《數學大觀》教學大綱第一章數學愛我們介紹課程指導思想：展示數學的魅力與威力.能力點:通過有招(講故事)學無招(思想),無招(思想)指揮有招(算法).課程目的介紹本課程的學習目引發對數學的愛好,減少對數學的仇恨,對數學思想有所理解.強調idea(思想),不追求technique(算法細節).標和指導思想數學愛我們無招(idea)勝有招(technique),通過有招(講故事)學無招(思想辦法).故事:

設計幻方.

從文字幻方開始:

5行5列方格表中第一行填“我,們,愛,數,學”,后來每行仍是這5個字的排列,每列、每條對角線也是.將5個字換成0,1,2,3,4這5個不同數字,則每行每列每條對角線各數和相等。兩張滿足同樣規定的不同的表,第一張乘5加第二張表,再同加1就得到5階幻方.

類似可得3階幻方.運算律巧算24用5,5,5,1通過加減乘除算24.

死湊難奏效,由5x5-1=24左邊恒等變形得到對的等式

5x(5-1/5)=24.

能力點:運算律的應用.

歐幾里得由少數簡樸公理推出復雜豐富的幾何學.

代數學由更少數簡樸公理推出,運算律就是代數公理。未知算已知算術應用題:

大人小孩共100人吃100個饅頭,大人每人吃3個,小孩每3人吃1個,大人小孩各多少?

小學算術只能由已知算未知，因此很困難.

初中能夠不需要懂得大人小孩人數,只要各設為x,y,就可由x,y算出總人數x+y=100和饅頭數3x+y/3=100.為什么能夠將已知未知混為一談?

由于它們的算法相似.

并且運算律相似，因此能夠對方程同解變形求出解來.

天上掉下余弦定理為什么不同數值a,b滿足同一種平方公式(a-b)^2=a^2+b^2-2ab?由于它們滿足同樣的運算律.

a,b換成向量仍然滿足同樣的運算律,平方公式仍然成立，這就是余弦定理,當a,b垂直時ab=0,就是勾股定理.

還能夠將a,b再換成n數組向量,也滿足同樣的運算律，因此勾股定理能夠推廣到n數組向量.余弦不不大于1也能夠推廣，就是柯西不等式.橢圓面積也簡樸計算橢圓面積需要用到積分,還要進行變量替代.

但是,只要將橢圓的半短軸b拉長到與半長軸a相等,將橢圓拉成圓,就能由圓面積公式算出橢圓面積了.

如何拉長?

將每個點(x,y)的橫坐標x不變,縱坐標y乘a/b,橢圓就拉成半徑為

a的圓,面積變成pa^2.

拉長過程中面積擴大倍數為a/b,再乘b/a壓縮回去就得到橢圓面積pab.

還可由圓內接n邊形最大面積得到橢圓內接n邊形最大面積。第二章七十二行任縱橫-數學聊齋數學聊齋通過生活中的故事闡明其中的數學原理、思想和辦法.音樂美術體育旅游餐飲，生活的方方面面都有數學，培養透過現象發現規律的能力,理論聯系實際的能力.音調中的等比數列音階1,2,...,7,i中各音的頻率怎么算?

從1到高八度的i,頻率f升高1倍到2f.

通過12個“臺階”(涉及白鍵黑鍵),共升高12個半音,

頻率構成等比數列,

公比q等于2的12次方根.由等比數列通項公式能夠算出各音的頻率。這叫做十二平均律.還可運用計算機軟件按照算出的頻率將各個音播放出來，甚至能夠構成樂曲,讓你聽聽數學的美妙聲音.如何模擬不同樂器的聲音不同樂器發出的聲音的不同音色由不同波形決定,由不同頻率f,2f,3f,...的正弦波(Ak)sin(kf+tk)按不同強弱(由振幅Ak決定)合成.變化各頻率正弦波的強弱比例

(A1,A2,...,Ak,...),就變化了波形從而變化了音色.

