第22章《二次函數》考試時間:120分鐘滿分：120分一、單選題（每小題3分，共18分）1．（2021秋·四川成都·九年級成都實外校考階段練習）下列函數中，y是x的二次函數的是（）A．y=2x-1 B． C． D．【答案】D【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數可得答案．【詳解】解：A、不是二次函數，故此選項不合題意；B、不是二次函數，故此選項不合題意；C、不是二次函數，故此選項不合題意；D、是二次函數，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．2．（2022秋·福建福州·九年級閩清天儒中學校考階段練習）二次函數有最小值，則m等于（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據二次函數的最值公式列式計算即可得解．【詳解】∵二次函數有最小值，∴，解得．故選A．3．（2022秋·北京房山·九年級統考期中）下列關于拋物線的說法正確的是（）A．此拋物線的開口比拋物線的開口大B．當時，此拋物線的對稱軸在y軸右側C．此拋物線與x軸沒有公共點D．對于任意的實數b，此拋物線與x軸總有兩個交點【答案】D【分析】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質可以判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：二次項的系數互為相反數，所以拋物線與的開口方向相反，但開口大小相同，故A選項錯誤，不符合題意；當時，與二次項的系數的符號相同，則拋物線的對稱軸位于y軸的左側，故B選項錯誤，不符合題意；由于，所以該拋物線與x軸有兩個公共點，故C選項錯誤，D選項正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．4．（2022秋·安徽蚌埠·九年級統考階段練習）當時，和大致圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題可先由一次函數圖像得到字母系數的正負，再與二次函數的圖像相比較看是否一致．【詳解】解：A.由一次函數的圖像可知，則二次函數對稱軸應為，該選項圖像錯誤，不符合題意；B.由一次函數的圖像可知，則二次函數對稱軸，該選項圖像錯誤，不符合題意；C.由一次函數的圖像可知，而二次函數圖像開口方向和對稱軸位置均正確，符合題意；D.由一次函數的圖像可知，而二次函數的圖像開口向上，即，故圖像錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數與二次函數的圖像，解題關鍵是由一次函數圖像確定函數解析式各項系數的性質符號，由二次函數解析式各項系數的性質符號畫出函數圖像的大致形狀．5．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）已知點（﹣1，y1），（1，m），（2，y2），（3，n），（4，y3）在二次函數y＝x2+ax（a是常數）的圖像上，若mn＜0，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出二次函數的對稱軸，再通過比較三個點到對稱軸的遠近確定函數值的大小．【詳解】解：∵二次函數y＝x2+ax（a是常數），∴二次函數的開口向上，對稱軸為直線x，圖像經過原點，∵點（1，m），（3，n）在二次函數y＝x2+ax（a是常數）的圖像上，mn＜0，∴m＜0，n＞0，∴，∵點（2，y2）到對稱軸的距離最近，點（4，y3）到對稱軸的距離最遠，∴y2＜y1＜y3．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖像上點的坐標特征，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的圖像特征是解答本題的關鍵.6．（2022秋·陜西西安·九年級校考階段練習）已知，二次函數圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）①；②；③；④（其中，為任意實數）；⑤A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】由圖像可知，，，根據對稱軸在拋物線的右側可得,即可得；根據對稱軸為得，即可得；當時，即當時，，即可得，即可判斷；當時，y有最大值：，所以當時，，即，進行計算即可得；當時，，，即，即可得，綜上，即可得．