概率論與數理統計

第一章概率論的基本概念隨機事件及其運算頻率與概率等可能概型(古典概型)條件概率事件的獨立性

1.1隨機試驗、樣本空間、隨機事件一、隨機試驗（簡稱“試驗”）隨機試驗的特點(p2)(1)試驗可以在相同條件下大量重復進行；(2)每次試驗的可能結果不止一個，并且事先可以知道試驗所有可能的結果；(3)進行一次試驗之前不能確定出現的是哪個結果，但若進行大量重復試驗的話，其可能結果的出現又有一定的統計規律性。滿足上述特點的試驗稱為隨機試驗，一般記為E。

E1：拋擲一枚質地均勻的硬幣，觀察正面和反面出現的情況；E2：擲一顆質地均勻的骰子，觀察其出現的點數；E3：記錄某網站一分鐘內受到的點擊次數；E4：在某高樓上任意擲下一朵玫瑰花，觀察其在地面上的位置；E5：從某品牌的電視機中任取一臺，觀察其使用壽命。隨機試驗的例子隨機試驗二、樣本空間(p2)

1、樣本空間：由隨機試驗的一切可能的結果組成的一個集合稱為試驗E樣本空間，記為S或Ω；2、樣本點：試驗的每一個可能的結果（或樣本空間的元素）稱為一個樣本點，記為e。試給出E1—E5的樣本空間幻燈片9三、隨機事件例1.1

將一顆骰子連擲兩次，依次記錄所得點數，則所有可能出現的結果即該試驗的樣本空間是：其中有36個可能的結果，即36個樣本點。每做一次試驗，這36個樣本點必有一個且僅有一個出現。在很多時候，我們是對樣本空間中某些子集感興趣，稱之為事件。如事件A：兩次投擲所得點數之和為8。事件B：兩次投擲所得點數相等。A發生

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)記作：A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}，A是S的子集。類似地，B={(1,1),(2,2),…,(6,6)}，B也是S的子集。1、隨機事件(p4)——隨機試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件。通常用大寫字母A、B、C…表示。

任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發生當且僅當試驗的結果是子集A中的元素。特殊地，當一個事件僅包含S的一個樣本點時，稱該事件為基本事件(或簡單事件)。

2、兩個特殊事件必然事件S——S包含所有的樣本點，是S自身的子集，每次試驗它總是發生的，稱為必然事件。不可能事件Φ——空集Φ不包含任何樣本點，它是S的子集，每次試驗總是不發生，稱為不可能事件。

課堂練習：從通常的一副52張撲克牌中抽取一張，在下列情況下描述樣本空間：(1)不考慮牌的花色；(2)考慮牌的花色。解：(1)如果不考慮整套牌的花色，樣本空間包含可由牌點A，二點，…，十點，J，Q，K組成，即可表示為Ω={1,2,…,13}。(2)如果考慮整套牌，樣本空間包含S，H，D，C的A，…一直到S，H，D，C的K。如果用1,2,3,4分別表示黑、紅、方、草，則黑桃J可寫成(11,1)，樣本空間有52個樣本點：四、事件之間的關系事件可以用文字表示，事件也可以表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質，且更便于今后計算概率。還應注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關系，事件之間的關系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關系可以用集合之間的關系來描述。

例1.2袋中裝有2只白球和1只黑球。從袋中依次任意地摸出2只球。設球是編號的：白球為1號、2號，黑球為3號。(i,j)表示第一次摸得i號球，第二次摸得j號球的基本事件，則這一試驗的樣本空間為：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

而且可得到下列隨機事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；C={(1,2),(2,1)}={兩次都摸得白球}；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={沒有摸到黑球}。設試驗E的樣本空間為S，A,B,Ak(k=1,2,…)為事件返回1.事件的包含與相等(p4)“A發生必導致B發生”，即A中的樣本點一定屬于B，記為A

B，也稱A是B的子事件。

A與B兩個事件相等：A＝B

A

B且B

A。例1.22.和事件(p4)：“事件A與B至少有一個發生”，記作A∪B2’n個事件A1,A2,…,An至少有一個發生，記作2”可列個事件A1,A2,…,An…至少有一個發生，記作3.積事件(p4):A與B同時發生，記作

A∩B＝AB3’n個事件A1,A2,…,An同時發生，記作3”可列個事件A1,A2,…,An,

…同時發生，記作4.差事件(p5)：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發生而B不發生，它是由屬于A而不屬于B的樣本點所構成的事件。思考：何時A-B=

?

