第二十二章

二次函數(shù)22.3實際問題與二次函數(shù)第2課時二次函數(shù)與商品利潤01能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決商品銷售過程中的最大利潤問題.02弄清商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系及確定自變量的取值范圍.教學目標復習回顧1.二次函數(shù)y=2x2-8x+1圖象的頂點坐標是________，當x=____時，y的最小值為____.2.某旅行社要接團去外地旅游，經(jīng)計算所獲利潤y(元)與旅行團人數(shù)x(人)滿足關(guān)系式y(tǒng)=-x2+100x.(1)二次函數(shù)y=-x2+100x的圖象開口向___，有最___值，為_____；(2)要使旅行團所獲利潤最大，則此時旅行團應(yīng)有___人.(2,-7)2-7下大250050復習回顧利潤問題一.幾個量之間的關(guān)系.

二.在商品銷售中，通常采用哪些方法增加利潤？1.總價、單價、數(shù)量的關(guān)系：總價＝單價×數(shù)量2.利潤、售價、進價的關(guān)系：利潤＝售價－進價3.總利潤、單件利潤、數(shù)量的關(guān)系：總利潤＝單件利潤×數(shù)量新課導入某商店經(jīng)營襯衫，已知獲利以y(元)與銷售單價x(元)之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=-x2+24x+2956，則此店銷售單價定為多少時，獲利多少？最多獲利多少？新課導入在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤、最大鑄量等問題，解此類題的關(guān)健是通過題意，找出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍。新知探究知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系

問題1：某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進價為每件40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤

元.180006000數(shù)量關(guān)系（1）銷售額=售價×銷售量;（2）利潤=銷售額－總成本=單件利潤×銷售量;（3）單件利潤=售價－進價.新知探究問題2：某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系新知探究知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售203006000降價銷售建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.降價銷售（1）降價：①設(shè)每件降價x元，則每星期售出商品的利潤y元隨之變化：20-x300+20xy=(20-x)(300+20x)新知探究知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故20-x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.新知探究知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系③降價多少元時，利潤y最大，是多少？即：y=-20x2+100x+6000，即定價57.5元時，最大利潤是6125元.∴當x=2.5時，-20×2.52+100×2.5+6000=6125y最大值為6125元新知探究知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售203006000漲價銷售建立函數(shù)關(guān)系式：m=(20+n)(300-10n)，即：m=-10n2+100n+6000.漲價銷售（2）漲價：①設(shè)每件漲價n元，則每星期售出商品的利潤m元隨之變化：20+n300-10nm=(20+n)(300-10n)新知探究知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系②自變量n的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價格上漲，單件利潤上升，因此只要考慮銷量就可以，故300-10n≥0，且n≥0,因此自變量的取值范圍是0≤n≤30.新知探究知識點一：利潤問題中的數(shù)量關(guān)系③漲價多少元時，利潤m最大，是多少？即：m=-10n2+100n+6000，

即定價65元時，最大利潤是6250元.由(1)(2)的探究及現(xiàn)在的銷售情況,你知道應(yīng)該如何定價能使利潤最大了嗎?鞏固練習

1.某商店經(jīng)營一種小商品。進價為每件20元，據(jù)市場分析，在一個月內(nèi)。售價定為解件25元時，可賣出105件，而售價每上漲1元，就少賣5件，(1)當售價定為每件30元時，一個月可獲利多少元?(2）當售價定為每件多少元時，一個月的獲利最大?

最大利潤是多少元？鞏固練習解析總利潤=單件產(chǎn)品利潤×銷售教量解：（1）獲利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。(2)設(shè)售價為每件x元時一個月的獲利為y元。由題意得y=（x-20）［105-5（x-25）］=-5x2+330x-4600=-5（x-33）2+845當x=33時，y的最大值是845.故當售價定為每件33元時，一個月獲利最大，最大利潤是845元。求利潤最大問題。常用的公式有：利潤=售價一進價，總利潤=銷售量×單個商品的利潤，由題意可知該商品的利潤與其漲價幅度有關(guān)，由此可列出函數(shù)表達式，再利用公式法或配方法求得最大值。規(guī)律方法鞏固練習2.出售某種手工藝品，若每個獲利x元，一天可售出（8-x）個，則當x=

