2023-2024學年廣東省肇慶高二上冊10月月考數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一?單選題（本大題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，注意：答在試卷上無效）1.已知向量，，則（）A. B.9 C.1 D.3【正確答案】A【分析】先由向量的坐標運算的減法公式求，再由向量的模的公式求.【詳解】因，，所以，所以，故選：A.2.直線的傾斜角（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】確定直線的斜率，根據斜率與傾斜角的關系，即可求得答案.【詳解】由題意可得直線的斜率為，直線傾斜角為，則，故，故選：B3.如圖：在平行六面體中，M為，的交點．若，，，則向量（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據空間向量基本定理結合平行六面體的性質求解【詳解】因為在平行六面體中，M為，的交點，，，，所以,故選：B4.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是（）A.B.C.D.【正確答案】D【分析】根據空間向量共面定理依次判斷各選項即可．【詳解】對于A，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故B錯誤；對于C，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設，即，解得，所以共面，故不可以作空間向量一個基底，故D正確．故選：D．5.已知平面α內兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）A.-1，2 B.1，-2C.1，2 D.-1，-2【正確答案】A【分析】求出向量的坐標后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐標運算列出方程組，求解即可.【詳解】，由為平面α的法向量，得,即解得故選：A.6.已知長方體中，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，求出的坐標，利用得坐標，然后利用可得．【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則．，，解得，，，，解得．故選：C．7.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點A到平面的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標系，求平面的法向量，用點到平面的距離公式計算即可.【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示：則，，，，，，設平面的法向量為，則，即，則平面的一個法向量為，則點A到平面的距離.故選：C8.已知在正方體中，E，F分別為，的中點，點P在上運動，若異面直線，所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設，表達出，換元后求出的最大值.【詳解】以D為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設，則，，，設，則，所以．令，則，因為，所以．當時，；當時，，因為，所以當，即時，取得最大值，最大值為．故選：B二?多選題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.注意：答在試卷上無效）9.已知，則下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據空間向量共線的坐標表示，以及空間向量垂直的坐標表示，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由向量，可得，所以向量與不共線，所以A不正確；對于B中，由向量，可得，所以向量與不共線，所以B不正確；對于C中，由向量，可得，所以，所以C正確；對于D中，由，可得，所以向量與不垂直，所以D不正確.故選：ABD.10.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】根據直線方向向量、平面法向量定義，結合向量間的位置關系判斷線線、線面、面面關系即可.【詳解】A：由題設，對；B：由題設，或，錯；C：由題設，對；D：由題設，對.故選：ACD11.如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A. B.向量與的夾角是60°C.AC1⊥DB D.BD1與AC所成角的余弦值為【正確答案】AC【分析】選擇{、、}作為一組基底，分別表示各選項中的向量，運用向量的模、向量夾角、數量積、異面直線所成角公式計算即可判斷.【詳解】對于A選項，由題意可知，則，∴，所以選項A正確；對于B選項，，所以，，則，∴向量與的夾角是，所以選項B不正確；對于C選項，，又因為，所以，∴，所以選項C正確；對于D選項，設與所成角的平面角為，因為，，所以，，，∴，所以選項D不正確.故選：AC.12.在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面【正確答案】BD【分析】對于A，由于等價向量關系，聯系到一個三角形內，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數．【詳解】易知，點在矩形內部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內．三?填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.注意：答在試卷上無效）13.已知，，則___________.【正確答案】24【分析】利用向量的數量積直接求解.【詳解】因為，，所以.所以.故2414.已知，在直線l上，寫出直線l的一個方向向量：______．【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據直線方向向量的求法求得.【詳解】由于，，所以直線的一個方向向量.故（答案不唯一）15.如圖，為矩形所在平面外一點，平面，若已知，則到直線的距離為________．【正確答案】##【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得到直線的距離.【詳解】由于平面，平面，所以，而四邊形是矩形，所以，由此以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，所以到直線的距離為.故16.如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點，BD、AC分別在半平面、內，，，且，則CD的長等于________.【正確答案】4【分析】根據二面角的定義，結合空間向量加法運算性質、空間向量數量積的運算性質進行求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.故答案：4.四?解答題（本大題共有6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.注意：答在試卷上無效）17.已知點求：（1）求過兩點的直線的斜率；（2）邊上的高所在直線方程；【正確答案】17.18.【分析】（1）根據兩點斜率公式求解斜率即可；（2）根據斜率公式以及垂直關系得高所在直線斜率，即可求解.【小問1詳解】由可得；【小問2詳解】由可得，所以邊上的高所在直線的斜率為，由點，所以邊上的高所在直線方程為.18.已知空間三點，設．（1）求與的夾角的余弦值；（2）若向量與互相垂直，求k的值．【正確答案】（1）（2）【分析】(1)先求出向量，再利用空間向量的夾角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出的值.【小問1詳解】因為，，所以空間向量的夾角公式，可得，所以與的夾角的余弦值為.【小問2詳解】由（1）可知，.因為向量與互相垂直，所以，所以，所以，所以，解得.19.如圖，在直三棱柱中，，棱，點分別是的中點.（1）求的模；（2）求；（3）求證：.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析；【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法計算出；（2）求出向量和的坐標，然后利用空間向量法求出的值；（3）計算出和的坐標，利用坐標運算得出，可證明出；【小問1詳解】如圖，建立以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標系.依題意得、，；【小問2詳解】依題意得、、、，，，，，，所以，；【小問3詳解】依題意，得、，，，，，即；20.如圖，在正方體中，為的中點.（1）求直線到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后利用空間向量求解即可；（2）求出平面與平面的法向量，然后利用空間向量求解即可.【小問1詳解】以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為∥，平面，平面，所以∥平面，所以直線到平面的距離等于點到平面的距離，設正方體的棱長為2，則，所以，設平面法向量為，則，令，則，所以直線到平面的距離為；【小問2詳解】平面的一個法向量為，由（1）可知平面的法向量為，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．【正確答案】（1）證明見解析；（2）1【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；（2）設，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設，則，設平面的法向量，則，令，得，，設平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.22.如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，且，平面為的中點，為棱上一點.（1）求證：平面；（2）若為的中點，，是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】22.證明見詳解23.存在，或【分析】（1）根據