何時A-B=A？例1.2中B=C∪D

C=B∩C

D=B-C例1.25.互斥的事件(p5)：AB=Φ,指事件A與B不能同時發生。又稱A與B互不相容。基本事件是兩兩互不相容的例1.2中：AB=Φ

AC=Φ

6.互逆的事件(p5)

A∪B＝

,且AB＝

A與B對立：事件A與B既不能同時發生，又不能同時不發生。即在每次試驗中，A與B有且僅有一個發生。對立事件必為互不相容事件；

互不相容事件未必為對立事件。五、事件的運算(p6)1、交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2、結合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)4、對偶(DeMorgan)律：例1.3甲、乙、丙三人各向目標射擊一發子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：例1.4試求事件“甲種產品滯銷，且乙種產品暢銷”的對立事件。解設A表示事件“甲種產品暢銷”，B表示事件“乙種產品暢銷”，則由題意，事件“甲種產品滯銷，且乙種產品暢銷”表示為：因此對立事件為：即所求對立事件為：“甲種產品暢銷或乙種產品滯銷”。1.2頻率與概率一、頻率定義1.設在相同的條件下，進行了n次試驗。若隨機事件A在這n次試驗中發生了nA次,則比值稱為事件A在這n次試驗中發生的頻率，記作fn(A)，即fn(A)=頻率具有如下的性質對任一事件A，0

fn(A)

1；對必然事件S，fn(S)＝1；而fn(

)=0(3)可加性：若事件A、B互不相容，即AB＝，則fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)。一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互不相容，則事件A發生的頻率表示A發生的頻繁程度，頻率越大，事件A發生得越頻繁，即在一次試驗中發生的可能性越大。歷史上曾有人做過試驗，著名的統計學家摩根、蒲豐和皮爾遜進行了大量的拋擲均勻硬幣的試驗，試圖證明出現正反面的機會均等。實驗者n

nH

fn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005實踐證明：當試驗次數n增大時，隨機事件A的頻率fn(A)逐漸趨向一個穩定值。這是隨機現象固有的性質，即頻率的穩定性，也就是我們所說的隨機現象的統計規律性。二、概率從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發生的可能性?P（A）應具有何種性質？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現6點的概率為多少？出現單數點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？1、概率的統計定義設隨機事件A在n次重復試驗中發生的次數為nA，若當試驗次數n很大時，頻率nA/n穩定地在某一數值p的附近擺動，且隨著試驗次數n的增加，其擺動的幅度越來越小，則稱數p為隨機事件A的概率，記為P(A)=p。由定義，顯然有0≤P(A)≤1,P(S)=1，P(φ)=0。設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一個事件A，賦予一個實數P(A)與之對應，如果集合函數P(·)具有如下性質：①非負性：對任意一個事件A，均有P(A)≥0；②規范性：P(S)=1；③可列可加性：若A1，A2，…，An，…是兩兩互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…則稱P(A)為事件A的概率。2、概率的公理化定義（P.9）3、概率的性質(P.10-12)①不可能事件的概率為零，即P(φ)=0；②概率具有有限可加性，即若事件A1，A2，…，An兩兩互不相容，則必有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)③設A，B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)特別地，若A

B，則AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)≥P(B)，此性質稱為單調不減性。④互補性

對任一事件A，有⑤加法公式

對任意兩個事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-

P(AB)可推廣(P.13)。

⑥可分性對任意兩事件A，B，有

例1.5某人外出旅游兩天，據天氣預報，第一天降水概率為0.6，第二天為0.3，兩天都降水的概率為0.1，試求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨”的概率P(D)，(4)“兩天都不下雨”的概率P(E)，(5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。解

設Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由題意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1A2)=0.1(1)且可得（2）（3）=0.6+0.3-0.1=0.8（4）（5）1.3等可能概型（古典概型）一、古典概型的定義(p.12)設隨機實驗E滿足下列條件1.有限性：試驗的樣本空間只有有限個樣本點，即S＝{e1,e

2,…,en};2.等可能性：每個樣本點的發生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=…=P(en)。則稱此試驗E為古典概型，也叫等可能概型。設事件A中所含樣本點個數為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數，則有P(A)具有如下性質：(1)0

P(A)

1；(2)P(S)＝1；P(

)=0；(3)AB＝

，則P(A∪B

)＝P(A)＋P(B)。古典概型中的概率(P12-13)：解設A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩，T表示某個孩子是女孩。N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1.6有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?例1.7在盒子里有10個相同的球，分別標上號碼1，2，…，10。從中任取一球，求此球的號碼為偶數的概率。解設m表示所取的球的號碼為m(m=1,2,…,10)，則試驗的樣本空間為S={1,2,…,10}，因此基本事件總數n=10。又設A表示“所取的球號碼為偶數”這一事件，則A={2,4,6,8,10}，所以A中含有k=5個樣本點，故乘法公式設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復習：排列與組合的基本概念加法公式設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。有重復排列從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.無重復排列從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1組合從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.二、古典概型的基本類型舉例古典概率的計算關鍵在于計算基本事件總數和所求事件包含的基本事件數。由于樣本空間的設計可由各種不同的方法，因此古典概率的計算就變得五花八門、紛繁多樣。但可歸納為如下幾種基本類型。1、抽球問題例1.8設盒中有3個白球，2個紅球，現從盒中任抽2個球，求取到一紅球一白球的概率。解設A——取到一紅球一白球答:取到一紅一白的概率為3/5。一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是例1.9某箱中裝有m+n個球，其中m個白球，n個黑球。

