數(shù)學(xué)模型八將軍飲馬模型模型1：兩定點(diǎn)與定直線上一動(dòng)點(diǎn)【數(shù)學(xué)建?！咳鐖D，直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A，B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。鞫c(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′，交直線于點(diǎn)P，最小值為AB′.【模型應(yīng)用】1.如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個(gè)最小值為(A)A．2eq\r(3)B．2eq\r(6)C．3D．eq\r(6)2．一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x，y軸分別交于點(diǎn)A(2，0)，B(0，4).(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA，AB的中點(diǎn)分別為C，D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】(1)由題意得：0＝2k＋b，4＝b，∴y＝－2x＋4.(2)作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連結(jié)C′D，交y軸于點(diǎn)P，則C′D＝C′P＋PD＝PC＋PD，C′D就是PC＋PD的最小值，連結(jié)CD，則CD＝2，CC′＝2.在直角△C′CD中，根據(jù)勾股定理，得C′D＝2eq\r(2)，設(shè)C′D的表達(dá)式為y＝k1x＋b1，由C′(－1，0)，D(1，2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k1＋b1＝0，,k1＋b1＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝1，,b1＝1，))∴y＝x＋1.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，則P(0，1).模型2：一定點(diǎn)與兩直線上兩動(dòng)點(diǎn)(1)【數(shù)學(xué)建?！咳鐖D，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B.使△PAB的周長(zhǎng)最?。鼽c(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)P2，連結(jié)P1P2，與OM交于點(diǎn)A，與ON交于點(diǎn)B，此△ABP周長(zhǎng)最短．【模型應(yīng)用】1．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB＝30°，OP＝8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_8__．2．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP為eq\r(3)，若點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是__3__．3.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)DF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長(zhǎng)的最小值．【解析】作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K，連結(jié)DK交MN于點(diǎn)P，連結(jié)PC，此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短．周長(zhǎng)的最小值＝CD＋PD＋PC＝CD＋PD＋PK＝CD＋DK.由題意：CD＝AD＝10，ED＝AE＝5，DG＝eq\f(5,2)，EG＝eq\f(5,2)eq\r(5)，DH＝eq\f(DE·DG,EG)＝eq\r(5)，∴EH＝2DH＝2eq\r(5)，∴HM＝eq\f(DH·EH,DE)＝2，∴DM＝CN＝NK＝eq\r(DH2－HM2)＝1，在Rt△DCK中，DK＝eq\r(CD2＋CK2)＝eq\r(102＋22)＝2eq\r(26)，∴△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10＋2eq\r(26).模型3：一定點(diǎn)與兩直線上兩動(dòng)點(diǎn)(2)【數(shù)學(xué)建模】點(diǎn)P為定點(diǎn)，在OA，OB上分別取M，N使得PM＋MN最?。颂嶮點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)P′，將折線段PM＋MN轉(zhuǎn)化為P′M＋MN，即過(guò)點(diǎn)P′作OB的垂線分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，得PM＋MN的最小值(點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短).【模型應(yīng)用】1．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，AE＝2，求EM＋EC的最小值．【解析】∵點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，∴連結(jié)BE，交AD于點(diǎn)M，則此時(shí)ME＋MC最小，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則EH＝AH－AE＝3－2＝1，BH＝eq\r(BC2－CH2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).在直角△BHE中，BE＝eq\r(BH2＋EH2)＝eq\r(（3\r(3)）2＋12)＝2eq\r(7).2．如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A′B′D′，分別連結(jié)A′C，B′C，求A′C＋B′C的最小值．【解析】如圖，過(guò)C點(diǎn)作BD的平行線l，以l為對(duì)稱軸作B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B1，連結(jié)AB1交直線l于點(diǎn)C1.根據(jù)平移和對(duì)稱可知A′C＋B′C＝AC1＋BC1，當(dāng)A，B1，C1三點(diǎn)共線時(shí)AC1＋BC1取最小值，即AB1，又AB＝BB1＝1，∠ABC＝60°，所以AB1＝eq\r(3).3．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC，AB上各取一點(diǎn)M，N，使BM＋MN的值最小，求這個(gè)最小值．【解析】作AB關(guān)于AC的對(duì)稱線段AB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥AB，垂足為N，交AC于點(diǎn)M，則B′N(xiāo)＝MB′＋MN＝MB＋MN.B′N(xiāo)的長(zhǎng)就是MB＋MN的最小值，則∠B′AN＝2∠BAC＝60°，AB′＝AB＝2，∠ANB′＝90°，∠B′＝30°.∴AN＝1，在直角△AB′N(xiāo)中，根據(jù)勾股定理B′N(xiāo)＝eq\r(3).模型4：將軍過(guò)橋模型【數(shù)學(xué)建?！恳阎獙④娫趫D中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M，N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A′位置．問(wèn)題化為求A′N(xiāo)＋NB的最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置．【模型應(yīng)用】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6，4)，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】考慮PQ，AE為定值，故只要AP＋QE最小即可，如圖，將AP平移至A′Q，考慮A′Q＋QE的最小值．平移AP到A′Q，作點(diǎn)A′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A″，連結(jié)A″E，與x軸交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，左移2個(gè)單位即得P點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，0)).2．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AC為對(duì)角線，E、F分別為邊AB，CD上的動(dòng)