2023-2024學年山東省青島市市南區八年級第一學期期中數學試卷一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．下列圖各組數中，是勾股數的是（）A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，152．下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13 C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．如圖，“趙爽弦圖”是用四個相同的直角三角形與一個小正方形無縫隙地鋪成一個大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝244．如圖，數軸上點A所表示的實數是（）A． B． C． D．25．下列計算正確的是（）A． B． C． D．6．點P（a﹣2，a+1）在x軸上，則a的值為（）A．2 B．0 C．1 D．﹣17．一條公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人騎自行車分別從A村、B村同時出發前往C村，甲、乙之間的距離s（km）與騎行時間t（h）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①A，B兩村相距10km；②甲出發2h后到達C村；③甲每小時比乙多騎行8km；④相遇后，乙又騎行了30min或55min時兩人相距4km．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．若直線y＝kx+b經過一、二、四象限，則直線y＝bx﹣k的圖象只能是圖中的（）A． B． C． D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）9．已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和4cm，則第三邊長為．10．有一個數值轉換器，原理如圖所示，當輸入x的值為16時，輸出y的值是．11．實數a，b在數軸上的位置如圖所示，則|b﹣a|﹣|a+b|＝．12．已知y＝（m+3）x+3是一次函數，則m＝．13．如圖，在桌面上的長方體ABCD﹣EFGH中，長AB為8米，寬BC為6米，高BF為4米，點M在棱HG上，且HM＝3MG．一只螞蟻從A點出發沿長方體的表面爬到M點，則它爬行的最短路程為米．14．如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，…都在x軸上，點B1，B2，B3，…都在直線y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分別是以A1，A2，A3，…，An，…為直角頂點的等腰直角三角形，則△B10A10A11的面積是．三．解答題（共9小題，滿分78分）15．（16分）計算（1）××；（2）×（3）（）（4）﹣14﹣．16．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是；（2）若點D與點C關于y軸對稱，則點D的坐標為；（3）已知P為x軸上一點，若△ABP的面積為1，求點P的坐標．17．如圖，點D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2．（1）求BC的長；（2）求圖中陰影部分的面積．18．已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算術平方根是5，c是9的算術平方根．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．19．甲、乙兩家體育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定價20元，乒乓球拍每副定價100元．現兩家商店都搞促銷活動，甲店每買一副球拍贈兩盒乒乓球，乙店按八折優惠．某俱樂部需購球拍4副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）若在甲店購買付款y甲（元），在乙店購買付款y乙（元），分別寫出：y甲，y乙與x的函數關系式．（2）若該俱樂部需要購買乒乓球30盒，在哪家商店購買合算？20．甲、乙兩車早上從A城車站出發勻速前往B城車站，在整個行程中，兩車離開A城的距離s與時間t的對應關系如圖所示．（1）A，B兩城之間距離是多少？（2）求甲、乙兩車的速度分別是多少？（3）乙車出發多長時間追上甲車？（4）從乙車出發后到甲車到達B城車站這一時間段，在何時間點兩車相距40km？21．小麗根據學習“數與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是小麗的探究過程，請補充完整：（1）具體運算，發現規律，特例1：特例2：特例3：＝特例4：．（填寫一個符合上述運算特征的例子）；（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：；（3）證明你的猜想；（4）應用運算規律化簡：×＝．22．（1）如圖1，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．現有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G處，求它爬行的最短路程；（3）若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？23．