(1)從中任意抽取r+s個球，試求所取的球中恰好有r個白球和s個黑球的概率；

解

試驗E：從m+n球中取出r+s個，每r+s個球構成E的一個基本事件，不同的基本事件總數為設事件A：“所取的球中恰好有r個白球和s個黑球”，總共有多少個基本事件呢？所以，事件A發生的概率為(2)從中任意接連取出k+1(k+1≤m+n)個球，如果每一個球取出后不還原，試求最后取出的球是白球的概率。解試驗E：從m+n球中接連地不放回地取出k+1個球每k+1個排好的球構成E的一個基本事件，不同的基本事件總數為設事件B：“第k+1個取出的球是白球”，由于第k+1個球是白球，可先從m個白球中取一個留下來作為第k+1個球，一共有其余k個球可以是余下的m+n-1個球中任意k個球的排列，總數為種保留下來的取法，事件B所包含的基本事件總數為所以最后所取的球是白球的概率為注：P(B)與k無關，即不論是第幾次抽取，抽到白球的概率均為在實際中，有許多問題的結構形式與抽球問題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機地抽取若干個或不放回地抽若干次，每次抽一個，求“被抽出的若干個事物滿足一定要求”的概率。如產品的檢驗、疾病的抽查、農作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。2、分球入盒問題解設A：每盒恰有一球，B：空一盒例1.10將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？一般地，把n個球隨機地分配到N個盒子中去(n

N)，則每盒至多有一球的概率是：例1.11設有n個顏色互不相同的球，每個球都以概率1/N落在N(n≤N)個盒子中的每一個盒子里，且每個盒子能容納的球數是沒有限制的，試求下列事件的概率：

A={某指定的一個盒子中沒有球}

B={某指定的n個盒子中各有一個球}

C={恰有n個盒子中各有一個球}

D={某指定的一個盒子中恰有m個球}(m≤n)解把n個球隨機地分配到N個盒子中去(n≤N),總共有Nn種放法。即基本事件總數為Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n個球中的每一個球可以并且只可以放入其余的N-1個盒子中。總共有(N–1)n種放法。因此事件B：指定的n個盒子中，每個盒子中各放一球，共有n!種放法，因此事件C：恰有n個盒子，其中各有一球，即N個盒子中任選出n個，選取的種數為CNn在這n個盒子中各分配一個球，n個盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點總數為事件D：指定的盒子中，恰好有m個球，這m個球可從n個球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余n-m個球可以任意分配到其余的N-1個盒子中去，共有(N-1)n-m種，所以事件D所包含的樣本點總數為Cnm·(N-1)n-m某班級有n

個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?分球入盒問題，或稱球在盒中的分布問題。有些實際問題可以歸結為分球入盒問題，只是須分清問題中的“球”與“盒”，不可弄錯。(1)生日問題：n個人的生日的可能情況，相當于n個球放入N=365個盒子中的可能情況(設一年365天)；(2)旅客下車問題(電梯問題)：一列火車中有n名旅客，它在N個站上都停車，旅客下車的各種可能場合，相當于n個球分到N個盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配問題：n個人被分配到N個房間中；(4)印刷錯誤問題：n個印刷錯誤在一本具有N頁書的一切可能的分布，錯誤

球，頁

盒子。3.分組問題例1.12

30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解

設A：每組有一名運動員；B：3名運動員集中在一組一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個球(i=1,…,m)，共有分法：4.隨機取數問題例1.13從1到200這200個自然數中任取一個,(1)求取到的數能被6整除的概率；(2)求取到的數能被8整除的概率；(3)求取到的數既能被6整除也能被8整除的概率。解N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為：33/200,1/8,1/25

袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人取得紅球的概率是多少？第二個人取得紅球的概率是多少？?1.4條件概率若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率稱為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率，簡稱為B對A的條件概率，記作P(B|A)。若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？一、條件概率例1.14設袋中有3個白球，2個紅球，現從袋中任意抽取兩次，每次取一個，取后不放回。(1)已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率；(2)求第二次取到紅球的概率；(3)求兩次均取到紅球的概率。解

設A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球S=ABA——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點，AB含有nAB個樣本點，則稱為事件A發生的條件下事件B發生的條件概率(p.20)定義設A、B是S中的兩個事件，P(A)>0，則?“條件概率”是“概率”嗎？何時P(A|B)=P(A)?何時P(A|B)>P(A)?何時P(A|B)<P(A)?概率定義

設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一個事件A，賦予一個實數P(A)與之對應，如果集合函數P(·)具有如下性質：①非負性：對任意一個事件A，均有P(A)≥0；②規范性：P(S)=1；③可列可加性：若A1，A2，…，An，…是兩兩互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有

P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…

則稱P(A)為事件A的概率。可以驗證，條件概率P(·|A)符合概率所需滿足的三條基本性質：①非負性：對任意一個事件B，均有0≤P(B|A)≤1；②規范性：P(S|A)=1；③可列可加性：若B1，B2，…，An，…兩兩互不相容，則有條件概率也滿足概率的基本性質（P.21)條件概率的一般計算方法：(1)根據A發生以后的情況直接計算A發生的條件下，B發生的條件概率。“縮減樣本空間”(2)先計算P(A)，P(AB)，再用公式例1.15