【詳解】解：由圖像可知，，，∵對稱軸在拋物線的右側，∴,即，故結論①正確；∵對稱軸為，∴即，故結論②正確；∵當時，∴，∴當時，，即，故結論③正確；∵當時，y有最大值：，∴當時，，即，，故結論④正確；當時，，∴，即，∴，故結論⑤正確；綜上，①②③④⑤正確，正確的個數為5個，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖像和性質．二、填空題（每小題3分，共18分）7．（2022秋·天津濱海新·九年級校考期中）函數的開口方向是．【答案】向上【分析】根據a的符號判斷拋物線的開口方向．【詳解】解：∵，∴二次函數的圖象開口方向向上．故答案為：向上．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是掌握：當，拋物線開口方向向上，當，拋物線開口方向向下．8．（2021秋·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學校聯考階段練習）拋物線的頂點坐標為．【答案】(1，-1）【分析】利用二次函數解析式中的頂點式，頂點坐標為（，）,即可得出．【詳解】解：的頂點坐標為（，），故答案為：（，）【點睛】本題主要考查了求拋物線頂點坐標的方法．掌握頂點式的特征是解題關鍵．9．（2022秋·廣東廣州·九年級校考期中）將拋物線向右移1單位，上移2單位所得到的新拋物線解析式為．【答案】【分析】根據函數圖象平移的法則進行解答即可．【詳解】解：根據“左加右減，上加下減”的法則可知，將拋物線向右移1個單位，再向上移2個單位，那么所得到拋物線的函數關系式是．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖形與幾何變換，是基礎題，掌握平移規律“左加右減，上加下減”是解題的關鍵．10．已知函數，則使成立的值恰好有三個，則的值為．【答案】【分析】畫出函數圖像，結合函數圖像可得的值．【詳解】解：∵，∴頂點坐標為，如圖：點關于軸的對稱點為，∵成立的值恰好有三個，∴．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的圖像及性質．涉及頂點坐標，圖像的對稱變換等知識點。利用圖像變換畫出函數圖像，數形結合解題是關鍵．11．（2022秋·浙江紹興·九年級校考期中）若直線與函數的圖象只有一個交點，則交點坐標為；若直線與函數的圖象有四個公共點，則m的取值范圍是．【答案】【分析】作出和的圖象，根據圖象性質即可求出．【詳解】①作出和的圖象，如圖所示觀察圖形即可看出，當直線過（3，0）時，與函數的圖象只有一個交點，所以答案為（3,0）；②聯立，消去y后可得：，令，可得，，即m=時，直線y=x+m與函數的圖象只有3個交點，當直線過點（-1，0）時，此時m=1，直線y=x+m與函數的圖象只有3個交點，直線y=x+m與函數y=|2-2x-3的圖象有四個公共點時，m的范圍為：；故答案為：①；②．【點睛】本題考查一次函數與二次函數交點問題，正確作出函數圖象，熟練掌握二次函數性質是解題的關鍵．12．（2022秋·湖北武漢·九年級統考期中）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x=-1，下列結論中:①abc>0；②3a+c>0；③；④當圖象經過點(，2)時，方程ax2+bx+c-2=0的兩根為x1，x2（x1<x2），則x1+2x2=-，其中正確的結論是.（填寫序號）【答案】②③④【分析】根據二次函數的圖象和性質逐項判斷即可．【詳解】由二次函數圖象可知a>0，c<0，∵該二次函數對稱軸為x=-1，∴，∴，∴abc<0，故①錯誤；由圖象可知，當x=1時，y>0，即．∵，∴，∴，故②正確；將代入，得：，∵，c<0，∴，∴，故③正確；∵的兩根為x1，x2（x1<x2）,∴二次函數與有兩個交點，且交點橫坐標分別為x1，x2．∵二次函數圖象經過點(，2)，且該點在對稱軸右側，∴．∵二次函數的對稱性，∴，∴，故④正確．綜上可知正確的結論為②③④，故答案為：②③④．【點睛】本題考查根據二次函數的圖象判斷式子符號．熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題關鍵．三、解答題（每小題6分，共30分）13．（2022秋·廣東河源·九年級校考開學考試）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函數，求a．【答案】a＝﹣1【分析】由二次函數的定義可得a2﹣2a﹣1＝2，且a﹣3≠0，解得即可．【詳解】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函數，則a2﹣2a﹣1＝2，解得a＝3或a＝﹣1，又∵a﹣3≠0，∴a≠3，∴a＝﹣1．