江蘇省南京市2023年高三《數學》上學期期末試卷與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因為集合，集合則，故選:D2.已知復數滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【詳解】設，因為，所以，解得或所以或.因為，所以當時，，則；當時，，則；故選：A3.與直線和均相切的一個圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】對于A，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線和均不相切，故A錯誤；對于B，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線和均不相切，故B錯誤；對于C，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線和均相切，故C正確；對于D，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線相切，圓與直線不相切，故D錯誤.故選：C.4.若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【詳解】則，即.故選：B5.已知隨機變量且，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【詳解】，.因為，所以，解得.故選：B.6.現有印有數字0，1，2，6，12，20，22，26的卡片，每種卡片均相同且有若干張.若從中任選幾張卡片并擺成一排，則數字20220126的擺放方式共有（）A.14種 B.16種 C.18種 D.20種【答案】C【詳解】依題意，擺放20的方式有：2，0或20兩種方式；擺放220的方式有：2，2，0或22，0或2，20三種方式；擺放126的方式有：1，2，6或12，6或1，26三種方式；由分步計數原理知，數字20220126的擺放方式共有：種方式.故選：C.7.設，函數滿足，則α落于區間（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】由題意，可知函數在上當時取得最大值，且，由于，則，由，，，，根據零點存在性定理，可知，故選：C.8.已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內部及三邊上，且可在內任意旋轉，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】解：因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記三角形內切圓的半徑為，根據，可得：，解得，因為正方形面積為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，根據正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知，正方形外接圓即為等邊三角形的內切圓，因為正方形可在內任意旋轉，可知正方形各個頂點均在該三角形的內切圓上，以三角形底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立直角坐標系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設，，因為，即，化簡可得，即，解得或，①當時，點坐標可化為，此時，所以當，即，即，即時，取得最大值；②當時，點坐標可化為，此時，因為，所以當，即，即，即時，取得最大值，綜上可知：取得最大值.故選：D二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在長方體中，，則（）A.與是異面直線 B.與是異面直線C.異面直線與的距離為1 D.異面直線與的距離為【答案】ABD【詳解】如圖所示，與是異面直線，與是異面直線，所以選項AB正確；由正方體得平面，所以.又,所以是異面直線與的公垂線段，又，所以異面直線與的距離為2，所以選項C錯誤；因為平面,平面，所以平面，所以到平面的距離就是異面直線與的距離，即點到平面的距離就是異面直線與的距離.設距離為由題得.因為.所以異面直線與的距離為，所以選項D正確.故選：ABD10.已知均為第二象限角，且，則可能存在（）A. B. C. D.【答案】BD【詳解】因為均為第二象限角，所以，所以，，化簡得：，即.若，則，得在第二象限，故A錯；若，則，因為為第二象限角，所以，,但是由為第二象限角，可得，為第三、四象限角或終邊在軸負半軸，顯然角的位置不同，不可能相等，所以C錯誤；由終邊相同的角的概念結合上面的計算易知，可以出現，的情況，故BD正確.故選：BD.11.已知為坐標原點，橢圓.過點作斜率分別為和的兩條直線，，其中與交于兩點，與交于兩點，且，則（）A.的離心率為 B.C D.四點共圓【答案】ABD【詳解】依題意，即，所以，解得（負根舍去）.所以橢圓，則.依題意可知直線的傾斜角為銳角，且，由解得.直線的傾斜角為鈍角，且，由解得.設直線的參數方程為（為參數），由整理得，解得（不妨設）.設直線的參數方程為（為參數），由整理得，解得（不妨設）.所以，B選項正確.，C選項錯誤.，所以，而，所以，所以，所以四點共圓.（也可用圓的相交弦定理的逆定理，直接由判斷出四點共圓）所以D選項正確.故選：ABD12.已知數列的項數均為（為確定的正整數，且），若，，則（）A.中可能有項為1 B.中至多有項為1C.可能是以為公比的等比數列 D.