一盒中混有100只新、舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設A--從盒中隨機取到一只紅球。

B--從盒中隨機取到一只新球。AB例1.16(P.22/例1)設某人從一副撲克中(52張)任取13張，設A為“至少有一張紅桃”，B為“恰有2張紅桃”，C為“恰有5張方塊”，求條件概率P(B|A)，P(B|C)解

例1.17某種動物出生后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現年為20歲的這種動物活到25歲的概率。解設A表示事件“活到20歲以上”，B表示事件“活到25歲以上”，顯然二、概率的乘法公式(p.23)設A、B、C為隨機事件，P(A)>0，則有乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)當P(AB)>0時，上式還可推廣到三個事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)

一般地，n個隨機事件A1,A2,…,An，且

P(A1A2…An-1)>0,有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1…An－1)例1.18甲、乙、丙三人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設被抽的10個試題中有4個難題簽，按甲、乙、丙次序抽簽，試求甲抽到難題簽，甲和乙都抽到難題簽，甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽，甲、乙、丙都抽到難題簽的概率。解設A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難題簽的事件返回例1.19

盒中有3個紅球，2個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。（類似P.24例4）解設Ai為第i次取球時取到白球，則三、全概率公式與貝葉斯公式在概率論中，我們經常利用已知的簡單事件的概率，推算出未知的復雜事件的概率。為此，常須把一個復雜事件分解為若干個互不相容的簡單事件的和，再由簡單事件的概率求得最后結果。如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到難題簽的事件作為上述的復雜事件，則可用分解的方法計算如下：例1.18甲抽到難簽的概率例1.18乙抽到難簽的概率，注意到丙抽到難簽的概率，注意到可將此類問題推廣到一般情況。設S是試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn是試驗E的一組事件，若B1,B2,…,Bn滿足如下兩個條件：（1）B1∪B2∪…∪Bn=S，（2）B1,B2,…,Bn兩兩互不相容則稱事件組B1,B2,…,Bn組成樣本空間的一個劃分；若是樣本空間的一個劃分，則在每次試驗中，事件B1,B2,…,Bn必有且僅有一個發生。1、樣本空間的劃分(P.24/定義1.3)B1B2……………BnA定理1.1設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件。設事件組B1,B2,…,Bn組成樣本空間S的一個劃分，且設P(Bk)>0,(k=1,2,…n),則此公式稱為全概率公式。2、全概率公式(P.24)例1.20市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產品的次品率。B解設B：買到一件次品；A1：買到一件甲廠的產品；A2：買到一件乙廠的產品；A3：買到一件丙廠的產品。例1.21某工廠生產的產品以100件為一批，假定每一批產品中的次品最多不超過4件，且具有如下的概率：一批產品中的次品數0 1234概率0.10.20.40.20.1現進行抽樣檢驗，從每批中隨機抽取10件來檢驗，若發現其中有次品，則認為該批產品不合格。求一批產品通過檢驗的概率。解設A表示事件“一批產品通過檢驗”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一批產品含有i件次品”，則B0,B1,B2,B3,B4組成樣本空間的一個劃分，返回例1.21的結果提供給人們這樣的信息，即若工廠生產了1000批產品，則可以通過檢驗，以合格品出產的約有814批，而作為合格品出售的產品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顧客而言，希望所買的產品中含次品少的概率要大，即概率P(Bi|A)(i=0,1,2,3,4)中最大的一個所對應i的越小越好，這就是下面討論的另一個重要公式。3、貝葉斯公式(Bayes)

定理1.2設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件。事件組B1,B2,…,Bn組成樣本空間S的一個劃分，且P(Bk)>0,(k=1,2,…n),及P(A)>0，則此式稱為Bayes公式。

例1.21中，顧客買到的一批合格品中，含次品數為0的概率是多少？類似可以計算顧客買到的一批合格品中，含次品數為1、2、3、4件的概率分別約為0.221、0.398、0.179、0.080。例1.22有甲乙兩個袋子，甲袋中有2個白球，1個紅球，乙袋中有2個紅球，1個白球。這6個球手感上不可區別。今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解設A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球。

甲乙思考例1.22中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答例1.23設某工廠甲、乙、丙三個車間生產同一產品，產量依次占全廠的45%，35%，20%。且各車間的次品率依次為4%，2%，5%。現從待出廠的產品中抽取1個產品，問(1)該產品是次品的概率，(2)該產品是由哪個車間生產的可能性最大。解設A表示產品為次品的事件，B1,B2,B3分別表示產品是甲、乙、丙車間生產的事件，則P(B1)=45%，P(B2)=35%，P(B3)=20%，且P(A|B1)=4%，P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5%(1)P(A)=