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝kx+b與x軸交于點B（﹣5，0），與y軸交于點A，直線y＝﹣x+4過點A，與x軸交于點C，點P是x軸上方一個動點．（1）求直線AB的函數表達式；（2）若點P在線段AB上，且S△APC＝S△AOB，求點P的坐標；（3）當S△PBC＝S△AOB時，動點M從點B出發，先運動到點P，再從點P運動到點C后停止運動．點M的運動速度始終為每秒1個單位長度，運動的總時間為t（秒），請直接寫出t的最小值．四．附加題（共2小題，滿分0分）24．我們已經學過完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非負數都可以看作是一個數的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：例：求3﹣2的算術平方根．解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．你看明白了嗎？請根據上面的方法化簡：（1）（2）（3）．25．在如圖的平面直角坐標系中，直線n過點A（0，﹣2），且與直線l交于點B（3，2），直線l與y軸交于點C．（1）求直線n的函數表達式；（2）若△ABC的面積為9，求點C的坐標；（3）若△ABC是等腰三角形，求直線l的函數表達式．

參考答案一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．下列圖各組數中，是勾股數的是（）A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15【分析】根據勾股數的定義判斷即可．滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．解：A、∵62+82≠122，∴6，8，812不是一組勾股數，不符合題意；B、∵0.6，0.8不是正整數，∴0.6，0.8，1不是一組勾股數，不符合題意；C、∵82+152＝172≠162，∴8，15，17不是一組勾股數，不符合題意；D、∵92+122＝152，∴9，12，15是一組勾股數，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是勾股數，熟知滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數是解題的關鍵．2．下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13 C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根據三角形內角和定理可分析出A、D的正誤；根據勾股定理逆定理可分析出B、C的正誤．解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；B、∵52+122＝132，∴能構成直角三角形，故此選項不符合題意；C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，∴b2＝a2+c2，∴能構成直角三角形，故此選項不符合題意；D、設∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，則5x°＝75°，△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．3．如圖，“趙爽弦圖”是用四個相同的直角三角形與一個小正方形無縫隙地鋪成一個大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根據勾股定理解答即可．解：根據題意可得：x2+y2＝25，故B錯誤，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D錯誤，∴（x﹣y）2＝1，故A錯誤，∴x2﹣y2＝7，故C正確；故選：C．【點評】本題考查勾股定理，解題的關鍵學會用整體恒等變形的思想，屬于中考常考題型．4．如圖，數軸上點A所表示的實數是（）A． B． C． D．2【分析】根據勾股定理，可得斜線的長，根據圓的性質，可得答案．解：由勾股定理，得斜線的為＝，由圓的性質得：點A表示的數為﹣1+，即﹣1．故選：B．【點評】本題考查了實數與數軸，利用勾股定理得出斜線的長是解題關鍵．5．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的加減運算法則以及二次根式的性質分別化簡，進而得出答案．解：A．4﹣3＝，故此選項不合題意；B．+無法計算，故此選項不合題意；C．＝2，故此選項符合題意；D．3+2無法計算，故此選項不合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算以及二次根式的性質與化簡，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．6．點P（a﹣2，a+1）在x軸上，則a的值為（）A．2 B．0 C．1 D．﹣1【分析】根據x軸上的點縱坐標為零可得a+1＝0，再解即可．解：∵點P（a﹣2，a+1）在x軸上，∴a+1＝0，解得：a＝﹣1，故選：D．【點評】此題主要考查了點的坐標，關鍵是掌握坐標軸上點的坐標特點．7．一條公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人騎自行車分別從A村、B村同時出發前往C村，甲、乙之間的距離s（km）與騎行時間t（h）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①A，B兩村相距10km；②甲出發2h后到達C村；③甲每小時比乙多騎行8km；④相遇后，乙又騎行了30min或55min時兩人相距4km．