【點睛】本題考查了二次函數的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的函數叫做二次函數．14．（2022秋·福建龍巖·九年級龍巖二中校考期中）已知拋物線的頂點為P（﹣2，3），且過A（﹣3，0），求此二次函數的解析式．【答案】【分析】設拋物線的頂點式，將頂點P（﹣2，3）及點A（﹣3，0）代入即可解答．【詳解】解：設二次函數解析式為：，∵頂點坐標為P（﹣2，3），∴，將點A（﹣3，0）代入得，解得：，∴．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，根據題目給出的條件，正確設出二次函數解析式是解題的關鍵．15．已知：二次函數的圖象經過點．(1)求b；(2)將（1）中求得的函數解析式用配方法化成的形式．【答案】(1)2(2)【分析】（1）把點代入函數解析式即可求；（2）利用配方法化成頂點式即可．【詳解】（1）解：把點代入得，，解得，．（2）解：，，，．【點睛】本題考查了待定系數法求解析式和配方法，解題關鍵是熟練掌握待定系數法和配方法，準確進行計算．16．（2023·四川瀘州·統考一模）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的頂點坐標；(2)求的面積．【答案】(1)(2)24【分析】（1）將拋物線解析式化成頂點式，即可求解；（2）先求得拋物線與y軸、x軸交點坐標，再由三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵∴拋物線的頂點坐標為；（2）解：令，則，∴，∴，令，則，解得：，，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查求拋物線頂點坐標，拋物線與坐標軸的交點，三角形的面積，熟練掌握將拋物線解析式化成頂點式和求拋物線與坐標軸的交點坐標是解題的關鍵．17．（2022秋·河南南陽·九年級統考期末）已知二次函數與x軸有兩個交點．(1)求實數k的取值范圍．(2)若此二次函數有最小值，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據拋物線與x軸有兩個交點，求出△的取值范圍，即可求出k的取值范圍．（2）把二次函數的解析式化為頂點式，即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數與x軸有兩個交點，∴，即，解得．（2）解：，整理得：，∵，∴時，y有最小值，∵此二次函數有最小值，∴，解得．【點睛】此題主要考查了二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質．四、解答題（每小題8分，共24分）18．（2021秋·吉林·九年級長春市第八十七中學校考階段練習）已知二次函數y＝﹣x2+bx+c，函數值y與自變量x之間的部分對應值如表：x……﹣4﹣101……y……﹣21﹣2﹣7……（1）求二次函數的解析式；（2）當﹣5＜x＜2時，求函數值y的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）待定系數法求二次函數解析式即可；（2）將二次函數解析式化為頂點式，進而求得最大值，再根據對稱性可知當時，當﹣5＜x＜2時，求得函數取的最小值，即可求得函數值的取值范圍．【詳解】（1）將代入，得解得二次函數的解析式為（2），當時，取得最大值當時，，當時，，當﹣5＜x＜2時，的取值范圍為．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，根據自變量的范圍求二次函數的取值范圍，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．19．（2022秋·安徽淮北·九年級淮北市第二中學校聯考階段練習）拋物線經過A（－1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的頂點坐標及對稱軸；【答案】(1)(2)頂點坐標為，對稱軸為直線．【分析】（1）把A、C的坐標代入，即可求出a、b的值，即可求出答案；（2）將函數化為頂點式，即可得到頂點坐標和對稱軸．（1）解：把點A（?1，0）、C（0，4）代入，得：，解得：a＝?1，b＝3，二次函數的解析式為；（2），所以頂點坐標為，對稱軸為直線．【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的對稱軸與頂點坐標，能求出二次函數的解析式是解此題的關鍵．20．