2023-2024學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.）1．下面四個企業(yè)的標(biāo)志是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，△ABC≌△CDA，則AD的對應(yīng)邊是（）A．BC B．AB C．CD D．AC3．下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，124．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線1交BC于點D．若∠DAC＝34°，則∠B的度數(shù)是（）A．34° B．30° C．28° D．26°5．如圖，圖中的兩個三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（）A．30° B．36° C．65° D．79°6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝20，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．57．如圖，點P在∠AOB的平分線OM上（不與點O重合），PC⊥OA于點C，PC＝3，若D是OB邊上任意一點，連接PD，則下列關(guān)于線段PD的說法一定正確的是（）A．PD＝3 B．PD＜3 C．PD＞3 D．PD≥38．如圖所示，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內(nèi)一定點，并且OP＝4，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點O到線段MN的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.）9．已知△ABC≌△DEF，其中AB＝3，則DE＝．10．一個等腰三角形的邊長分別是4cm和7cm，則它的周長是．11．如圖，兩個三角形的邊和角的大小如圖所示，則直接判斷這兩個三角形全等的依據(jù)是．12．在等腰△ABC中，有一個內(nèi)角為80°，則頂角為°．13．如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，則S△ABC＝．15．如圖，△ABC為等邊三角形，△ADC為等腰直角三角形，且∠ADC＝90°，則∠BDC＝°．16．把長方形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和D重合，折痕EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，則線段DE＝cm．17．如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為．18．如圖，∠MON＝90°，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，點A，B分別在邊OM，ON上運(yùn)動，△ABC的形狀始終保持不變，在運(yùn)動的過程中，點C到點O的最小距離為．三、解答題（本大題共8小題，共64分.）19．（8分）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，DE⊥AC，垂足為E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度數(shù)．21．（8分）如圖，△ABC的頂點A，B，C都在小正方形的頂點上，我們把這樣的三角形叫做格點三角形．（1）作出△ABC關(guān)于直線l對稱的三角形；（2）圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形共有個（不包括△ABC）．22．（8分）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的長．23．（8分）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）判斷線段AE與CD的關(guān)系，并說明理由；（2）連接BM，有以下兩個結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有.（請寫序號，少選、錯選均不得分）．24．（8分）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃?xì)庹荆騦同側(cè)的A，B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關(guān)于l的對稱點A′，線A′B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃?xì)庹荆寐肪€ACB是最短的，為了讓交點C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點C′，連接AC′，C′B，證明AC+CB＜AC′+C′B，請完成這個證明；（2）如圖③，已知四邊形ABCD，請用直尺和圓規(guī)在邊BC上求作一點P，使∠APB＝∠CPD（不寫作法，保留作圖痕跡）．25．（8分）[問題背景]如圖①，將△ABC沿折痕AD翻折，使點C落在AB邊上點C′處，已知∠BAC＝80°，∠C＝65°，求∠ADB的度數(shù)；[變式運(yùn)用]如圖②，在△ABC中，AB＞AC，求證：∠C＞∠B．26．（8分）（1）如圖①，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD為BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（提示：延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE）；（2）如圖②，在△ABC中，∠A＝90°，D是BC邊上的中點，∠EDF＝90°，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證BE2+CF2＝EF2；（3）如圖③，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，連接DE，求證．（簡述解題思路即可）2023-2024學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.）1．下面四個企業(yè)的標(biāo)志是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此判斷即可．解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形，熟記定義是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC≌△CDA，則AD的對應(yīng)邊是（）A．BC B．AB C．CD D．AC【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判定即可．解：∵△ABC≌△CDA，∴AD＝BC．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形進(jìn)行分析即可．解：A、32+42＝52，能組成直角三角形，故此選項正確，符合題意；B、22+32≠42，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意；C、42+62≠72，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意；D、52+112≠122，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意．故選：A．【點評】此題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線1交BC于點D．若∠DAC＝34°，則∠B的度數(shù)是（）A．34° B．30° C．28° D．26°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝DC，故可得出∠DAC＝∠C＝34°，進(jìn)而得出結(jié)論．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分線l交BC于點D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝34°，∴∠B＝∠C＝34°．