第4課函數課題函數課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1．理解函數、初等函數的概念，使學生能夠計算函數的定義域、判斷兩個函數是否為同一函數2．掌握函數四種性質（單調性、奇偶性、有界性和周期性）的分析與判斷3．熟練掌握基本初等函數的解析式、性質及一些重要的函數圖形4．掌握復合函數的復合過程和分解過程5．使學生能夠畫一些簡單分段函數的圖形思政育人目標：使學生了解函數在實際中的應用，引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神教學重難點教學重點：函數概念的理解教學難點：基本初等函數的作圖教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第一節課：課前任務→考勤（2min）→知識講解（20min）→課堂測驗（10min）→課堂指導（13min）第二節課：知識講解（20min）→課堂測驗（12min）→互助指導（10min）→課堂小結（3min）→課后拓展教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節課課前任務【教師】和學生負責人取得聯系，布置課前任務，提醒同學做完作業，在指定時間內交齊【學生】做完作業，在指定時間內交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學習軟件，布置課前問答題：什么是映射？什么是函數？函數具有哪些性質？如何區分初等函數和分段函數？【學生】提前上網搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉教材通過課前的預熱，讓學生了解所學科目的大概方向，激發學生的學習欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解（20min）【教師】引入課題——函數的概念16世紀以來，科學家們致力于運動的研究例如，計算天【教師】通過引例講解函數的定義函數反映了事物運動變化過程中變量之間的依賴關系．考察如下幾個案例引例1在自由落體運動中，物體下落的距離s隨下落時間t的變化而變化，下落距離s與時間引例1引例2某兒童玩具的銷售價格是每套20元，假設銷售量是q套，那么銷售收入R與銷售量之間的引例2當銷售量q取一定的數值時，銷售收入R就有一個確定的數值與之對應定義1設有兩個變量x和y，D是一個非空數集，若當變量x在集合D內任取一個值，變量y依照一定法則f，總有確定的值與之對應，則稱變量y是x的函數，記為，其中，D稱為函數的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量對于確定的，與之對應的稱為函數在處的函數值，記作當x取遍D中的一切數值時，對應的函數值y的集合稱為函數的值域，記作M，即例1設函數，求，及例1解；；【教師】講解函數的兩要素，并通過例題介紹其應用方法由函數的定義可知，定義域與對應法則一旦確定，函數也就隨之唯一確定．因此我們把函數的定義域和對應法則稱為函數的兩要素．例2判斷下列函數是否為同一函數例2（1），； （2），．解（1）函數的定義域為，而函數的定義域為，故這兩個函數不是同一函數．（2）函數和函數的定義域和對應法則都相同，故這兩個函數是同一函數．例3求下列函數的定義域例3（1）； （2）．解（1）因為，解得且，所以函數的定義域為．（2）因為解得，所以函數的定義域為．【教師】講解函數的表示法函數通常有三種不同的表示法：解析法、表格法和圖示法．解析法：用數學式子來表示函數的方法，也稱公式法．由于表達簡單，便于理論推導和運算，因此它在高等數學中是最常見的函數表示法．表格法：用表格來表示函數的方法．例如，表1-1以列表的形式給出了國內生產總值與年份之間的函數關系．表1-1單位：億元圖示法：用圖形來表示函數的方法．其優點是形象直觀，可以看到函數的變化趨勢，如某地一天的氣溫變化曲線圖、上證指數K線圖等．【教師】通過例題講解函數的性質1）單調性設函數在區間I內有定義，若對區間I內的任意兩點：當時，有，則稱在區間I內單調增加，區間I稱為單調增區間；當時，有，則稱在區間I內單調減少，區間I稱為單調減區間．單調增區間和單調減區間統稱為單調區間．例如，函數在區間內單調減少，在區間內單調增加；函數在區間內都是單調增加的．2）奇偶性設函數的定義域關于原點對稱（即若，則）．若對于任意的，都有，則稱為偶函數；若對于任意的，都有，則稱為奇函數．不滿足以上兩種情況的函數，稱為非奇非偶函數．例如，在定義區間上是偶函數；和在定義區間上都是奇函數；在定義區間上是非奇非偶函數．3）有界性設函數在區間I上有定義，若存在一個正數，使得與任意所對應的函數值都滿足不等式，則稱函數在I內有界．若這樣的M不存在，則稱函數在I內無界．例如，函數在內是有界的，這是因為無論x取何值，都成立；函數在開區間內是無界的，而在開區間內是有界的．由此可見，籠統地說某個函數是有界函數或無界函數是不確切的，必須指明其所討論的區間．4）周期性設函數在區間D上有定義，若存在常數，對于任意的，恒有，則稱是以為周期的周期函數．通常所說周期函數的周期是指它們的最小正周期．例如，的周期是，的周期是．另外，函數是周期函數，但不存在最小正周期．【學生】掌握函數的概念與四種性質學習、鞏固函數的概念與性質的相關知識，理解函數概念的產生是人類。