1.2傅里葉變換1.傅里葉變換的概念若函數(shù)f(t)滿足Fourier積分定理的條件,則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處,有記為 F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]傅里葉變換式傅里葉逆變換式可以說象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個Fourier變換對，它們有相同的奇偶性。還可以將f(t)放在左端,F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:f(t)

F(w)F(w)稱作f(t)的象函數(shù)，f(t)稱作F(w)的象原函數(shù)。由f(t)的Fourier正弦積分公式可得,傅里葉正弦變換傅里葉正弦逆變換由f(t)的Fourier余弦積分公式可得,傅里葉余弦變換傅里葉余弦逆變換tf(t)1解

Fourier變換0指數(shù)衰減函數(shù)的積分表達(dá)式：1.柯西-古薩基本定理。解

Fourier變換因此有如果令b=1/2，就有可見鐘形函數(shù)的Fourier變換也是鐘形函數(shù)。0求鐘形脈沖函數(shù)的積分表達(dá)式例求門函數(shù)(單矩形脈沖)

的傅里葉變換。解

Fourier變換注意:在半無限區(qū)間上的同一函數(shù)，其正弦變換和余弦變換結(jié)果是不同的。解

Fourier正弦變換Fourier余弦變換2.單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換單位階躍函數(shù)u(t)Otu(t)當(dāng)t0時,當(dāng)t=0時,q(t)在這一點(diǎn)不連續(xù),0是q(t)的第一類間斷點(diǎn).從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)不存在導(dǎo)數(shù).i(t)=0.例如問題:

在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.解決辦法:引進(jìn)狄拉克(Dirac)函數(shù),簡單記成弱收斂:若對任何一個無窮次可微的函數(shù)f(t),

如果函數(shù)序列{Sn}滿足出發(fā)點(diǎn):

想辦法把無法表示的函數(shù)用某個可以表出的函數(shù)序列求弱極限來得到.稱de(t)的弱極限為d-函數(shù),記為d(t)。de(t)1/eeO即:d-函數(shù)可以看成一個普通函數(shù)序列的弱極限。d-函數(shù)的定義:tOd(t)1d(t)(單位脈沖函數(shù))d-函數(shù)的性質(zhì)1:證明:因?yàn)閷θ魏我粋€無窮次可微的函數(shù)f(t),性質(zhì)2：證明:d-函數(shù)的篩選性質(zhì)推論：證明:d-函數(shù)的其他性質(zhì)（習(xí)題13）d-函數(shù)的Fourier變換根據(jù)d-函數(shù)的篩選性質(zhì)可得可見,d-函數(shù)和1構(gòu)成了一個Fourier變換對。tOd(t)1wOF(w)1

在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足Fourier積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件例如常數(shù),符號函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義Fourier變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換就可以求出它們的Fourier變換。引入單位脈沖函數(shù)的意義:pwO|F(w)|Otu(t)分析:當(dāng)沒有辦法直接驗(yàn)證F(w)是一個函數(shù)的Fourier變換時,驗(yàn)證逆變換。證:=+++若F(w)=2pd(w)時,由Fourier逆變換可得所以常數(shù)1和2pd(w)也構(gòu)成了一個Fourier變換對。推論:tO2

F(w)f(t)wO1

同理,如果F(w)=2pd(w-w0)由上面兩個函數(shù)的變換可得意義:

d-函數(shù)的引入使得在普通意義下不存在的積分有了確定的數(shù)值。例5求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的Fourier變換。由Fourier變換公式可得解:tsinω0tpp-w0w0Ow|F(w)|3.非周期函數(shù)的頻譜在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).與周期函數(shù)頻譜的區(qū)別:連續(xù)頻譜結(jié)論:

對一個時間函數(shù)作Fourier變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜。注:振幅頻譜|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即我們定義相角頻譜:顯然,相角頻譜j(w)是w的奇函數(shù),即j(w)=-j(-w)。作業(yè):1.2-10、16常用函數(shù)傅氏變換對：δ(t)u(t)e-

t

u(t)gτ(t)112πδ(ω)1.3傅里葉變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)[α

f1(t)+

f2(t)]←→[α

F1(ω)+

F2(ω)]若f1(t)←→F1(ω)，f2(t)←→F2(ω)則證明:

2.位移性質(zhì)時移：若f(t)←→F(ω)則證明:F[f(t–t0)]

時移性質(zhì)表明，信號在時間軸上的移位，其頻譜函數(shù)的幅度譜不變，而相位譜產(chǎn)生附加相移。例求F1(ω)=?解:

f1(t)=g6(t-5)g6(t-5)←→gτ(t)←→

頻移：若f(t)←→F(ω)則證明:F[ejω0t

f(t)]=F[(ω-ω0)]

頻移性質(zhì)表明，若要使一個信號的頻譜在頻率軸上右移單位，在時域就對應(yīng)于其時間信號乘以例1f(t)=ej3t←→F(ω)=?解:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)例2f(t)=cosω0t

←→F(ω)=?解:F(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]例3已知

f(t)←→F(ω)調(diào)制信號

f(t)cosω0t←→?

解:3.微分性質(zhì)時域微分：若f(t)←→F(ω)則這一性質(zhì)可將時域微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域的代數(shù)運(yùn)算。證明:f(t)=sgnt1-1tf(t)O2tf'(t)O例求符號函數(shù)的頻譜。解:例求矩形脈沖函數(shù)的頻譜。t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E解:例求三角脈沖函數(shù)的頻譜。解:t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)-at/2-t/2aOtf''(t)a-2a頻域微分：若f(t)←→F(ω)則(–jt)n

f(t)←→F(n)(ω)(–jt)f(t)←→F′(ω)例求

f(t)=tu(t)←→F

(ω)=?解:4.積分性質(zhì)時域積分：若f(t)←→F(ω)則頻域積分：例求階躍函數(shù)的頻譜。例求微分積分方程的解,其中

<t<+,a,b,c均為常數(shù)。解根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì)，且記

F[x(t)]=X(ω)，F(xiàn)[h(t)]=H(ω)在方程兩邊取傅氏變換,可得傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)5.乘積定理若f1(t)←→F1(ω)，f2(t)←→F2(ω)則6.能量積分（帕斯瓦爾等式）若f(t)←→F(ω)則證明:將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號的能量E（2）信號的功率P

若信號f(