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，圖中的兩個三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（）A．30° B．36° C．65° D．79°【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可以求得x的值．解：∵圖中的兩個三角形是全等三角形，∴兩個三角形中邊長為4和7的邊的夾角相等，∴x＝∠F＝65°．故選：C．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的性質(zhì)解答．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝20，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計算即可得解．解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴CD＝DE，∵S△ABD＝20，AB＝10，∴，∴DE＝4，∴CD＝DE＝4，∴CD的長為4．故選：C．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計算．7．如圖，點P在∠AOB的平分線OM上（不與點O重合），PC⊥OA于點C，PC＝3，若D是OB邊上任意一點，連接PD，則下列關(guān)于線段PD的說法一定正確的是（）A．PD＝3 B．PD＜3 C．PD＞3 D．PD≥3【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到OB的距離為3，再根據(jù)垂線段最短解答．解：∵點P在∠AOB的平分線OM上，PC＝3，PC⊥OA，∴點P到OA邊的距離等于3，∴點P到OB的距離為3，∵點D是OB邊上的任意一點，∴PD的最小值為3，即PD≥3．故選：D．【點評】本題考查角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖所示，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內(nèi)一定點，并且OP＝4，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點O到線段MN的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別作點P關(guān)于OB和OA的對稱點P'和P''，連接OP'、OP''、P'P''，則P'P''與OB的交點為點N'，P'P''與OA的交點為點M'，連接PN'、PM'，則此時P'P''的值即為△PMN的周長的最小值，過點O作OC⊥P'P''于點C，求得∠OP'P''的值，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．解：分別作點P關(guān)于OB和OA的對稱點P'和P''，連接OP'、OP''、P'P''，則P'P''與OB的交點為點N'，P'P''與OA的交點為點M'，連接PN'、PM'，則此時P'P''的值即為△PMN的周長的最小值，過點O作OC⊥P'P''于點C，如圖所示：由對稱性可知OP＝OP'＝OP''，∵∠AOB＝60°，∴∠P'OP''＝2×60°＝120°，∴∠OP'P''＝∠OP''P'＝30°，∵OP＝4，OC⊥P'P''，∴OC＝OP'＝2．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.）9．已知△ABC≌△DEF，其中AB＝3，則DE＝3．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，即可求解．解：∵△ABC≌△DEF，AB＝3，∴DE＝AB＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．一個等腰三角形的邊長分別是4cm和7cm，則它的周長是15cm或18cm．【分析】等腰三角形兩邊的長為4cm和7cm，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．解：①當(dāng)腰是4cm，底邊是7cm時，能構(gòu)成三角形，則其周長＝4+4+7＝15cm；②當(dāng)?shù)走吺?cm，腰長是7cm時，能構(gòu)成三角形，則其周長＝4+7+7＝18cm．故答案為：15cm或18cm．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．應(yīng)向?qū)W生特別強(qiáng)調(diào)．11．如圖，兩個三角形的邊和角的大小如圖所示，則直接判斷這兩個三角形全等的依據(jù)是SAS．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，即可解答．解：根據(jù)圖形兩個三角形長度為3的邊和長度為4的邊對應(yīng)相等，以及他們的夾角都為30°，故可得判斷這兩個三角形全等的依據(jù)是邊角邊（SAS），故答案為：SAS．【點評】本題考查了判定三角形全等的條件，熟知判定三角形全等有SSS，SAS，ASA，AAS，HL五種條件是解題的關(guān)鍵．12．在等腰△ABC中，有一個內(nèi)角為80°，則頂角為80或20°．【分析】根據(jù)等腰△ABC中，有一個內(nèi)角為80°，并沒說明此內(nèi)角是頂角還是底角，故需分類討論即可得到答案．解：∵等腰△ABC中，有一個內(nèi)角為80°，∴當(dāng)80°為頂角時，其頂角為80°；當(dāng)80°為底角時，其頂角為180°﹣80°﹣80°＝20°，故答案為：80或20．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°和等腰三角形等這對等角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，則S△ABC＝30．【分析】由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，最后利用三角形面積公式即可求出答案．解：由于AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴S△ABC＝×12×5＝30，故答案為：30【點評】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．15．如圖，△ABC為等邊三角形，△ADC為等腰直角三角形，且∠ADC＝90°，則∠BDC＝45°．【分析】由題意易得△ABD≌△CBD，然后問題可求解．解：∵△ABC為等邊三角形，△ADC為等腰直角三角形，∴AB＝CB，AD＝CD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴；故答案為：45．【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．把長方形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和D重合，折痕EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，則線段DE＝3.4cm．【分析】根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化，得出AE＝A′E，設(shè)AE＝x，再利用勾股定理得出A′E2+A′D2＝ED2，從而求出AE的長，進(jìn)而求出DE的長．解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴A′D＝AB＝3cm，設(shè)AE＝x，則A′E＝xcm，DE＝5﹣x（cm），∵四邊形ABCD是矩形，易知△A'DE是直角三角形，在Rt△A'DE中，A′E2+A′D2＝ED2，∴x2+9＝（5﹣x）2，解得：x＝1.6，∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm），故答案為：3.4．【點評】此題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，再選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程即可求出答案．17．如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為5．【分析】延長BD與AC交于點E，由題意可推出BE＝AE，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根據(jù)BD＝1，BC＝3，即可推出AC的長．