P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=45%×4%+35%×2%+20%×5%=0.035(2)若一病人高燒到40℃，醫生要確定他患有何種疾病，則必須考慮病人可能發生的疾病B1,B2,…,Bn。這里假定一個病人不會同時得幾種病，即B1,B2,…,Bn互不相容，醫生可以憑以往的經驗估計出發病率P(Bi)，這通常稱為先驗概率。進一步要考慮的是一個人高燒到40℃時，得Bi這種病的可能性，即P(Bi|A)的大小，它可由Bayes公式計算得到。這個概率表示在獲得新的信息(即知病人高燒40℃)后，病人得B1,B2,…,Bn這些疾病的可能性的大小，這通常稱為后驗概率。有了后驗概率，就為醫生的診斷提供了重要依據。若我們把A視為觀察的“結果”，把B1,B2,…,Bn理解為“原因”，則Bayes公式反映了“因果”的概率規律，并作出了“由果朔因”的推斷。例1.24(P.26例6）根據以往的臨床記錄，某種診斷是否患有癌癥的檢查有如下效果。若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被檢查者確實患有癌癥”，則有現對一大批人進行癌癥普查，設被查的人確實患有癌癥的概率是P(C)=0.005，試求當一個被檢查者其檢驗結果為陽性時，那么他確實患癌癥的條件概率是多少？即求P(C|A)。解本例中P(C)=0.005就是先驗概率，而P(C|A)=0.087為后驗概率。可見比先驗概率提高了近16.4倍。雖然診斷的可靠性P(A|C)較高，但是確診(即被檢查診斷患有癌癥者確實有癌癥)的可能性很小，所以還必須提高診斷的準確率。例1.25

數字通訊過程中，信源發射0、1兩種狀態信號，其中發0的概率為0.55，發1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”。現接收端接收到一個“1”的信號。問發端發的是0的概率是多少?)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解設A---發射端發射0，B---接收端接收到一個“1”的信號。0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)P(A|B)=條件概率條件概率小結縮減樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式例1.26袋中有a只紅球，b只白球b≠0，現從此袋中取兩次球，每次各取一只球，分有放回和無放回兩種情況，記A表示事件“第一次所取的球是紅色的球”，B表示事件“第二次所取的球是紅色的球”。求第一次取到是紅球的概率；第二次取到紅球的概率；在第一次取到紅球的條件下，第二次仍取到紅球的概率。解（1）有放回（2）無放回1.5事件的獨立性返回設A、B是隨機試驗E的兩個事件，若P(A)>0，則可定義P(B|A)，即A發生條件下的B發生的概率。一般地，P(B)≠P(B|A)，即事件A發生對事件B發生的概率是有影響的。如例1.26（2）中而且此時在特殊情況下，一個事件的發生對另一個事件發生的概率沒有影響，如例1.26(1)中而且此時例1.26定義（P.28)

設A、B是兩個事件，若滿足等式P(AB)＝P(A)P(B)則稱事件A與事件B是相互獨立的事件。

由定義可知，必然事件S和不可能事件φ與任何事件都是相互獨立的。性質

以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(3)事件相互獨立；、B相互獨立；(4)事件相互獨立。(2)事件A、定理1.3(P.28)設A，B是兩事件，且P(A)>0，則A，B相互獨立的充分必要條件是P(B|A)=P(B)即A的發生與否與B的發生概率無關。獨立性的概念可推廣到多個事件定義(p28)

若三個事件A、B、C同時滿足下面四個等式：則稱事件A、B、C相互獨立。（*）式成立，則稱事件A、B、C兩兩相互獨立。注意：（*）不能推出（**），（**）也不能推出（*）。兩式必須同時成立，才能稱A、B、C相互獨立。由定義可知：A、B、C相互獨立必有A、B、C兩兩獨立，反之不真。一般地，設A1，A2，…，An是n個事件，若下面個等式同時成立：則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立。……….事件獨立性的應用舉例1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨立,則2、乘法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨立,則

例1.27

甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9與0.8，求在一次射擊中(每人各射一次)目標被擊中的概率。解設A，B分別表示甲、乙射中目標的事件，C表示目標被擊中的事件，則P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98另解例1.28設某種高射炮每次擊中飛機的概率為0.2，問至少需要多少這種高炮同時獨立發射(每門射一次)，才能使擊中飛機的概率達到95%以上。解設所需高炮為n門，A表示擊中飛機的事件，

Ai(i=1,2,…,n)表示第i門高炮擊中飛機的事件，則由題意即故至少需14門高炮才能有95%以上把握擊中飛機。3、在可靠性理論上的應用如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。設A---L至R為通路，Ai---第i個繼電器通,i=1,2,…5由全概率公式

關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象，而隨機變量則是一種動態的觀點，一如數學分析中的常量與變量的區分那樣．變量概念是高等數學有別于初等數學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量2.1隨機變量的概念定義2.1(p.35)設E是一個隨機試驗，S={e}是試驗E的樣本空間，如果對于S中的每一個樣本點e，有一實數X(e)與之對應，這個定義在S上的實值函數X(e)就稱為隨機變量。由定義可知，隨機變量X(e)是以樣本空間S為定義域的一個單值實值函數。有關隨機變量定義的幾點說明：(1)隨機變量X不是自變量的函數而是樣本點e的函數，常用大寫字母X、Y、Z或小寫希臘字母