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根據圖象與縱軸的交點可得出A、B兩地的距離，而s＝0時，即為甲、乙相遇的時候，同理根據圖象的拐點情況解答即可．解：由圖象可知A村、B村相離10km，故①正確，當1.25h時，甲、乙相距為0km，故在此時相遇，說明甲的速度大于乙的速度，當2h時，甲到達C村，故②正確；v甲×1.25﹣v乙×1.25＝10，解得：v甲﹣v乙＝8，故甲的速度比乙的速度快8km/h，故③正確；當1.25≤t≤2時，函數圖象經過點（1.25，0）（2，6），設一次函數的解析式為s＝kt+b，代入得：，解得：，∴s＝8t﹣10當s＝4時，得4＝8t﹣10，解得t＝1.75h由1.75﹣1.25＝0.5h＝30（min），同理當2≤t≤2.5時，設函數解析式為s＝kt+b將點（2，6）（2.5，0）代入得：，解得：，∴s＝﹣12t+30當s＝4時，得4＝﹣12t+30，解得t＝，由﹣1.25＝h＝55min故相遇后，乙又騎行了30min或55min時兩人相距4km，故④正確．故選：D．【點評】此題考查一次函數的應用，滲透了函數與方程的思想，關鍵是讀懂圖象，根據圖象的數據進行解題．8．若直線y＝kx+b經過一、二、四象限，則直線y＝bx﹣k的圖象只能是圖中的（）A． B． C． D．【分析】由直線經過的象限結合四個選項中的圖象，即可得出結論．解：∵直線y＝kx+b經過一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣k＞0，∴選項B中圖象符合題意．故選：B．【點評】本題考查了一次函數圖象與系數的關系，牢記“k＜0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、四象限”是解題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）9．已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和4cm，則第三邊長為5cm或cm．【分析】設第三邊為xcm，再根據5cm是直角邊和斜邊兩種情況進行討論即可．解：設第三邊為xcm，當4cm是直角邊時，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得，32+42＝x2，解得：x＝5；若4cm是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得，32+x2＝42，解得x＝，故答案為：5cm或cm．【點評】本題考查的是勾股定理，在解答此類問題時要注意進行分類討論，不要漏解．10．有一個數值轉換器，原理如圖所示，當輸入x的值為16時，輸出y的值是．【分析】本題先求出16的算術平方根式4，再求出4的算術平方根式2，最后求出2的算術平方根是，即可求出y的值．解：∵16的算術平方根式4，4是有理數，又∵4的算術平方根式2，2是有理數，∴還需求2的算術平方根是，∵是無理數，∴y的值是．故答案為：．【點評】本題主要考查了數的算術平方根的計算方法和有理數、無理數的定義，解題時要注意數值如何轉換．11．實數a，b在數軸上的位置如圖所示，則|b﹣a|﹣|a+b|＝2b．【分析】根據實數a、b在數軸上的位置確定a與b之間的大小關系，再去絕對值符號即可．解：根據實數a、b在數軸上的位置可以確定a＜0＜b，|a|＞|b|∴b﹣a＞0，a+b＜0．∴|b﹣a|﹣|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b，故答案為：2b．【點評】本題考查數軸，絕對值的性質，整式的加減，熟練掌握這些知識點是解題關鍵．12．已知y＝（m+3）x+3是一次函數，則m＝3．【分析】根據一次函數的定義得出m+3≠0且m2﹣8＝1，求出不等式的解即可．解：∵y＝（m+3）x+3是一次函數，∴m+3≠0且m2﹣8＝1，解得：m＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了一次函數的定義，能根據一次函數的定義得出關于m的不等式是解此題的關鍵．13．如圖，在桌面上的長方體ABCD﹣EFGH中，長AB為8米，寬BC為6米，高BF為4米，點M在棱HG上，且HM＝3MG．一只螞蟻從A點出發沿長方體的表面爬到M點，則它爬行的最短路程為2米．【分析】畫出圖形，利用勾股定理求出AM的長即可．解：如圖1，AM＝＝＝2（米），如圖2，AM＝＝2（米）故它爬行的最短路程是2米．故答案為：2．【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應用，畫出圖形是解題關鍵．14．如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，…都在x軸上，點B1，B2，B3，…都在直線y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分別是以A1，A2，A3，…，An，…為直角頂點的等腰直角三角形，則△B10A10A11的面積是217．【分析】根據OA1＝1，可得點A1的坐標為（1，0），然后根據△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的長度，然后找出規律，求出點B10的坐標．結合等腰直角三角形的面積公式解答．解：∵OA1＝1，∴點A1的坐標為（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝1，B1A2＝，∵△B2B1A2為等腰直角三角形，∴A2A3＝2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），∴點B10的坐標是（29，29）．