將周期函數(波)分解為不同強弱比例的正弦波的合成,數學上稱為傅里葉級數.美術中的數學課堂展示兩張照片,一張是地面的平行隊列在照片上相交,另一張是臺燈在墻上的光影邊沿曲線.

為什么地面上的平行線在照片上相交?

地面的圖形到照片上圖形的映射是以鏡頭為中心的中心投影.

研究中心投影的幾何稱為射影幾何.

由于地面與照片不平行,平行線變成相交.

臺燈由燈罩內發出的光束是圓錐，墻是平面，光影邊沿就是平面截圓錐得到的雙曲線，也是燈罩下沿的圓在燈光下的中心投影.佛光中的多媒體教學峨眉山最精彩也最難看到的景色是佛光。站在舍身崖懸崖往下看,如果天上有太陽,崖下有云,云的高度適宜，出現彩色光環,就是佛光.

如果云層太高或太矮,都看不見佛光.但是，如果云從太矮持續上升到太高,途中就有一點恰到好處.

這就是數學上的持續函數介值定理.

一朵朵云持續往上升,佛光一次次地出現，象是普賢菩薩在進行多媒體教學,教學內容就是持續函數定理.足球的圓與方足球的勝負有偶然性，弱隊能夠戰勝強隊,因此“足球是圓的”.

然而，偶然性不是沒有規律,沒有強弱.

弱隊戰勝強隊只是少數情形,多數情形還是強隊勝弱隊,可見“足球也是方的”.我國的嫦娥號飛船登月,專家在每一階段都預見了出現事故的概率,采用方法努力避免事故，最后成果是百分之百成功.如果一開始就認定百分之百沒有問題,就增大了出事故的概率.邯鄲農行案邯鄲農業銀行兩個工作人員挪用國家資金買體育彩票,血本無歸逃跑，被抓回來判了死刑.

臨死之前還覺得買了諸多張彩票持續不中獎“太令人意外”.我由此想到以下數學題：如果中獎率10%,以下哪件事概率大：(1)

買一張就中獎.

(2)

持續買20張全不中.

計算辦法很簡樸,成果也會“太令人意外”.

進一步計算:中獎率千分之一，連買張不中獎,

算出概率成果與e=2.71828...有關,也令人意外.行李箱密碼失而復得一位同事無意中把行李箱密碼搞亂了,問需要試多少次才干重新找回密碼.

我說,你只是不小心搞亂，一定改得不多,

很可能只改一位,只要試30次.

她試了10次就找回了,說原來密碼是000，改成900了.我說:看來不僅只改一位,很可能只改一格（加1或減1)，只要試6次就行了.總之，離原來密碼越近的概率越大,按照概率從大到小的次序實驗,反正不需要試1000次.千手觀音幾只手重慶大足石刻千手觀音真有近千只手,姿態方向各異,難以排序數清.

古代一位工匠想了一種絕妙方法：每只手貼一張金箔紙,同時在竹簽桶里放一支竹簽.全部的手都貼上金箔紙了,再數竹簽有1007支,因此手有1007只.

工匠的辦法就是建立一一對應：手與金箔一一對應，金箔與竹簽一一對應，一一對應的集合元素同樣多.由此能夠講整數集合與偶數集合及有理數集合一一對應，與實數集合不可能對應.人擠成照片之維數變化與俄羅斯代數學家共進晚餐,問他吃什么主食,rice

or

noodle.

他聽不懂noodle,我解釋:

noodle

is

1-dimensional.立刻就懂了.重慶人描述公共汽車擁擠：把人都擠成照片了.

三維擠成二維，體積擠成0.代數課舉這兩個例子講維數.還用來講行列式：三階行列式是平行六面體體積.

如果兩列相等，兩條棱重疊,也擠成照片，行列式固然為0.幾把尺子量乾坤平面對量即使無窮多,

但能夠寫成兩把尺子e1(往東一米)和e2(往北一米)常數倍之和a=xe1+ye2,量出兩個數構成坐標(x,y)代表a.