時，一天出售該種手工藝品的總利潤y最大。4總利潤=單件產(chǎn)品利潤×銷售數(shù)量，因此y=x（8-x）=-（x-4）2+16，當x=4時，總利潤y有最大值16.方法點撥鞏固練習3.宏達汽車租賃公司共有出租車120輛，每輛汽車的日租金為160元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適應(yīng)市場需求，經(jīng)有關(guān)部門批準，公司準備適當提高日租金，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一輛汽車的日租金每增加10元，每天出租的汽車會相應(yīng)地減少6輛，若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高幾個10元時，才能使公司的日租金總收入最高？這時公司的日租金總收入比提高租金前增加了多少元？鞏固練習該怎么解這個題目呢？本題是以文字信息形式出現(xiàn)的求最大總收入的實際應(yīng)用問題，解題時要抓住題目中關(guān)鍵詞語，對信息進行梳理，分析，建立二次函數(shù)模型。鞏固練習解：設(shè)該公司將每輛汽車的日租金提高x個10元時，才能使公司的日收入y最高，則公司每天出租汽車會減少6x輛，根據(jù)題意，得y=（160+10x）（120-6x）=-60（x2-4x-320）=-60（x-2）2+19440因為a=-60＜0，所以當x=2時，y取最大值19440元，即當公司將每輛汽車的日租金提高2個10元時，公司的日租金總收入y最高。公司的日租金總收入分別為：提高租金之前：160×120=19200（元）提高租金之后：19440元，19440-19200=240（元），所以公司的日租金總收入比提高租金前增加了240元。方法點撥求解最大利潤問題的基本步驟：（1）引入自變量；（2）用含自變量的代數(shù)式分別表示銷量單價或銷售收入及銷售量；（3）用含自變量的代數(shù)式表示銷量的商品的單件盈利；（4）用函數(shù)及含自變量的代數(shù)式表示銷售利潤，即可得函數(shù)關(guān)系式；（5）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出最大值及取得最大值時的自變量的值。課堂總結(jié)求解最大利潤問題的一般步驟（1）建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式：運用“總利潤=總售價－總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”（2）結(jié)合實際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤：可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數(shù)的簡圖，利用簡圖和性質(zhì)求出.課堂練習1．一位籃球運動員跳起投籃,籃球運行的高度y(米)關(guān)于籃球運動的水平距離x(米)的函數(shù)解析式是.已知籃圈中心到地面的距離3.05米,如果籃球運行高度達到最高點之后能準確投入籃,那么籃球運行的水平距離為（）A.3.5B.1C.4D.5A2．某旅行社在“五一”黃金周期間接團去外地旅游，經(jīng)計算，所獲營業(yè)額y(元)與旅行團人數(shù)x(人)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－x2＋100x＋28400，要使所獲營業(yè)額最大，則此旅行團應(yīng)有(

)A．30人B．40人C．50人D．55人C課堂練習3.某種商品每件的進價為20元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30)出售，可賣出（300－20x）件，使利潤最大，則每件售價應(yīng)定為

元.254.進價為80元的某件定價100元時，每月可賣出2000件，價格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣的總件數(shù)y(件）與襯衣售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.每月利潤w(元)與襯衣售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.(以上關(guān)系式只列式不化簡）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)課堂練習xy516O75.某種商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x(元）之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.（1）銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？解：(1)由題中條件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,對稱軸x=10,∴當x=10時，y值最大，最大值為25.即銷售單價定為10元時，銷售利潤最大，為25元；課堂練習（2）銷售單價在什么范圍時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元？解：(2)由對稱性知y=16時，x=7和13.故銷售單價在7≤x≤13時，利潤不低于16元.5.某種商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x(元）之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.xy516O7課堂練習6.一工藝師生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為9個檔次.第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)80件，每件可獲利潤12元.產(chǎn)品每提高一個檔次，每件產(chǎn)品的利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件.如果只從生產(chǎn)利潤這一角度考慮，他生產(chǎn)哪個檔次的產(chǎn)品，可獲得最大利潤？課堂練習w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]

=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=