中學生數學素養的構成要素和教學建構1數學基礎知識與基本技能素養構成及教學建構2數學能力素養構成及教學建構中學生數學素養的構成要素和教學建構利用數學思想建構數學知識網絡

利用轉化思想加強知識網絡中各網點之間的聯系

數學基礎知識與基本技能素養構成及教學建構1中學生數學素養的構成要素和教學建構數學思想對于具體的數學知識和方法具有巨大的凝聚力，它是聯系知識的紐帶，具有舉一綱而萬目張的作用。常見的數學思想方法有：方程和函數思想、分類討論思想、轉化思想、類比思想等。函數是高中代數的主線，因此，函數思想可以看作中學代數知識的生長點，利用函數思想建構代數知識網絡。

利用數學思想建構數學知識網絡數學是一個有機的整體，由數學知識的連續性,決定了相鄰兩個知識塊之間具有相關性和相容性；由數學知識的對稱性、合同性,決定了某些不同知識之間具有相似性。充分利用這些聯系，對問題的情境進行適當的轉化，使之達到思想明朗化，方法簡單化的目的。利用轉化思想加強知識網絡中各網點之間的聯系

數學能力結構數學記憶能力數學能力結構數學觀察能力數學學習能力數學化能力數學思維能力空間想象能力數學運算能力2數學能力素養構成及教學建構數學觀察力是一種有目的、有選擇并伴有注意的對數學材料的知覺能力或初步加工能力。培養學生良好的數學觀察能力必須做到以下幾點：在學習數學概念時，培養抓本質特征的能力；在學習數學知識時，培養建構知識結構的能力；在學習數學原理時，培養掌握數學法則或規律的能力；在解決數學問題時，培養正確選擇解題途徑和數學模型的能力；提高對數學的興趣，是提高學生數學觀察能力的重要條件。一、數學觀察能力的建構1、在概念教學中，增強觀察的目的性一、數學觀察能力的建構2、在激發學習興趣中，培養觀察的持久性3、在分析問題中，培養觀察的精確性1、在概念教學中，增強觀察的目的性一、數學觀察能力的建構將圓沿著一條直徑對折，同學們觀察到了什么情況？這時學生回答的基礎上教師總結得出圓的軸對稱性概念。接著電腦繼續演示，并講解：由圖（１）中ＣＤ為圓Ｏ的直徑；變到圖（２）中在圓Ｏ上任意取一點Ａ；再變到圖（３）從點作直徑ＣＤ的垂線交圓Ｏ于另一點Ｂ，這時要求學生觀察圖（３）中的點Ｂ與點Ａ是否是對稱點？關于什么對稱？進一步提出當直徑ＣＤ垂直于弦ＡＢ，觀察將能得到什么結論？

一、數學觀察能力的建構2、在激發學習興趣中，培養觀察的持久性在學習直徑定理的推論時，先請兩名中等生回答定理內容，并說出這個定理的題設和結論。這時引導學生觀察：若（１）過圓心；（２）垂直于弦；則（３）平分弦；（４）平分這條弦所對的優弧；（５）平分這條弦所對的劣弧。將（２）和（３）對調，得到一個命題，將（１）和（３）對調，得到一個命題；然后將（２）和（４）或（５）對調，又得到一個命題。一、數學觀察能力的建構3、在分析問題中，培養觀察的精確性例1：分解因式：x4+2x3+x2+1+2（x+x2）例2：若a·b≠1，且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0。求

的值。數學記憶能力是一種對數學材料、對典型的推理和運算模式的概括的記憶力。在培養學生數學記憶能力時，必須做到以下幾點：明確記憶目的，提高有意識記能力；掌握科學的記憶方法，是增強記憶有效措施；激發思維，加深理解，提高對數學問題類型標志、解題模式、數學思想方法的記憶力；運用聯想規律，增強數學記憶能力；提高對數學的興趣，是提高學生數學記憶能力的重要條件。二、數學記憶能力的建構1、只有深刻的理解，才能記得扎實2、只有引起學生的興趣，才能記得深刻3、只有形式簡練，才能記得迅速二、數學記憶能力的建構4、只有聯系實際，才能記得主動1、只有深刻的理解，才能記得扎實二、數學記憶能力的建構例1：三角形內角平分線的性質定理：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應線段成比例。二、數學記憶能力的建構例1：平面幾何中有不少定理,除了教科書中所闡述的一些定理外,還有許多著名的定理,以這些定理為基礎,可以推出不少幾何事實,得到完美的結論,以至巧妙而簡捷地解決不少問題。梅內勞斯定理：一直線截△ABC的邊BC,CA,AB交其延長線于點D、E、F,求證：