因此是“兩把尺子量天下”.空間向量增加一把尺子e3(往上1米),三把尺子量乾坤.

兩把尺子量出2維空間,三把尺子量出三維空間.

兔子數列(斐波那契數列)能夠分解為兩個等比數列之和來求通項公式，兩個等比數列作為兩把尺子量兔子數列.明星做廣告與非歐幾何明星做廣告的產品有時候會被揭發為假冒偽劣.

明星或他們的代言人就會辯解.

`“明星不是萬能的,不可能鑒別這些產品，不應當承當責任。”但是,當明星做廣告的時候,為什么不說自己不是萬能，反而努力讓人相信自己萬能，并且因“萬能”而獲得了巨額酬金，同理可證他們應當因“萬能”而承當責任賠償損失。這是最基本的邏輯。按照同樣的邏輯，能夠讓你對深奧難懂的非歐幾何有所理解。非歐幾何有矛盾嗎歐幾里得將復雜的幾何歸結為少數顯然的公理。其中一條公理（平行公理）不夠顯然：平面上過已知直線a外一點P只能作一條直線b與a不相交。有人企圖用反證法證明這個結論，假定過P有兩條直線與a不相交，推出了諸多看似荒唐但并不矛盾的結論。沒推出矛盾，不等于沒有矛盾。

終于證明了：只要歐氏幾何無矛盾，非歐幾何也無矛盾，兩者同生同死。我們還用一首詩介紹了另一種非歐幾何--球面幾何。第三章凌波微步微積分加減乘除算正弦兩首詩講微分學.

一首詩《微分》說：“函數千千萬萬，一次最簡樸”.

舉的例子是用一次函數x近似替代sinx,一次項x就是微分,一次項系數1就是導數.其實就是用弦長2sinx近似替代弧長2x,劉徽割圓早就做過的.

如果x比較大,就用更高次的多項式x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-...替代sinx,靠升高次數減少誤差，這就是《泰勒展開》詩所說：“我有乘除加減,翱翔天地間”，多項式只算加減乘除。圓周率引出的積分學在區間[0,1]上計算曲線y=(1-x^2)^{1/2}與x軸之間的面積,就是圓周率的1/4.將區間[0,1]分成諸多小段,每小段上函數值近似當作不變,這就是《定積分》詩說的“平平淡淡分秒”，加起來就得到高低不平的圓弧下方的面積，就是詩中所說“編制百味人生”.將函數當作速度，積分就是路程.另一首詩“量天何必苦登高”說不必苦苦編制路程，而是找一種函數求導等于速度，就是原函數.三次方程變一次把解三次方程x^3+x-3=0作為微積分的導航.

能否將三次項x^3直接砍掉,變成一次方程x-3=0來求解?

想法近乎瘋狂，卻有合理的成分：如果|x|<1，|x^3|比|x|小得多,就能夠砍掉.發現

1<X<U<p>多項式逼近函數第3.1節已經給出了多項式T(x)逼近sinx,但沒有講T(x)如何算出來.為了預計用x近似替代sinx的誤差e(x)=x-sinx,求導數e(x)’=1-cosx=2[sin(x/2)]^2<

(x^2)/2,不等式兩邊求原函數得x-sinx=e(x)sinx>x-x^3/6.

由sin(x/2)約等于x/2還可得sinx約等于x-x^3/6.

對x-sinx多次求導可得到更高次數的T(x).舍近求遠大智慧光的直線傳輸和反射定律都是走的路程最短的路線，折射卻舍近求遠，不走直線走折線.

是不是光聰穎一時糊涂一時,碰到水就腦袋進水變傻了?

否則,光在空氣中速度高,水中速度低,在速度高的空氣中多走一段，速度低的水中少走一段,多走了路程卻節省了時間.

如何的路線最省時間?

列出算式求導.這是運用導數求最小值的典型例子.蜜蜂賽過數學家大自然萬物爭優各顯神通.光線選擇最省時間的路線，露水形成表面積最小的球形，蜜蜂建造蜂房選擇最省建筑材料的形狀和角度.