、

、

等表示。(2)隨機變量X隨著試驗結果而取不同的值，因而在試驗結束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預知它取什么值，對任意實數區間(a,b)，“a<X<b”的概率是確定的；(3)隨機變量X(e)的值域即為其一切可能取值的全體構成的集合；(4)引入隨機變量后，就可以用隨機變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機變量的討論中。例2.1一批產品中任意抽取20件作質量檢驗，作為檢驗結果的合格品的件數用X表示，則X是隨機變量。X的一切可能取值為0，1，2，…，20{X=0}表示事件“抽檢的20件產品中沒有合格品”；{X=1}表示事件“抽檢的20件產品中恰有1件合格品”；

……{X=k}表示事件“抽檢的20件產品中恰有k件合格品”。例2.2將一顆骰子投擲兩次，觀察所的點數，以X表示所得點數之和，則X的可能取值為2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。隨機變量X的取各個可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……P(X=2)=1/36……………P(X=3)=2/36……P(X=4)=3/36…P(X=12)=1/36例2.3一正整數n等可能地取1,2,3,…,15共十五個值，且設X=X(n)是除得盡n的正整數的個數，則X是一個隨機變量，且有下表：即可得X取各個可能值的概率為：n123456789101112131415X(n)122324243426244X12346P1/156/152/155/151/15例2.4一個地鐵車站，每隔5分鐘有一列地鐵通過該站。一位乘客不知列車通過該站的時間，他在一個任意時刻到達該站，則他候車的時間X是一個隨機變量，而且X的取值范圍是[0，5]?請舉幾個實際中隨機變量的例子練習

引入適當的隨機變量描述下列事件：①將3個球隨機地放入三個格子中，事件A={有1個空格}，事件B={有2個空格}，事件C={全有球}。②進行5次試驗，事件D={試驗成功一次}，事件F={試驗至少成功一次}，事件G={至多成功3次}隨機變量的分類：隨機變量2.2離散型隨機變量

一、

離散型隨機變量及其分布律1、離散型隨機變量的概念若某個隨機變量的所有可能取值是有限多個或可列無限多個，則稱這個隨機變量為離散型隨機變量。討論隨機變量的目的是要研究其統計規律性，要知道離散型隨機變量X的統計規律必須且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個可能值的概率。2、分布律(P.40)設離散型隨機變量X，其所有可能取值為x1,x2,…,xk,…,且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pk,…,即則稱P(X=xk)=pk(k=1,2,…)為隨機變量X的概率分布律，簡稱分布律。分布律可用表格形式表示為：P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)而且滿足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…例2.5設袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。現從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數X為k的概率。解X=k的所有可能取值為0，1，2X是一個隨機變量解設Ai

第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2，…，A5相互獨立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數，求X的分布律。二、幾個常用的離散型隨機變量的概率分布律1、(0-1)分布(p.37)

若隨機變量X的分布律為：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0<p<1)則稱X服從以p為參數的0-1分布，記為X~B(1,p)。0-1分布的分布律也可寫成X10Pp1-p即隨機變量只可能取0，1兩個值，且取1的概率為p，取0的概率為1-p(0<p<1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。若某個隨機試驗的結果只有兩個，如產品是否合格，試驗是否成功，擲硬幣是否出現正面等等，它們的樣本空間為S={e1,e2},我們總能定義一個服從0-1分布的隨機變量即它們都可用0-1分布來描述，只不過對不同的問題參數p的值不同而已。2、二項分布(1)貝努里(Bernoulli)試驗模型。

設隨機試驗滿足：1°在相同條件下進行n次重復試驗；2°每次試驗只有兩種可能結果，A發生或A不發生；3°在每次試驗中，A發生的概率均一樣，即P(A)=p；4°各次試驗是相互獨立的，則稱這種試驗為貝努里概型或n重貝努里試驗。在n重貝努里試驗中，人們感興趣的是事件A發生的次數。以隨機變量X表示n次試驗中A發生的次數，X可能取值為0,1,2,3,…,n。設每次試驗中A發生的概率為p，發生的概率為1-p=q。(X=k)表示事件“n重貝努里試驗中A出現k次”，即這里每一項表示k次試驗中出現A，而另外n-k次試驗中出現，且每一項兩兩互不相容，一共有Cnk項。由4°獨立性可知每一項的概率均為pk(1-p)1-k，因此此為n重貝努里試驗中A出現k次的概率計算公式，記為（2）二項分布定義（P.40）若隨機變量X具有概率分布律其中p+q=1，則稱隨機變量X服從以n，p為參數的二項分布，記為X~B(n,p)（或稱貝努里分布）。可以證明：正好是二項式(p+q)n展開式的一般項，故稱二項分布。特別地，當n=1時P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即為0-1分布。例2.7(P.40例1)設有一大批產品，其次品率為0.002。今從這批產品中隨機地抽查100件，試求所得次品件數的概率分布律。解（視作放回抽樣檢驗）設(X=k)表示事件“100件產品中有k件次品”，則X可能取值為0，1，2，…，100。本題可視作100重貝努里試驗中恰有k次發生(k件次品)，X~B(100,0.002)。因此，所求分布律為例2.8(P.40例2)某廠長有7個顧問，假定每個顧問貢獻正確意見的概率室0.6，且設顧問與顧問之間是否貢獻正確意見相互獨立。現對某事可行與否個別征求各顧問的意見，并按多數顧問的意見作出決策，試求作出正確決策的概率。解設X=k表示事件“7個顧問中貢獻正確意見的人數”，則X可能取值為0，1，2，…，7。（視作7重貝努里實驗中恰有k次發生，k個顧問貢獻出正確意見）,X~B(7,0.6)。因此X的分布律為所求概率為例2.9從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3。(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數,求X的分布律；(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解