·

·=1。2、只有引起學生的興趣，才能記得深刻數學運算能力是一種在運算定理和運算定律指導下，對數與式的組合分解變形的能力。學生數學運算能力培養必須做到以下幾點：使學生正確理解和熟練掌握進行各種運算的有關概念、性質、公式、法則等；進行推理訓練是提高數學運算能力的必要途徑；加強運算練習是提高學生數學運算能力的更有效途徑。數學運算訓練力求達到數學運算準確性、熟練性、合理性和簡捷性。三、數學運算能力的建構1、提高學生計算的興趣

2、抓好審題訓練

3、培養學生良好的計算習慣

4、抓好心理和思維靈活性訓練三、數學運算能力的建構5、消除心理障礙，樹立自信心

6、作好優化運算過程和運算方法的訓練

7、抓好“雙基”教學

2、抓好審題訓練

三、數學運算能力的建構例1：已知實數m、n滿足m3+n3=2,試確定m+n的取值范圍。3、培養學生良好的計算習慣

三、數學運算能力的建構例1：(3+1)(32+1)(33+1)(34+1)(35+1)(36+1)例2：分解因式：a3+b3+c3-3abc4、抓好心理和思維靈活性訓練三、數學運算能力的建構例1：已知函數f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，試確定f(1)、f(2)、f(4)的大小順序。。三、數學運算能力的建構例1：設x，y，z，w為四個互不相等的實數，并且x+=y+=z+=w+求x2y2z2w2的值。6、作好優化運算過程和運算方法的訓練

例2：已知ctg(45。-x/2)=a(a≠0),求cosx。

三、數學運算能力的建構例1：已知正數x，y滿足條件x+y=4，求：

·的最小值。7、抓好“雙基”教學

例2：方程x2+(2m-1)x+(m-b)=0,有一根不大于-1，另一根不小于1。（1）求m的取值范圍；（2）求方程的根平方和的最大值和最小值。數學思維能力分邏輯思維能力和非邏輯思維能力兩大類。邏輯思維能力是指根據形式邏輯的思維方式，正確合理地進行判斷、推理的思考能力。邏輯思維能力含五種基本成分：數學概括、數學抽象、數學推理、數學化歸和數學思維簡縮；非邏輯思維能力是指不按形式邏輯的思維方式，不受特定的邏輯規則約束，對思考對象的屬性與關系直接作出正確判斷的思維能力。非邏輯思維能力含兩種基本成分：形象思維和直覺思維。數學思維能力培養的要點：在數學活動中培養學生數學思維能力時，應培養學生的思維品質；在數學活動中，教師要針對學生數學思維能力的最近發展區，創設問題情景培養學生數學思維能力；在數學教學活動中，教師應講授思考問題的方法，暴露思維過程，訓練解決問題的思路。四、數學思維能力的建構1、要善于調動學生內在的思維能力2、要教會學生思維的方法

3、要培養學生良好的思維品質

4、創設問題情境，激發學生學習的興趣

5、創設探究式問題，提高學生思維的創造性

6、設計開放性問題，培養和發展學生思維的靈活性

7、數形結合，培養學生形象思維能力

四、數學思維能力的建構8、加強學生的語言和操作的訓練

1、要善于調動學生內在的思維能力四、數學思維能力的建構例1:8人分別乘兩輛小汽車趕往火車站，每輛小汽車連司機在內限乘5人，該路段限速60千米/小時，人步行的速度是5千米/小時，其中一輛小汽車在距離火車站15千米的地方出了故障，此時離火車停止檢票時間還有42分鐘，試問這8人能趕上火車嗎？四、數學思維能力的建構例1:如圖，⊙O內兩弦AB、CD的延長線相交于圓外一點E，EF//AD于CB相交于點F，作切線FG，G為切點，求證：EF=FG。2、要教會學生思維的方法

四、數學思維能力的建構例1:如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG，FG(1)設AE=X時，△EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長。3、要培養學生良好的思維品質

例2：Ｋ是什么數時，方程ＫＸ２－（２Ｋ＋１）Ｘ＋Ｋ＝０有兩個不相等的實數根？四、數學思維能力的建構例1:如圖，點C是線段BE上的一動點（不與點B，E重合），在BE同一側分別作等邊△ABC和等邊△CDE,連接AE,BD交于點F，則∠AFB=______

6、設計開放性問題，培養和發展學生思維的靈活性

變式1：將已知條件變換為AB=AC，CE=DE，∠BAC=∠CED，則∠AFB=____

變式2：將已知條件變換為AB=AC，CE=DE，∠BAC=α則∠AFB=____

變式3：將上圖中的△ABC繞點C旋轉得到如下圖，則∠AFB=______

四、數學思維能力的建構例1:如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這條邊相對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖①所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”，顯然，當ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個，（1）請畫出圖②和圖③的所有“友好矩形”；（2）依照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”。6、設計開放性問題，培養和發展學生思維的靈活性

四、數學思維能力的建構例2：如圖1，AD是⊙O的直徑，BC切⊙O于點D，AB、AC于⊙O相交于點E、F。（1）求證：AE·AB=AF·AC（2）將圖1中的直線BC向上平移與⊙O相交得到圓2，或向下平移得到圓3，此時，AE·AB=AF·AC是否仍然成立？若成立，請證明。如不成立，說明理由。6、設計開放性問題，培養和發展學生思維的靈活性