已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k中，當x＝1時有最大值3，且與y軸相交于點（0，1）．（1）求這條拋物線的解析式；（2）寫出這條拋物線關于x軸對稱的拋物線的解析式，并指出它的最大（小）值是多少？【答案】（1）y＝﹣2（x﹣1）2+3；（2）y＝2（x﹣1）2﹣3，當x＝1時，有最小值﹣3．【分析】（1）根據最值確定出頂點坐標，從而得到h、k的值，再將點（0，1）代入求出a的值，即可得解；（2）根據關于x軸對稱的點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數求出對稱后的拋物線的頂點坐標，再根據對稱變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小利用頂點式解析式寫出即可，然后根據二次函數的最值問題解答．【詳解】（1）∵當x＝1時有最大值3，∴拋物線為y＝a（x﹣1）2+3，將（0，1）代入得，a（0﹣1）2+3＝1，解得a＝﹣2，所以，這條拋物線的解析式為y＝﹣2（x﹣1）2+3；（2）拋物線關于x軸對稱的頂點坐標為（1，﹣3），所以，拋物線的解析式為y＝2（x﹣1）2﹣3，當x＝1時，有最小值﹣3．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，平移的規律：左加右減，上加下減．此類題目，利用頂點的變化求解更簡便．五、解答題（每小題9分，共18分）21．（2020·遼寧鐵嶺·統考模擬預測）某經銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供資源，待貨物出售后再進行結算，未出售的由廠家負責處理）。當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，該經銷店為提高經營利潤，準備采取降價的方式進行促銷。經市場調查發現：當每噸售價每降低10元時，月銷售量就會增加7.5噸，綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用元．當每噸售價為元時，月銷售量為噸，求出與之間的函數解析式；在遵循“薄利多銷”的原則下，問每噸材料售價為多少時，該經銷店的月利潤為元；若在規定每噸售價不得超過元的情況下，當每噸售價定為多少元時，經銷店的月利潤最大．【答案】（1）；（2）每噸材料售價為元；（3）當每噸售價定為元時，經銷店的月利潤最大【分析】（1）因為每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，現在售價為元，下降，銷量增加，即可求出關系式．（2）該經銷店計劃月利潤為9000元而且盡可能地擴大銷售量，以9000元做為等量關系可列出方程求解．（3）設銷售額w元，求出銷售額w與售價的函數關系式，當月利潤最大，x為210元，此時每噸售價不得超過元，月銷售額w最大，即可得出答案．【詳解】當售價定為每噸元時，月銷量由題意化簡得解得因為要遵循“薄利多銷”的原則，所以答：每噸材料售價為元；設當每噸原料售價為元時，月利潤為元開口向下，有最大值當時，的值最大，每噸售價定為元符合要求答：當每噸售價定為元時，經銷店的月利潤最大．【點睛】本題考查了二次函數的應用、一元二次方程的解得等知識，考查學生理解題意能力，學會關鍵二次函數解決最值問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．22．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級校考階段練習）如圖，拋物線（a為常數）與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點B，直線AB的函數表達式為（k為常數）．(1)求a的值；(2)求直線AB的函數表達式；(3)根據圖象寫出當時x的取值范圍．【答案】(1)a=1；(2)y=x-3；(3)x≤0或x≥3【分析】（1）直線AB的函數表達式為，故點B（0，-3），拋物線，故點B（0，-3），故-3a=-3，即可求解；（2）由拋物線的表達式求出A（3，0），將點A的坐標代入直線AB的表達式，即可求解；（3）觀察圖象即可求解．【詳解】（1）直線AB的函數表達式為，令x=0，則y=-3，故點B（0，-3），∵拋物線，且點B（0，-3），故-3a=-3，解得：a=1；（2）∵a=1，故拋物線的表達式為：，令y=0，則x=-1或3，故點A（3，0），將點A（3，0）代入直線AB的表達式，解得：k=1，故直線AB的表達式為：y=x-3；（3）從圖象看，x≤0或x≥3時，．【點睛】本題考查的