(1)由題意，X~B(6,1/3)，故X的分布律為：例2.10某人獨立地射擊，設每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標兩次的概率。解每次射擊看成一次試驗，設擊中次數為X，則X~B(400,0.02)，X的分布律為所求概率為

泊松(Poisson)定理設

>0，n是正整數，若npn=

，則對任一固定的非負整數k，有

即當隨機變量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小時，記=np，則例2.10可用泊松定理計算。取

=np=400×0.02＝8,

近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

3、泊松(Poisson)分布

若隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…，且其中

>0是常數，則稱X服從參數為

的泊松分布，記為X~P(

)。泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數=np的泊松分布。例2.11某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，每月銷售量服從參數=5的泊松分布。問在月初進貨時，要庫存多少件此種商品，才能以0.999的概率充分滿足顧客的需要？解用X表示每月銷量，則X~P(

)=P(5)。由題意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即這里的計算通過查Poisson分布表(p.333-334)得到，=5

i=k+1=14時,i=k+1=13時,k+1=14，k=13即月初進貨庫存要13件。例2.12設某國每對夫婦的子女數X服從參數為

的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2。求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。 解由題意4、幾何分布

設隨機變量X的可能取值是1,2,3,…,且P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，…,其中0<p<1是參數，則稱隨機變量X服從參數p為的幾何分布。幾何分布背景：隨機試驗的可能結果只有2種，A與試驗進行到A發生為止的概率P(X=k)，即k次試驗，前k-1次失敗，第k次成功。例2.13進行獨立重復試驗，每次成功的概率為p，令X表示直到出現第m次成功為止所進行的試驗次數，求X的分布律。解

m=1時,m>1時，X的全部取值為：m,m+1,m+2,…P(X=m+1)=P(第m+1次試驗時成功，并且

在前m次試驗中成功了m-1次)2.3隨機變量的分布函數前一節介紹的離散型隨機變量，我們可用分布律來完整地描述。而對于非離散型隨機變量，由于其取值不可能一個一個列舉出來，而且它們取某個值的概率可能是零。例如：在測試燈泡的壽命時，可以認為壽命X的取值充滿了區間[0,+∞)，事件X=x0表示燈泡的壽命正好是x0,在實際中，即使測試數百萬只燈泡的壽命，可能也不會有一只的壽命正好是x0，也就是說，事件(X=x0)發生的頻率在零附近波動，自然可以認為P(X=x0)=0。由于許多隨機變量的概率分布情況不能以其取某個值的概率來表示，因此我們往往關心隨機變量X取值落在某區間(a,b]上的概率(a≤b)。由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此對任意x∈R，只要知道事件{X≤x}發生的概率，則X落在(a,b]的概率就立刻可得。因此我們用P(X≤x)來討論隨機變量X的概率分布情況。P(X≤x)：“隨機變量X取值不超過x的概率”。

定義(P.45)

設X是一隨機變量，X是任意實數，則實值函數F(x)＝P{X

x}，x∈(-∞，+∞)稱為隨機變量X的分布函數。有了分布函數定義，任意x1，x2∈R，x1＜x2，隨機變量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函數來計算：P{x1<X

x2}＝P{X

x2}－P{X

x1}＝F(x2)－F(x1).在這個意義上可以說，分布函數完整地描述了隨機變量的統計規律性，或者說，分布函數完整地表示了隨機變量的概率分布情況。一、分布函數的概念例2.14設一汽車在開往目的地的道路上需經過3盞信號燈。每盞信號燈以概率1/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(各信號燈工作相互獨立)。求X的分布律、分布函數以及概率解設p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則

P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：X0123P1/21/41/81/8X的分布函數：所求概率為一般地，X是離散型隨機變量，其概率分布律為P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)則X的分布函數F(x)為

F(x)的圖像：非降，右連續，且在x1，x2，…，xk，…處跳躍。二、分布函數的性質(P46)

1、單調不減性：若x1<x2,

則F(x1)

F(x2)；

2、歸一性：對任意實數x，0

F(x)