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發布測試的題目，并讓學生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象課堂指導（13min）?選出優秀學生帶動、指導其他同學掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，讓答題快且正確的同學上臺解答，為同學們做示范。如果題目比較難，無人答對則老師示范【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學生為主體，針對學生接受能力的差異性，讓優秀學生帶動其他學生掌握知識點第二節課知識講解（20min）【教師】講解基本初等函數的解析式、性質，列舉一些重要的函數圖形圖1-12常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數這6類函數統稱為基本初等函數圖1-121．常數函數常數函數

的定義域為，對應法則是對于任何，所對應的函數值恒等于常數C．其函數圖像為平行于軸的直線，如圖1-12所示．2．冪函數冪函數的定義域和值域由a而定，在內都有定義，且其圖像都經過點．如圖1-13所示給出了幾個常見冪函數的圖像．（a）（b）圖1-133．指數函數指數函數的定義域為，值域為，圖像都經過點．當時，單調增加；當時，單調減少．指數函數的圖像均在x軸上方，如圖1-14所示．4．對數函數對數函數是指數函數的反函數．對數函數的定義域為，值域為，圖像都經過點．當時，單調增加；當時，單調減少．對數函數的圖像在y軸的右方，如圖1-15所示．圖1-14圖1-15當時，簡記為，它是常見的對數函數，稱為自然對數．5．三角函數三角函數包括如下幾類：正弦函數，余弦函數；正切函數，余切函數；正割函數，余割函數．（1）和的定義域為，值域為，都以為周期．是奇函數，是偶函數，如圖1-16所示．圖1-16（2）的定義域是，的定義域是，它們都以為周期，且都是奇函數，分別如圖1-17（a）和（b）所示．（a）（b）圖1-176．反三角函數反三角函數是各三角函數在其特定單調區間上的反函數．（1）反正弦函數是正弦函數在區間上的反函數，其定義域為，值域為，如圖1-18（a）所示．（2）反余弦函數是余弦函數在區間上的反函數，其定義域為，值域為，如圖1-18（b）所示．（a）（b）圖1-18（3）值域為，如圖1-19（a）所示．（4）反余切函數是余切函數在區間內的反函數，其定義域為，值域為，如圖1-19（b）所示．（a）（b）圖1-19【教師】講解復合函數的定義，并通過例題介紹其復合過程和分解過程定義2設y是u的函數，u是x的函數．若的值域與的定義域的交集不是空集，則y通過u構成x的函數，稱為x的復合函數，其中u稱為中間變量．例如，，，它們復合而成的復合函數為．利用復合函數的概念，可以把一個較復雜的函數分解成若干個簡單的函數．分解函數的原則是：由外向里，逐層分解．分解函數的結果是：分解成的每個簡單函數都是基本初等函數，或由常數與基本初等函數經過有限次四則運算后形成的函數．例4寫出下列函數的復合過程例4（1）； （2）．解（1）是由，復合而成的．（2）是由復合而成的．【教師】講解初等行數和分段函數的定義，列舉一些簡單分段函數的圖形的畫法，為學習極限做好準備1．初等函數定義3由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合構成的，并且用一個解析式表示的函數稱為初等函數．例如，函數，等均是初等函數．2．分段函數引例3自2018年8月1日起，北京巡游出租車（不含電動車）白天的基本收費標準是：行駛里程若不超過3公里，則收費13元；若超過3公里，則超出的部分按每公里2.3元收費．另外，每運次加收1元燃油附加費．那么，每運次的行駛里程數公里與費用元之間的關系為引例3以上的函數關系不是用一個式子表示的，而是在自變量不同范圍內用不同的表達式來表示的．這樣的函數稱為分段函數．圖1-20例5圖1-20例5（1）求，，；（2）求其定義域，并畫出其圖像．解（1），，．（2）分段函數的定義域為，其圖像如圖1-20所示．常用的分段函數有絕對值函數和符號函數兩種．1）絕對值函數絕對值函數的圖像如圖1-21所示．2）符號函數符號函數的圖像如圖1-22所示．圖1-21圖1-22【學生】掌握基本初等函數、復合函數和分段函數的相關知識學習、鞏固基本初等函數、復合函數和分段函數的相關知識。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（12min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發布測試的題目，并讓學生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象互助指導（10min）?選出優秀學生帶動、指導其他同學掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準確率最高的同學，輔導本組的未答對同學掌握答題知識，實現組內互助【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學生為主體，針對學生接受能力的差異性，讓優秀學生帶動其他學生掌握知識點課堂小結（3min）【教師】簡要總結本節課的要點【學生】總結回顧知識點本節課上大家理解了函數、初等函數的概念，掌握函數、基本初等函數的性質，能夠計算函數的定義域、判斷兩個函數是否為同一函數，掌握復