橢圓及其標準方程“嫦娥二號”于2010年10月1日18時59分57秒在西昌衛星發射中心發射升空一:認識橢圓一:認識橢圓一:認識橢圓一:認識橢圓生活中的橢圓一:認識橢圓二:嘗試探究、形成概念取一條定長的細繩;(1)若把它的兩端用圖釘固定在紙板上同一點處，用鉛筆尖把繩子拉直,使筆尖在紙板上慢慢移動，畫出的軌跡是一個圓。(2)若繩子的兩端拉開一段距離,再分別固定在紙板的兩點處，用鉛筆尖把繩子拉直,使筆尖在紙板上慢慢移動，畫出的軌跡是什么曲線？動手實驗(親身體驗)圓的定義圓OP

平面內與一個定點的距離等于常數(大于0)的點的軌跡叫作圓.這個定點叫做圓的圓心,

定長叫做圓的半徑.

圓的定義：

平面內與兩個定點的距離和等于常數(大于

)的點的軌跡叫作橢圓。21FF橢圓的定義：二:嘗試探究、形成概念

類比橢圓橢圓的定義MF2F1這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.F1F2M

平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。

這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點之間的距離叫做橢圓的焦距。橢圓的定義兩個問題：①為什么要強調在平面內？②為什么要強調繩長大于兩焦點的距離？三:概念透析平面內：圓OP空間中空間中球面橢球面①為什么要強調在平面內？三:概念透析平面內：橢圓MF2F1繩長=＝繩長＜②為什么要強調繩長大于兩焦點的距離？注：定長所成曲線是橢圓定長所成曲線是線段定長無法構成圖形理解定義的內涵和外延數學概念是嚴謹、嚴密的，要多琢磨！多培養自己的嚴謹意識！步驟一：建立直角坐標系；步驟二：設動點坐標；步驟三：限制條件，列方程；步驟四：代入坐標步驟五：化簡方程。回顧：求曲線方程的步驟四:橢圓的標準方程的推導（坐標法）OxyOxyOxyOxy?探討建立平面直角坐標系的方案建立平面直角坐標系通常遵循的原則：對稱、“簡潔”MF1F2方案一F1F2方案二OxyM學生活動xF1F2Moy解：取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖).

設M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標分別是(

c,0)、(c,0).建構數學問題：上式如何化簡呢？由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標橢圓的標準方程的推導碰到這么有規律的代數式一定要好好研究，總結一下，積累下來！方案(1):

兩邊直接平方.(太繁瑣）方案(2):

考慮兩個根號下代數式的相似性這樣化簡可以減少平方次數,而且為后面學習第二定義作了鋪墊為表述方便記：則m+n=2a

①又因為:

m-n=②化簡得即展開得兩邊除以①+②得2m=2a+得m=a+兩邊平方得xac2222222cayxaca-=+-則方程可化為即數學中的求美、求簡意識觀察左圖，你能從中找出表示a、c、的線段嗎？思考？橢圓的標準方程=b思考？如右圖,如果焦點F1、F2在y軸上,且坐標分別為(0,

c),(0,c),a，b的意義同上，那么此時橢圓的方程是什么？橢圓的標準方程焦點在x上OXF1F2M(0,-c)(0,c)Y焦點在y上橢圓的標準方程（兩種形式）方程特點(2)在橢圓兩種標準方程中，總有a>b>0；(3)焦點在分母較大的變量所對應的坐標軸上；(1)方程的左邊是兩項平方和的形式，等號的右邊是1；(4)a:表示橢圓上任意一點P到F1、F2距離和的一半(長半軸長)c:表示半焦距.且有關系式成立。焦點在x上焦點在y上OF1F2OF1F2隨堂練習1下列方程哪些表示的是橢圓,如果是,判斷它的焦點在哪個坐標軸上？(3)已知橢圓上一點P到左焦點F1的距離等于6，則點P到右焦點的距離是

；(4)若CD為過左焦點F1的弦，則?CF1F2的周長為

，

?F2CD的周長為

。

已知橢圓方程為,則(1)a=

,b=

,c=

;(2)焦點在

軸上,其焦點坐標為

,

焦距為

。隨堂練習2F1F2CD543(-3,0)、(3,0)6x41620變式一:將上題焦點改為(0，-4)、(0，4),結果如何？變式二:將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結果如何？當焦點在X軸時，方程為：當焦點在Y軸時，方程為：寫出適合下列條件的橢圓的標準方程隨堂練習3已知兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；隨堂練習4方程表示的曲線是橢圓，求k的取值范圍.變式：(1)方程表示焦點在y軸上的橢圓,求k的取值范圍.(2)方程表示焦點坐標為(±2，0)的橢圓，求k的值.k>0且k≠5/4

k>5/4k＝1/4

【錯解】

由橢圓方程知，a2＝4，b2＝m，∴a2－b2＝4－m.∵2c＝2，∴c＝1，∴4－m＝1，∴m＝3.【錯因】

忽視了對焦點在哪一坐標軸上的討論．【正解】

當焦點在x軸上時，a2＝4，b2＝m.又∵2c＝2，∴c＝1，∴4－m＝1，m＝3.當焦點在y軸上時，a2＝m，b2＝4.又∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1，∴m＝5.綜上，m的值為3或5.

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