四、數學思維能力的建構例3：如圖1，分別以Rt△ABC的三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用s1，s2，s3表示，不難證明：s1=s2+s3（1）如圖2，分別Rt△ABC的三邊向外作三個正方形，其面積為s1，s2，s3。那么s1，s2，s3之間有何關系？（不必證明）（2）如圖3，分別Rt△ABC的三邊向外作三個等邊三角形，其面積為s1，s2，s3。那么s1，s2，s3之間有何關系并加以證明。（3）若分別以Rt△ABC的三邊向外作一般三角形，其面積為s1，s2，s3。為使s1，s2，s3之間仍有（2）的關系，所作的三角形應該滿足什么條件？證明你的結論。（4）請你與（1）、（2）、（3）類比總結出一個更具有一般性的結論。6、設計開放性問題，培養和發展學生思維的靈活性

四、數學思維能力的建構例4：已知△OAD∽△OCB，∠AOD=∠COB=90。

（1）當A、O、C在一條直線上，求證：AD2+BC2=AB2+CD2;（2）將圖1中的△OAD繞D點旋轉，使∠AOB=α（0<α<90),得到圖2，問（1）結論是否成立，并證明你的猜想。6、設計開放性問題，培養和發展學生思維的靈活性

四、數學思維能力的建構例1:方程x2+（k-5）x+9=0在1<x<2內有一實數根，則k的取值范圍是____________7、數形結合，培養學生形象思維能力

四、數學思維能力的建構8、加強學生的語言和操作的訓練

例1:已知正比例函數y=(1-2a)x,若點A（x1,y1）與點B（x2,y2）在此直線上，且x1＜x2,y1＞y2，求a的值。空間想象能力是指數學地處理間形式，探明其關系、結構特征而需要的一種想象能力，是形成對幾何結構的表象及其對表象的加工能力。在培養空間想象力的數學活動中，應注意下面點：學生學好有關空間形式的數學基礎知識，是提高學生數學空間想像能力的根本；通過對事物的觀察、剖析、測量、設計作圖或借助模型等數學實踐活動，借助豐富的表象來提高學生數學空間想像能力；教師在教學中善于借助類比方法啟迪學生的思維，同時，積極誘導學生產生類比想象來發展學生的數學空間想象能力；把立體幾何的教學作為培養學生空間想象能力的重點。五、空間想象能力的建構1、通過探究活動，增強學生的空間觀念

2、識圖、作圖和想圖是培養學生空間想象力的基礎

3、利用數形結合拓寬空間想象力

4、利用多媒體擴展空間想象力

5、通過培養學生的數學思維品質，發展空間想象能力

五、空間想象能力的建構1、通過探究活動，增強學生的空間觀念

五、空間想象能力的建構例1:“立體圖形的展開圖”長方體盡管是立體圖形中最基本的幾何形體，但在學生頭腦里卻是由平面思維跨入立體思維領域的第一步。本課設計如下問題：

1、選擇部分有代表性的展開圖，包括可以和不可以折成正方體的，讓學生動手剪下后“折一折”，感知某些展開圖“能夠”或“不能”折成正方體，并思考為什么。是否所選的平面圖形都能折疊成多面體。2、觀察你手中的正方體,想想看,它的平面展開圖一樣嗎?動手做一做,把一個正方體的面展開，需要剪幾刀（沿著一條棱剪開算一刀）？3、請同學試試看。把得到的平面圖形畫出來,你能畫出多少種?4、如圖：是一個正方體紙盒的展開圖，請在其中的三個正方形A、B、C，填入適當的數，使得它們折成正方體后的相對面上的兩個數為互為相反數。5、圖2是圖1的平面展開圖，請在圖2的括號內填上合適的字母。2、識圖、作圖和想圖是培養學生空間想象力的基礎

五、空間想象能力的建構例如：“圓錐的側面積和全面積”設計這樣的問題：（1）出示圓錐的模型，請同學能說出圓錐有哪些特征？（2）連結圓錐頂點與底面圓任意一點的線段都是母線．圓錐的母線應具有什么性質？（3）把圓錐的側面沿它的一條母線剪開，展在一個平面上，哪位同學發現這個展開圖是什么圖形？請同學畫出圓錐的圖形及展開圖。并回答：圓錐展示圖——扇形的弧長l等于圓錐底面的什么元素？扇形的半徑其實是圓錐的什么線段？圓錐的側面積怎么求？展開圖扇形的圓心角怎么求？數學化能力是指人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，以發現其規律，將一個現實問題轉化為數學問題或已知的數學模型的能力。為培養學生數學化能力，教師在數學教學活動中，應注意下面幾點：培養學生將數學問題中日常語言轉化為數學語言；培養學生由數學語言及數學術語建立數學模型。六、數學化能力