∴△B10A10A11的面積是：×29×29＝217．故答案為217．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會探究規律，利用規律解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．三．解答題（共9小題，滿分78分）15．（16分）計算（1）××；（2）×（3）（）（4）﹣14﹣．【分析】（1）利用根號外乘除，根號內乘除進行計算即可；（2）先算乘法，后算減法即可；（3）用括號里的每一項分別除以，再化簡合并即可；（4）先算乘除，后化簡合并同類二次根式即可．解：（1）原式＝（1×1÷3×）＝×＝；（2）原式＝﹣＝6﹣7＝﹣1；（3）原式＝﹣＝2﹣＝；（4）原式＝﹣2+2＝﹣2+2＝2﹣．【點評】此題主要考查了實數運算，關鍵是掌握二次根式的乘除和加減計算法則．16．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是4；（2）若點D與點C關于y軸對稱，則點D的坐標為（﹣4，3）；（3）已知P為x軸上一點，若△ABP的面積為1，求點P的坐標．【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；（2）利用關于y軸對稱點的性質得出答案；（3）利用三角形面積求法得出符合題意的答案．解：（1）如圖所示：△ABC的面積是：3×4﹣＝4；故答案為：4；（2）點D與點C關于y軸對稱，則點D的坐標為：（﹣4，3）；故答案為：（﹣4，3）；（3）∵P為x軸上一點，△ABP的面積為1，∴BP＝2，∴點P的橫坐標為：2+2＝4或2﹣2＝0，故P點坐標為：（4，0）或（0，0）．【點評】此題主要考查了三角形面積求法以及關于y軸對稱點的性質，正確得出對應點位置是解題關鍵．17．如圖，點D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2．（1）求BC的長；（2）求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，可以先求出BC的長；（2）根據勾股定理的逆定理可以判斷△ABC的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．解：（1）∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，∴BC＝＝＝2，（2）∵AB＝6，AC＝4，∴AC2+BC2＝42+（2）2＝16+20＝36＝62＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴S陰影＝S△ACB﹣S△BDC＝×4×2﹣×4×2＝4﹣4．故圖中陰影部分的面積為4﹣4．【點評】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解答本題的關鍵是求出BC的長．18．已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算術平方根是5，c是9的算術平方根．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．【分析】（1）根據立方根的概念和算術平方根的概念進行求解即可；（2）先代值計算，再根據平方根的定義進行求解即可．解：（1）∵43＝64，∴6a+34＝64，∴a＝5；∵52＝25，∴5a+b﹣2＝25，又∵a＝5，∴b＝2；∵32＝9，∴c＝3；（2）把：a＝5，b＝2，c＝3代入3a﹣b+c得：3×5﹣2+3＝16，∵（±4）2＝16，∴3a﹣b+c的平方根是：±4．【點評】本題考查平方根，算術平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個數x的平方是a，x叫做a的平方根；算術平方根：一個非負數x的平方是a，x叫做a的算術平方根；立方根：一個數x的立方是a，x叫做a的立方根，是解題的關鍵．19．甲、乙兩家體育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定價20元，乒乓球拍每副定價100元．現兩家商店都搞促銷活動，甲店每買一副球拍贈兩盒乒乓球，乙店按八折優惠．某俱樂部需購球拍4副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）若在甲店購買付款y甲（元），在乙店購買付款y乙（元），分別寫出：y甲，y乙與x的函數關系式．（2）若該俱樂部需要購買乒乓球30盒，在哪家商店購買合算？【分析】（1）根據題意和兩種優惠政策分別列出函數關系式即可；（2）根據（1）得出的關系式，再把30代入求出兩家花的錢數，然后進行比較即可得出答案．解：（1）在甲店購買需付款：y甲＝400+20（x﹣8）＝20x+240，在乙店購買需付款：y乙＝0.8（20x+4×100）＝16x+320；（2）當x＝30時，y甲＝20x+240＝20×30+240＝840（元），當x＝30時，y乙＝16x+320＝16×30+320＝800（元），∵840＞800，∴選乙家比較合算．【點評】此題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是理解兩家商店的優惠條件，能用代數式表示甲店的費用和乙店的費用．20．甲、乙兩車早上從A城車站出發勻速前往B城車站，在整個行程中，兩車離開A城的距離s與時間t的對應關系如圖所示．（1）A，B兩城之間距離是多少？（2）求甲、乙兩車的速度分別是多少？（3）乙車出發多長時間追上甲車？（4）從乙車出發后到甲車到達B城車站這一時間段，在何時間點兩車相距40km？