解：延長BD與AC交于點E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案為：5．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形，通過等量代換，即可推出結(jié)論．18．如圖，∠MON＝90°，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，點A，B分別在邊OM，ON上運(yùn)動，△ABC的形狀始終保持不變，在運(yùn)動的過程中，點C到點O的最小距離為7．【分析】作CH⊥AB，連接OH，OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再利用勾股定理計算出CH，接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OH，則利用三角形三邊的關(guān)系得到OC≥CH﹣OH當(dāng)點C、O、H共線時取等號，即可求解．解：作CH⊥AB，連接OH，OC，CH，如圖，∵AC＝BC＝13，∴，在Rt△BCH中，，在Rt△AOB中，，∵OC≥CH﹣OH（當(dāng)點C、O、H共線時取等號），∴點C到點O的最小距離為CH﹣OH＝12﹣5＝7，故答案為：7．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，三角形三邊關(guān)系．能通過三角形的三邊關(guān)系得出當(dāng)點C、O、H共線時OC的最短值為CH﹣OH是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共64分.）19．（8分）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．【分析】利用SAS證明△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，DE⊥AC，垂足為E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度數(shù)．【分析】首先根據(jù)三角形的三線合一的性質(zhì)得到AD平分∠BAC，然后求得其一半的度數(shù)，從而求得答案．解：∵AB＝AC，D為BC的中點，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝25°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難度不大．21．（8分）如圖，△ABC的頂點A，B，C都在小正方形的頂點上，我們把這樣的三角形叫做格點三角形．（1）作出△ABC關(guān)于直線l對稱的三角形；（2）圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形共有3個（不包括△ABC）．【分析】（1）作出點A、B關(guān)于直線l的對稱點，然后順次連接即可；（2）畫出圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形即可得出答案．解：（1）△DCE為所求作的三角形，如圖所示：（2）解：圖中與△ABC全等且有公共邊AC的格點三角形有△ACD、△ACE、△ACF，共3個．故答案為：3．【點評】本題主要考查了作軸對稱圖形，三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是作出對應(yīng)點的位置．22．（8分）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的長．【分析】設(shè)AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．解：設(shè)AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．23．（8分）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）判斷線段AE與CD的關(guān)系，并說明理由；（2）連接BM，有以下兩個結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有②.（請寫序號，少選、錯選均不得分）．【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CBD，可得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，由三角形內(nèi)角和定理可得∠AMC＝∠ABC＝90°，即可求解；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝CD，S△ABE＝S△BCD，由面積法可求BP＝BH，即可求解．解：（1）AE＝CD，AE⊥CD，理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，∵∠ANB＝∠CNM，∴∠AMC＝∠ABC＝90°，∴AE⊥CD；（2）如圖，過點B作BH⊥CD于H，BP⊥AE于P，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△BCD，∴×AE×BP＝×CD×BH，∴BP＝BH，又∵BH⊥CD，BP⊥AE，∴BM平分∠AMD，故答案為：②．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．24．（8分）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃?xì)庹荆騦同側(cè)的A，B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關(guān)于l的對稱點A′，線A′B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃?xì)庹荆寐肪€ACB是最短的，為了讓交點C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點C′，連接AC′，C′B，證明AC+CB＜AC′+C′B，請完成這個證明；（2）如圖③，已知四邊形ABCD，請用直尺和圓規(guī)在邊BC上求作一點P，使∠APB＝∠CPD（不寫作法，保留作圖痕跡）．【分析】（1）根據(jù)軸對稱得到AC＝A′C，AC′＝A′C′，結(jié)合三角形三邊關(guān)系直接求解即可得到證明；（2）作A點的對稱點A′，連接A′D交BC于一點即可得到答案．【解答】（1）證明：連接A′C′，∵點A與A′關(guān)于l對稱，∴l(xiāng)垂直平分AA′，∴AC＝A′C，AC′＝A′C′，∵A′B＜BC′+A′C′，∴AC+CB＜AC′+C′B；（2）解：作A點的對稱點A′，連接A′D交BC于一點即為P點，如圖所示，∵A點的對稱點A′，∴∠APB＝∠A′PB，∵∠A′PB＝∠CPD，∴∠APB＝∠CPD，∴A′D交BC于一點即為P點，【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱性質(zhì)及兩點間線段距離最短找到最短距離點．25．（8分）[問題背景]如圖①，將△ABC沿折痕AD翻折，使點C落在AB邊上點C′處，已知∠BAC＝80°，∠C＝65°，求∠ADB的度數(shù)；[變式運(yùn)用]如圖②，在△ABC中，AB＞AC，求證：∠C＞∠B．【分析】[問題背景]問題①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ACD≌△AC′D，繼而得到∠CAD＝40°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；[變式運(yùn)用]利用①的方法，將△ABC沿折痕AD翻折，點C的對應(yīng)點為點C′，可得△AC′D≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AC′D＝∠C，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得證．【解答】[問題背景]解：∵△ABC沿折痕AD翻折，∠BAC＝80°，∠C＝65°，∴△ACD≌△AC′D，∴，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+65°＝105°，∴∠ADB的度數(shù)為105°；[變式運(yùn)用]證明：如圖，△ABC沿折痕AD翻折，點C的對應(yīng)點為點C′，∵AB＞