列出函數式能夠在容積不變的前提下求出表面積最小的角度，既能夠用微分學求導,也能夠用中學知識通過一元二次方程有實根的鑒別式來求最小值.歷史上數學家第一次算出來的答案與蜜蜂只差2’,后來發現是數學家的數學用表不夠精確差了2‘，蜜蜂完全對的.

第四章代數與信息安全小學算術中的費馬定理1/7化成無限循環小數a=0.142857...的循環節D=142857有奇妙的性質。分數1/p化成的小數“a是循環小數”描述為：小數點右移d位得到的新的小數部分與移動之前相似，翻譯為代數運算：10^da-a=(10^d-1)/p=D是整數，也就是循環節。循環節長度d就是使10^d被p除余1的最小正整數。按照費馬小定理，當素數p不整除10時，10^{p-1}被p除余1，循環節長度d是p-1的因子。循環節中的群論在整數除以n的n個余數{0,1,2,...,n-1}構成的集合Z_n中定義加減乘法：按普通整數計算和差積之后再除以n求余數。1/n循環節長度d

就是使10^d的余數等于1的最小正整數。1/7的循環節D=142857尚有許多別的奇妙性質：D的2,3,4,5,6倍都能夠由D輪換出來，平均分成兩段之和142+857=999和三段之和14+28+57=99都由9構成。這些性質都能夠通過Z_n中的乘法性質得到解釋。密碼大戰凱撒登場公元前古羅馬將軍凱撒發明過一種密碼.

如果將字母表中26個字母a,b,c,...,z用前26個非負整數表達,他的加密辦法是將每個整數X變成X+3再除以26求余數得到Y,記作Y≡X+3.解密辦法自然就是X≡Y-3.為了加強保密性,能夠采用更復雜的函數,例如Y≡3X+5.

解密辦法就應當將3X≡Y-5兩邊乘某個整數消去3得到X.由9x3=27≡1懂得乘9能夠消去,得到解密函數X≡9(Y-5).福爾摩斯破凱撒福爾摩斯偵探案中有一種破譯密碼的故事.

編制密碼的人將每個英文字母用一種姿勢的小人代表.不同姿勢的小人代表不同的字母？小人的姿勢能夠有無窮多，怎么破譯?

福爾摩斯的妙招是：統計哪一種姿勢的小人出現得最多，這種小人就代表英文字母e,

由于英文文章出現最多的字母是e.

然后再根據故事情景和上下文破譯了其它字母.即使是小說創作，但這個破譯原理是科學的.公開的密碼密碼應當保密，豈能公開？但是，如果你但愿諸多素不相識的商人向你發信討論商業合作業務，信件內容又但愿保密，他如何加密才干讓你讀懂？除非你將加密辦法向全社會公開，讓每個人都能用這種辦法加密之后給你發信，但是都不懂得如何解密,只有你能夠解密.

就好比你在公共場合設立一種信箱，每個人都能夠將信扔進去，但都不能拿出來，只有你有鑰匙能夠打開門拿出來.

這就是公開密鑰.老祖宗留下解密法寶本課程介紹的公開密鑰的保密原理是：求兩個很大的素數p,q的乘積n=pq很容易，要由n分解成p,q很難.

向社會公布n及一種正整數h,加密辦法是將明文分段用不大于n的非負整數X代表.

將其中每X的h次冪除以n求余數Y,各個Y構成密文.大家都不能由Y算出X,只有你能夠求出另一種指數d，將Y^d除以n求余數得到X.

如何求d?

需要用到老祖宗歐幾里得的輾轉相除法.指鹿為馬之幼兒版--糾錯碼有一位父親吹噓他的兩歲小孩博比認識全部的動物，而博比卻在識別畫冊上的動物時將長頸鹿、老虎、獅子分別認成馬、貓和狗,將黑猩猩認成“父親”。博比不認識長頸鹿、老虎、獅子、黑猩猩，就