【分析】（1）根據圖象即可得出結論；（2）根據圖象求甲、車兩車速度；（3）由題意列方程解決問題；（4）分兩車相遇前和相遇后以及乙到達B城三種情況進行討論即可．解：（1）由圖象可知A、B兩城之間距離是300千米；（2）由圖象可知，甲的速度＝＝60（千米/小時），乙的速度＝＝100（千米/小時），∴甲、乙兩車的速度分別是60千米/小時和100千米/小時；（3）設乙車出發x小時追上甲車，由題意：60（x+1）＝100x，解得：x＝1.5，∴乙車出發1.5小時追上甲車；（4）設乙車出發后到甲車到達B城車站這一段時間內，甲車與乙車相距40千米時甲車行駛了m小時，①當甲車在乙車前時，得：60m﹣100（m﹣1）＝40，解得：m＝1.5，此時是上午6：30；②當甲車在乙車后面時，100（m﹣1）﹣60m＝40，解得：m＝3.5，此時是上午8：30；③當乙車到達B城后，300﹣60m＝40，解得：m＝，此時是上午9：20．∴分別在上午6：30，8：30，9：20這三個時間點兩車相距40千米．【點評】本題考查一次函數的應用、行程問題等知識，解題的關鍵是學會利用函數解決實際問題，學會轉化的思想，把問題轉化為方程，屬于中考常考題型．21．小麗根據學習“數與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是小麗的探究過程，請補充完整：（1）具體運算，發現規律，特例1：特例2：特例3：＝特例4：．（填寫一個符合上述運算特征的例子）；（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：；（3）證明你的猜想；（4）應用運算規律化簡：×＝2023．．【分析】（1）根據所給的特例的形式進行求解即可；（2）分析所給的等式的形式進行總結即可；（3）對（2）的等式的左邊進行整理，即可求證；（4）利用（2）中的規律進行求解即可．解：（1）由題意得：，故答案為：；（2）∵例1：特例2：特例3：＝..．∴用含n的式子表示為：，故答案為：；（3）等式左邊＝＝＝（n+1）＝右邊，故猜想成立；（4）×＝2023×＝2023．故答案為：2023．【點評】本題主要考查二次根式混合運算，數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的式子總結出存在的規律．22．（1）如圖1，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．現有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G處，求它爬行的最短路程；（3）若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大長度即可．（2）將長方體展開，利用勾股定理解答即可；（3）將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．解：（1）由題意得：該長方體中能放入木棒的最大長度是：（cm）．（2）分三種情況可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，所以最短路程為cm；（3）∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝13（cm）．【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創造性思維能力．23．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝kx+b與x軸交于點B（﹣5，0），與y軸交于點A，直線y＝﹣x+4過點A，與x軸交于點C，點P是x軸上方一個動點．（1）求直線AB的函數表達式；（2）若點P在線段AB上，且S△APC＝S△AOB，求點P的坐標；（3）當S△PBC＝S△AOB時，動點M從點B出發，先運動到點P，再從點P運動到點C后停止運動．點M的運動速度始終為每秒1個單位長度，運動的總時間為t（秒），請直接寫出t的最小值．【分析】（1）先根據直線過點A，求出點A坐標，再利用待定系數法求直線AB的函數表達式即可；（2）設點P坐標為（p，p+4），先求出點C坐標，再求出△AOB的面積，表示出△APC的面積，根據S△APC＝S△AOB，列方程求解即可；（3）根據S△PBC＝S△AOB，點P是x軸上方的一個動點，可知點P在直線y＝上運動，作點B關于直線y＝的對稱點B′，連接CB′，交直線y＝于點P，連接BP，則BP+CP的最小值即為CB′的長，求出CB′的長度，進一步可得t的最小值．解：（1）∵點A在y軸上，直線過點A，∴點A坐標為（0，4），將點A（0，4）和點B（﹣5，0）代入直線y＝kx+b，得，解得，∴直線AB的函數表達式為；（2）設點P坐標為（p，p+4），令＝0，得x＝3，∴點C坐標為（3，0），∵點A（0，4），點B（﹣5，0），∴OA＝4，OB＝5，BC＝8，∴＝＝10，∵點P在線段AB上，∴S△APC＝S△ABC﹣S△BPC＝，∵S△APC＝S△AOB，∴＝10，解得p＝，∴點P坐標為（，）；（3）設點P縱坐標為Py，∵S△PBC＝S△AOB，點P是x軸上方的一個動點，∴點P與點A縱坐標相同，∴×8Py＝10，解得Py＝，作點B關于直線y＝的對稱點B′，連接CB′，交直線y＝于點P，連接BP，則BP+CP的最小值即為CB′的長，∵點B坐標為（﹣5，0），∴點B′坐標為（﹣5，5），∴CB′＝＝，∵點M的運動速度始終為每秒1個單位長度，∴÷1＝（s），∴t的最小值為．【點評】本題考查了一次函數的綜合題，涉及待定系數法求解析式，軸對稱的性質，三角形面積等，本題綜合性較強，熟練三角形求面積的方法是解題的關鍵．四．附加題（共2小題，滿分0分）24．我們已經學過完全平方公式a2±2