粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用分析

在飽和粘土層中挖掘隧道引起了人們的注意[1.4]。隧道開挖后地層中初始應力場釋放,應力重新分布形成二次應力場,從而引起隧道的變形。為了確保隧道開挖后的穩定性,工程中常用襯砌材料進行支護。最初人們根據圍巖(土)壓力理論來計算襯砌結構上的荷載,并以此進行設計,這樣設計出的襯砌厚而不經濟。實際上圍巖(土)壓力不是無條件的全部由襯砌結構來承擔,而是通過相互作用由襯砌和圍巖(土)共同承擔的。另一方面,襯砌材料(砼或配筋砼)具有徐變特性。因此,考慮地層和襯砌材料的流變性態進行地下結構襯砌計算,能更好的反映襯砌-土相互作用過程中隨時間變化的受力特征。文獻考慮襯砌和圍巖的徐變特性進行了圓形隧道的粘彈性應力分析。然而,將襯砌材料和圍巖(土)視為多孔介質更為合理。Biot最早建立了飽和多孔介質的力學計算理論。基于Biot理論,Carter研究了飽和土體的圓形隧道的固結問題。Li假設襯砌材料完全柔性且為多孔彈性介質,得到了半封閉條件下飽和土體中圓形隧道的固結解答,但未考慮材料的流變。文獻考慮了土體的流變性態,分析了飽和土體中深埋圓形隧道的應力和位移,但未考慮襯砌剛度的影響。綜合以上,可見目前尚無既考慮材料流變又考慮土體固結情況下深埋圓形隧道襯砌-土相互作用問題的解答。本文考慮襯砌和土體的流變性態,其中襯砌的流變性態采用Venderporl模型(也稱K-H模型)描述,研究分析粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用,根據薄壁圓柱殼理論分析了襯砌的內力和變形,利用獻的結果在Laplace變換域中得到了隧道襯砌與土體接觸面上的應力和變形及襯砌內的薄膜力和彎矩解答。并利用DurbinLaplace數值逆變換公式得到時間域中的結果,分析討論了襯砌和土體的相對剛度、阻尼比、襯砌的相對厚度對隧道襯砌-土相互作用的影響。1襯砌結構模型在飽和土體中開挖深埋圓形隧道模型如圖1所示,其中r0和r2分別為襯砌的中曲面半徑和外半徑,El、μl和Es、μs分別為襯砌材料和飽和土體的彈性模量和泊松比。隧道開挖后,土體中的初始應力場釋放,在隧道邊界上(r=2r)形成的應力邊界條件為:式中,σh和σv分別為水平方向和豎直方向的初始應力,兩者之間的關系為或用有效應力表示式中N0、K0為側壓力系數,如果地下水位位于地表,則N0=K0+γw1(-K0)/γs,其中γw、γs分別為孔隙流體和土體的重度。隧道開挖后需要進行襯砌支護。由于襯砌與土體相互作用,襯砌結構只承擔隧道邊界上的部分初始應力。本文假定襯砌安裝時初始應力尚未釋放,計算模型(圖1)適用于頂管法隧道開挖,同時也可以近似模擬盾構法隧道開挖。隧道邊界上的初始應力一部分由襯砌結構承擔,一部由土體自身承擔,可以表示為:式中p(θ,t)、τ(θ,t)為襯砌承擔的初始應力;σrs、τrsθ為隧道邊界上土體承擔的初始應力。為了便于分析,將隧道邊界上的初始應力表達式(1),分解為三種基本荷載形式,并與滲流邊界條件共同構成以下三類邊界:第一類邊界,隧道邊界上均布御載:第二類邊界,隧道邊界上初始孔壓釋放:第三類邊界,隧道邊界上非均布御載:式中p為超孔隙水壓力;k為無量綱參數,表示隧道邊界的滲透特性,,kl為墻體的滲透系數,kr為土體的滲透系數,1r為襯砌的內半徑(r1=2r0-r2),p0為初始孔隙水壓力。當k→0時隧道襯砌不透水,而當k→∞時襯砌完全透水。第二類邊界僅為一種理想情況,在實際問題中隧道邊界上作用的應力比較復雜,往往是以上幾種應力的組合,在復雜應力邊界條件下的解答可以通過以上幾種簡單條件下的解疊加得到。