可能是以2為公比的等比數列【答案】AC【詳解】由題意可得①，②，①-②得，同理可得，所以數列中僅有1項為1，因為，所以B錯誤；當時，A正確；，所以當時，是以為公比的等比數列，C正確，D錯誤；故選：AC三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與曲線和均相切，則__________.【答案】【詳解】設直線與相切于點，，因為直線與相切，所以，且；解得；因為直線與曲線相切，聯立得，且，即.故答案為：.14.在三棱錐中，，且，則直線PC與平面ABC所成角的余弦值為__________.【答案】【詳解】記的中點為，連結，過作交的延長線于，如圖，因為，為的中點，所以，因為，，，所以，則，又為的中點，所以，因為面，所以面，又面，所以，因為，面，所以面，所以為直線PC與平面ABC所成角的平面角，不妨設，在中，，則，，在中，，在中，，則，即，故，在中，，所以在中，，又，則，即，所以，所以，故直線PC與平面ABC所成角的余弦值為.故答案為：.15.已知直線與雙曲線C：交于點，.為C上一點，且，，則△PAB的面積最大值為__________.【答案】【詳解】依題意，，由解得或，所以為定值，由于，，所以在雙曲線兩點間的曲線上，在第一象限，當距離最遠時，三角形的面積取得最大值，設直線與雙曲線C：相切于點，由消去并化簡得，由解得（正根舍去），故切線方程為，直線與直線的距離為，所以△PAB的面積最大值為.故答案為：16.已知定義在R上的偶函數滿足.若，且在單調遞增，則滿足的x的取值范圍是__________.【答案】【詳解】因為是偶函數，所以，由，可得關于對稱，因為，所以，則，因為是偶函數，所以，因為，所以，則，所以函數是周期為的周期函數.因為是偶函數，且在單調遞增，所以在單調遞減，令中，則，則，又因為關于對稱，所以在上單調遞增，上單調遞減，結合函數是周期為的周期函數，綜上可得在，上單調遞增，，上單調遞減.因為的最小正周期為，結合圖象可知，在，上單調遞增，在上單調遞減，令中，則，則，當，又，所以，當，又，所以，所以當時，，解得.又因為與均為周期函數，且8均為其周期，所以的x的取值范圍是.故答案為：.四、解答題本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知.（1）證明：；（2）若的面積最大值為，求c.【答案】（1）證明見詳解（2）2【小問1詳解】由可得，，再由正弦定理可得，，即，根據余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立.【小問2詳解】，當且僅當即時等號成立，所以，所以，即.18.已知數列滿足.（1）求的通項公式；（2）記數列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【小問1詳解】因為，所以，又，所以，所以，.【小問2詳解】由（1）知，，，則，，當時，，，故；當時，，，故；假設當時，，所以當時，，因為，所以，故，則，即，所以，則，綜上：.19.某食品研究員正在對一種過期食品中菌落數目進行統計，為檢測該種過期食品的腐敗程度，研究員現對若干份過期不同天數的該種食品樣本進行檢測，并且對樣本的菌落數目逐一統計，得到如下數據：過期天數（單位：天）12345菌落數目（單位：千個）（1）請用線性回歸模型擬合與的關系；（2）實驗數據表明，該種食品在未添加防腐劑的條件下（其余條件相同），短期內（7天內）菌落數目（單位：千個）與過期天數（單位：天）應滿足關系：.（i）判斷該樣本是否添加防腐劑；（ii）簡要分析過期7天內防腐劑發揮的效果.附：.【答案】（1）（2）（i）該樣本添加了防腐劑；（ii）抑制食品產生菌落，且效果越來越好.【小問1詳解】由題意可得：，，且，，所以，則，所以回歸直線方程為【小問2詳解】（i），則樣本不滿足未添加防腐劑的條件，即該樣本添加了防腐劑；（ii）根據該種食品在未添加防腐劑的條件下應滿足關系：，可得，，，，，即過期天數（單位：天）12345添加防腐劑菌落數目（單位：千個）未添加防腐劑菌落數目（單位：千個）則過期7天內防腐劑讓其菌落數目小于未添加防腐劑，且差距越來越大，即過期7天內防腐劑發揮的效果為抑制食品產生菌落，且效果越來越好.20.如圖，三棱錐和均為棱長為2的正四面體，且A，B，C，D四點共面，記直線AE與CF的交點為Q.（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【小問1詳解】連結，連結，過作，且，如圖，因為三棱錐和均為棱長為2的正四面體，易得，則，則，所以，所以，因為，所以，則，又是的中點，所以，又面，所以面，因為，所以面，又三棱錐是正四面體，所以是底面的中心，在邊長為的等邊中，易得，，在中，，則，又，所以，則，因為，所以，故三棱錐的體積為.【小問2詳解】由（1）知四邊形是菱形，則，又，，所以兩兩垂直，故以為原點建立空間直角坐標系如圖，則，故，設面的一個法向量為，則，令，則，故，設面的一個法向量為，則，令，則，故，設二面角為，所以，所以，所以二面角的正弦值為.21.已知O為坐標原點，拋物線E：的焦點F到準線l的距離為2.（1）求p；（2）若A，B，C為E上不同的三點，且，直線AB，FC分別與l交于點M，N，求.【答案】（1）（2）【小問1詳解】焦點F到準線l的距離為2故.【小問2詳解】設且準線方程：則、設,直線AB，FC的交點

結合得：所以，22.已知函數．（1）若在單調遞增，求a的取值范圍；（2）當時，，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【小問1詳解】，，要使在單調遞增，只需，恒成立.即，，又，，即；當時，符合題意，故；當時，，；當時，，令，，當時，，即，；當時，，即，；，，，；時，；所以在，上單調遞增；在上單調遞減.由知，分子是一個周期函數，而分母卻是一個增函數，不妨把看成是振幅越來越小的“類周