1，且

3、右連續性：對任意實數x，反之，具有上述三個性質的實函數，必是某個隨機變量的分布函數。故該三個性質是分布函數的充分必要性質。事件(X=c)并非不可能事件，它是會發生的，也就是說零概率事件也是有可能發生的。如X為被測燈泡的壽命。若燈泡壽命都在1000小時以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定會發生的，否則不會出現事件(X>1000)，所以

不可能事件的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件。同樣，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。例2.15

設隨機變量X具分布律如下表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數。例2.16

向[0,1]區間隨機拋一質點，以X表示質點坐標。假定質點落在[0,1]區間內任一子區間內的概率與區間長成正比，求X的分布函數。解

F(x)=P(X≤x)

當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1用分布函數描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab2.4連續型隨機變量1、概念(p46)設F(X)是隨機變量X的分布函數，若存在非負可積函數f(x)，(-

<x<+

)，使對一切實數x，均有則稱X為連續型隨機變量，且稱f(x)為隨機變量X的概率密度函數，簡稱概率密度或密度函數。常記為X～f(x),(-

<x<+

)一、連續型隨機變量及其概率密度函數X──連續型隨機變量，則X的分布函數必是連續函數。

(1)

非負性

f(x)0，(-<x<+)；2、密度函數的性質(p47)(2)(3)歸一性事實上(4)若f(x)在x0處連續，則有(5)f(x)在x0處連續，且Δh充分小時,有

f(x)稱為概率密度的原由。對任意實數c，若X～f(x)，(-<x<+)，則P(X=c)=0連續型隨機變量X取任一固定值的概率為0證明令即得P(X=c)=0。因此，對連續型隨機變量X，有密度函數的幾何意義為密度函數曲線位于Ox軸上方。即y=f(x)，y=a，y=b，x軸所圍成的曲邊梯形面積。例2.17設求:(1)常數K；(2)X的分布函數；(3)解(1)由性質得解之得(2)X的分布函數為(3)練習

已知隨機變量X的概率密度為(1)求X的分布函數F(x),(2)求P{X

(0.5,1.5)}二、幾個常用的連續型隨機變量的分布若隨機變量X具有概率密度函數1.均勻分布(p.50)則稱X在[a,b]上服從均勻分布，記作X~U[a,b]。對任意實數c,d

(a≤c≤d≤b)，l=d-c，都有若X~U[a,b]，則X具有下述等可能性：

X落在區間[a,b]中任意長度相同的子區間里的概率是相同的。即X落在子區間里的概率只依賴于子區間的長度，而與子區間的位置無關。X的分布函數f(x),F(x)的圖像分別為O

ab

xf(x)O

ab

xF(x)1例2.18設隨機變量X~U[1,6]，求一元兩次方程t2+Xt+1=0有實根的概率。解當Δ=X2-4≥0時，方程有實根。所求概率為而X的密度函數為另解例2.19長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發車，設乘客不知發車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率。1545解設A—乘客候車時間超過10分鐘，X—乘客于某時X分鐘到達，則X

U(0,60)正態分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統計中占有特別重要的地位。2、正態分布ABA，B間真實距離為

，測量值為X。X的概率密度應該是什么形態？則稱X服從參數為

,

2的正態分布,記為X～N(

,

2)。若隨機變量X的概率密度函數為（其中

，

為實數，

>0）f(x)的圖像為

(1)

單峰對稱密度曲線關于直線x=

對稱，即f(

+x)=f(

-x)，x∈(-∞,+∞)正態分布密度函數f(x)的性質(p51)(2)x=時，f(x)取得最大值f(

)=；

(3)x=

±σ處有拐點；(4)

的大小直接影響概率的分布，

越大，曲線越平坦，

越小，曲線越陡峭。（如圖）正態分布也稱為高斯(Gauss)分布(5)曲線f(x)以x軸為漸近線。易知且事實上，令正態分布隨機變量X的分布函數為其圖像為OμxF(x)1標準正態分布(p53)

當參數

＝0，

2＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布，記作X~N(0,1)。分布函數表示為其密度函數表示為Ox1Φ(x)標準正態分布的密度函數與分布函數的圖像分別為可得對于標準正態分布的分布函數Φ(x)的函數值，書后附有標準正態分布表(P.298)。表中給出了x>0的函數值。當x<0時，可利用Φ(-x)=1-Φ(x)計算得到。例2.20已知X~N(0,1)，求P(-∞＜X≤-3)，P(|X|＜3)解P(-∞＜X≤-3)=Φ(-3)=1-Φ(3)標準正態分布表P(|X|＜3)=P(-3＜X＜3)=Φ(3)-Φ(-3)=Φ(3)-[1-Φ(3)]=2Φ(3)-1=2×0.9987-1=0.9974=1-0.9987=0.0013一般地,X~N(0,1),P(X≤x)=Φ(x),P(|X|＜x)=2Φ(x)-1對于一般正態分布的隨機變量X～N(

,

2)，可通過將其分布函數標準化的方法來計算其分布函數值(即概率)。設隨機變量X～N(

,

2)，其分布函數為FX(x)，則有證明一般有例2.21已知X~N(