2襯砌無限長的理論模型由于圓形隧道襯砌的厚度遠小于其中曲面半徑,且假定襯砌無限長,則可以按薄壁圓柱殼的彎矩理論進行計算,其計算模型如圖2所示。在襯砌的中曲面上作用單位長度上的薄膜力N、彎矩M、剪力Q。2.1道邊界初始應力假設隧道襯砌的外邊界上(r=2r)作用徑向均布荷載p(θ,t)和剪切荷載τ(θ,t),由于圓形隧道邊界上的初始應力的表達式為富立葉分量形式,則襯砌上的荷載:式中P(t)、T(t)分別為徑向和剪切荷載系數;σrl為荷載系數的值。n取0、2,第一類邊界條件下n=0,第三類邊界條件下n=2。根據薄壁圓柱殼計算理論,中曲面(r=0r)上的荷載p0(θ,t)和τ0(θ,t)可由外邊界上的荷載得到:2.2襯砌基本方程根據薄壁圓柱殼計算理論,無限長圓形隧道襯砌計算的基本方程可以簡化為:(1)平衡方程(2)幾何方程式中?為轉角;ρ為曲率半徑。(3)物理方程式中url,uθl為襯砌的徑向和切向位移;h為襯砌的厚度,。2.3襯砌有限元模型文獻根據薄壁圓柱殼理論將隧道襯砌視為圓形曲桿,并將襯砌表面荷載展開為富立葉級數形式,得到了襯砌內力和變形的級數解。如果襯砌表面僅作用徑向均布荷載p(θ,t),即τ(θ,t)=0,n=0。則根據薄壁圓柱殼計算理論,襯砌內url,uθl,N,M,Q均與θ值無關,故襯砌內力和變形可由方程(9)、(11)簡化得到(或直接利用文獻的結果):式(12)表明在襯砌上僅作用有均布荷載時,襯砌內產生徑向變形和軸力,無彎矩和切向變形。由于砼襯砌具有徐變特性,根據粘彈性力學的對應性原理,只要將線彈性解答中的彈性模量El經Laplace變換后用粘彈性介質的蠕變度函數sJ(s)代換即可得到粘彈性條件下的解答。本文假定襯砌材料符合Venderporl模型,則蠕變度函數可表示為:,El1、El2為模型的彈性常數,ηl為模型的粘滯系數。在徑向均布荷載條件下,考慮襯砌流變性態條件下的解可以得到:式中。2.4由9、11式如果襯砌表面作用軸對稱荷載p(θ,t)和τ(θ,t),即n=2。根據薄壁圓柱殼計算理論,在Laplace變換域中,由(9)、(11)式可得:式中。文獻已給出了襯砌上作用徑向和切向均布荷載條件下,襯砌內力和變形方程(11)、(14)和(15)式的級數解,取n=2,同時將與荷載系數無關的襯砌的剛體位移忽略,即可得到襯砌的內力和變形:將(16a)和(16b)式表示為以下形式:則有式中;由(18)式可以得到襯砌上荷載系數和變形系數的關系式:3土體的內力和變形以上已得到了襯砌在軸向均布荷載和切向荷載下的變形和內力,而土體的內力和變形可由文獻給出的解獲得。由于隧道襯砌和土體接觸面上的變形和內力是隧道設計的關鍵所在,因此,在此僅給出粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌和土體接觸面上的變形和內力解答。3.1彈性飽和土體土體中深埋圓形隧道應力和位移解的確定隧道邊界上土體承擔一部分荷載σrs,在拉普拉斯變換域中:在此類邊界條件下,文獻已給出了粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道的應力和位移解,在此直接引用即得襯砌和土體接觸面上(r=2r)應力和變形的關系式:式中。第一類邊界條件下,隧道襯砌-土體接觸面上的初始應力由襯砌結構和土體共同承擔,襯砌-土體接觸面上的應力和變形協調,則有將(13)和(21)式代入(22)得到:3.2初始孔壓釋放邊界條件在第二類邊界條件下,隧道邊界徑向應力和剪應力為零為一理想條件,不能獨立存在。初始孔壓釋放邊界條件僅對土體起作用,對襯砌沒有影響,即不產生變形、軸力和彎矩。因此,文獻中的結果對第二類邊界條件下的隧道襯砌-土體相互作用仍適用。3.3襯砌-土體接觸面上應力和位移的應用隧道邊界上土體承擔一部分荷載σrs(θ,t),在拉普拉斯變換域中:式中為土體中的徑向應力和剪應力系數。