捕撈的收獲亮關(guān)于捕撈強(qiáng)度系數(shù)的函數(shù)一起繪出。此外，求出了連續(xù)捕撈R年的對應(yīng)最佳捕撈強(qiáng)度系數(shù)如下：4年：E4=18.425年：E4=17.586年：E4=17.567年：E4=17.508年：E4=17.469年：E4=17.4610年：E4=17.44事實(shí)上，由于4——10年最優(yōu)捕撈強(qiáng)度系數(shù)與可持續(xù)捕撈的最優(yōu)系數(shù)非常接近，我們可以認(rèn)為它們對生產(chǎn)能力的破環(huán)不大。六、誤差分析對0《E4《31的情形，取E4=17.3629，考察初始分布N10=122*109，N10=29.7*109，N30=101*109，N40=3.29*109和初始分布N10=10*109，N20=10*109，N30=51*109，N40=2.1*109。在這兩種魚均收斂于統(tǒng)一分部，與初始分布無關(guān)。對E4》31的情況，取E4=40，取初始分布N10=122*109，N20=29.7*109，N30=10.1*109，N40=329*109。最終收斂魚無魚專題，從而與理論吻合。七、模型評價本模型以成熟的Scheafer模型為基礎(chǔ)，結(jié)合離散模型和連續(xù)建模的方法，成功地解決了可持續(xù)捕撈問題最優(yōu)解及已知初始分布的最優(yōu)捕撈問題，得到了較為精確且合理的結(jié)果，并將捕撈期限推廣至任意年限。本模型具有廣泛的普遍性和實(shí)用性。八、模型改進(jìn)本模型只要改變其中的部分系數(shù)，列如：自然死亡率、初始分布，即可應(yīng)用于其它種群的開發(fā)和生存問題。九、模型推廣以此模型為理論基礎(chǔ)，可制定出開發(fā)可再生資源的最優(yōu)策略，具有現(xiàn)實(shí)意義。列如：在一個食物、空間、水等資源有限的環(huán)境中考察天然存在的動物群體。試選擇一種魚類或普如動物以及一個你能活動2適當(dāng)數(shù)據(jù)的環(huán)境，并形成一個對該動物捕獲量的最佳方案。十、參考文獻(xiàn)姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社,1987..陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)模型與研究方法[M].北京:科學(xué)出版社,1991..王樹禾.最佳撈魚問題