章定積分習題課

2021/5/911．定積分的定義：

定積分定義的四要素：分割；近似；求和；取極限2．定積分的幾何意義：用圖表示:一、定積分的概念與性質曲邊梯形的面積

2021/5/923．可積的充分條件①若在區間上連續，則在上可積.

②

若在區間上有界，且只有限個間斷點，則在上可積.

4．定積分的性質①反號性：

②與積分變量無關性：

③線性性質：

④區間可加性:

2021/5/93⑤區間長：

⑥保號性：如果在區間上,，則⑦單調性：如果在區間上,則⑧估值定理：設和分別是函數在區間上的最大值和最小值，則2021/5/94⑩奇偶對稱性：若在上連續，則

二、積分上限函數與牛頓—萊布尼茲公式

1．積分上限函數：是奇函數是偶函數0，設函數在區間上連續，則稱⑨定積分中值定理：如果函數在閉區間

上連續,

則至少存在一點,使下式成立：

2021/5/95(1)

(2)

(3)

3．牛頓—萊布尼茲公式：若函數為連續函數在區間上的個原函數，則

2．積分上限函數的微分2021/5/96三、定積分的計算方法求定積分的總體原則：先求被積函數的原函數,然后利用牛頓—萊布尼茲公式計算，即

1．換元積分法（1）湊微分法：

（2）變量置換法：函數滿足條件：

2021/5/972．分部積分法：

四、反常積分1．無窮限的反常積分

2021/5/982．無界函數的反常積分設為的瑕點,則

設為的瑕點,則設為的瑕點，則有

2021/5/99五、典型例題解：由于在上連續,

且是在上的一個原函數，故

【例1】設在上有連續導數，且是在上的一個原函數,,求2021/5/910【例2】求定積分

解：

注：當定積分的被積函數中包含絕對值符號時，必須設法將其去掉，并且要特別注意被積函數的符號．2021/5/911【例3】設,求

解:2021/5/912【例4】設求

分析：利用變量代換將在上的定積分化為在

上的定積分再計算。

解:設,則2021/5/913【例5】設為連續函數，求

解:令,則,當時,

當時,則故2021/5/914【例7】求定積分解:設,則2021/5/915【例8】計算定積分解:令則當時,當時,

2021/5/916【例9】計算定積分

解:2021/5/917【例10】求定積分分析：由于積分區間為對稱區間，可考慮被積函數是否具有奇偶性或部分具有奇偶性．解:原式2021/5/918【例11】設求解：因為

所以2021/5/919【例17】求反常積分

解：2021/5/920【例18】求積分

分析：被積函數在積分區間上不是連續的，

牛頓—萊布尼茲公式失效．這是一個反常積分。

該積分的瑕點。

解：因為故該積分發散．2021/5/921注：由于定積分與瑕積分的表達式沒有區別，在計算積分時要特別注意。錯誤在于將反常積分誤認為定積分。

在應用牛頓—萊布尼茲公式計算定積分時，必須注意其使用條件，即被積函數在積分區間內必須連續．常見的錯誤做法：

2021/5/922定積分應用2021/5/923一、定積分應用的類型幾何應用

平面圖形的面積特殊立體的體積旋轉體的體積平行截面面積為已知立體的體積2021/5/924二、構造微元的基本思想及解題步驟1.構造微元的基本思想元素法的實質是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、“以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須是無窮小量之間的代替。將局部

上所對應的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成定積分．無論是幾何應用還是物理應用通常采用元素法。2021/5/9252.在求解定積分應用問題時，主要有四個步驟：

①選取適當的坐標系；②確定積分變量和變化范圍；③在

上求出微元解析式（積分式）。④把所求的量表示成定積分

三、典型例題1.幾何應用定積分的幾何應用包括求平面圖形的面積、特殊立體的體積。解決這些問題的關鍵是確定面積元素、體積元素。2021/5/926【例1】求由所圍成圖形的面積。

分析：在直角坐標系下,由給定曲線所圍成的幾何圖形如圖所示。如果取為積分變量,則

設區間所對應的曲邊梯形面積為則面積元素

就是在

上以“以直代曲”所形成的矩形面積。解：(1)確定積分變量和積分區間：的交點為和,取為積分變量,則由于曲線

和2021/5/927（2）求微元：任取

如果將圖形上方直線的縱坐標記為,將圖形下方拋物線的縱坐標記為,那么，就是區間所對應的矩形的面積。因此（3）求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為計算上面的積分得：

2021/5/928【例5】設由曲線，及圍成平面圖形

繞軸,軸旋轉而成的旋轉體的體積。分析：此題為求解旋轉體體積的問題，繞

軸旋轉時，取為積分變量;繞軸旋轉時,取為積分變量。設區間對

或對或所對應的曲邊梯形為

是以直代曲所形成的矩形為則繞

軸、軸旋轉而成的旋

轉體的體積微元就是矩形分別繞

軸、軸旋轉而成的體積.2021/5/929解:(一)求繞軸旋轉而成的旋轉體的體積

（1）確定積分變量和積分區間：繞

軸旋轉如圖,旋轉體體積元素是對應的矩形繞軸所得的旋轉體的體積，即

（2）求微元：對取為積分變量,則2021/5/930（3）求定積分：繞軸旋轉而成的旋轉體的體積表示為計算積分得：（1）確定積分變量和積分區間：繞軸旋轉如圖,

取為積分變量,則(二)求繞

軸旋轉而成的旋轉體的體積2021/5/931（2）求微元：對旋轉體的體積元素

是對應的矩形繞

軸所得的旋轉體體積,即（3）求定積分：繞軸所得的旋轉體的體積表示為

2021/5/932計算積分得:2021/5/933

【例7】計算底面是半徑為2的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。分析：此題為平行截面面積為已知的立體的體積。若選擇積分變量為

,如果能求出平面

所截立體的截面面積那么，

所對應的體積元素為.

建立如圖所示的坐標系，解:(1)確定積分變量和積分區間：則底圓方程為