利用文獻給出了粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道的應力和位移解可得:式中:第三類邊界條件下,在隧道襯砌-土體接觸面上的應力和變形協調,則有:對(8)式進行Laplace變換,和(24)代入(26)式得到:將(19)和(25)式代入上式,得到襯砌和土體接觸面上的變形系數:式中:在求得襯砌和土體接觸面上的變形系數后,即可得到襯砌和體分別承擔初始應力值,再代入文獻中的結果即可得到襯砌和土體接觸面上的應力和孔隙水壓力。代入(21)、(18b)和(18c)式得到襯砌內的軸力和彎矩,從而可以進行襯砌的設計。4襯砌為復合材料的接觸面,形態參數選取?前文考慮襯砌和土體相互作用,在Laplace變換域中分別得到了三類邊界條件下,襯砌和土體接觸面上的應力、位移以及襯砌內薄膜力(軸力)和彎矩解答,結果表明隧道開挖后的初始應力場由襯砌和土體共同承擔,如果不考慮襯砌和土體的相互作用而按傳統的圍巖(土)壓力理論來進行隧道襯砌的計算和設計,其結果勢必偏大。時間域中的解可以采用近似的Laplace數值逆變換得到。本文采用Durbin拉普拉斯數值逆變換公式進行計算,以分析反映襯砌和土體的相對剛度、阻尼比以及襯砌厚度與襯砌中曲面半徑的比值(相對厚度)對隧道襯砌-土相互作用的影響,部分計算結果如圖3～圖9。在隧道襯砌上僅作用軸向均布荷載條件下(第一類邊界),襯砌和土體接觸面上僅有徑向位移,襯砌內也僅有軸力,不產生彎矩。襯砌和土體接觸面上(r=2r)的位移及襯砌內的軸力在不同相對剛度和相對厚度條件下的歷時曲線如圖3、4。基本計算參數取值:襯砌的彈性常數El1=El2(用El表示),土體的彈性常數,ηs=10MPa?d,ηl=1MPa?d。圖3中可以看出:襯砌和土體的相對剛度(El/Es)越大,隧道產生向著隧道中心的徑向位移越小。襯砌和土體的相對厚度(h/r0)越大,徑向位移也越小。由于襯砌材料和土體的流變性態以及土體中超孔隙水壓力的消散,徑向位移隨時間的增加而增大,并趨于穩定。在軸向均布荷載條件下,襯砌內的軸力(圖4)隨相對剛度和相對厚度的增大而增大,并隨時間的增加趨于一穩定值。第三類邊界條件下,襯砌和土體相對剛度、阻尼比以及襯砌相對厚度對接觸面上的徑向位移(變形)的影響如圖5～7。圖5反映的襯砌和土體的相對剛度對徑向位移的影響與在第一類條件下具有相同的規律性,且從圖中可以看出:相對剛度值越大,徑向位移趨于穩定的歷時越短。土體與襯砌的阻尼比對徑向位移的影響如圖6所示,文獻認為土體的粘滯阻尼在0～100000范圍內對土體中應力和位移場產生影響,因此,我們選取ηs/ηl=1,100,10000三個值來分析土體的粘彈性和襯砌的徐變特性,可以看出隨著阻尼比的增大,徑向位移呈減小趨勢,且其影響沒有相對剛度的影響大。圖7為t*=1時(t*=ct/r22),在圓形隧道上半部分(接觸面上)的徑向位移隨相對厚度的變化規律,同樣可見徑向位移隨相對厚度的增加而減小。此外隧道的起拱線處(θ=,0180)產生遠離隧道中心的最大位移,而拱部(θ=90)則產生向著隧道中心的最大位移。圖8、9為第三類邊界條件下,在t*=1時刻,相對剛度對圓形隧道的上半部分襯砌內的軸力和彎矩的影響曲線。軸力(圖8)隨相對剛度的增大而增大,在襯砌的拱部(θ=90)出現負的最大值(受拉),而在襯砌的起拱線(θ=,0180)受壓且有最大值。襯砌內的彎矩隨相對剛度的增大而增大(圖9),彎矩的分布規律和軸力相似。5襯砌材料的結構及厚度對隧道襯砌-土相互作用的影響在Laplace變換域中,本文研究了粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用問題,得到隧道襯砌-土體接觸面