江蘇省常州市戚墅堰高級中學2023年數學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點分別是，焦距，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.2．設雙曲線的實軸長與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.5．空間直角坐標系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.6．設是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.8．某綜合實踐小組設計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉一周，得到花瓶的側面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關數據：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結果如下表所示學生甲乙丙丁估算結果（）其中估算結果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁9．函數的圖象大致為（）A. B.C. D.10．橢圓C：的焦點在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.811．已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（）A.2 B.6C.4 D.1212．直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實數k=___________.14．若方程表示的曲線是雙曲線，則實數m的取值范圍是___；該雙曲線的焦距是___15．圓關于直線的對稱圓的標準方程為_______16．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，A1C的中點，AD=AA1=2，AB=（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值；（3）在線段A1D1上是否存在點M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由18．（12分）已知函數，從下列兩個條件中選擇一個使得數列{an}成等比數列.條件1：數列{f（an）}是首項為4，公比為2的等比數列；條件2：數列{f（an）}是首項為4，公差為2的等差數列.（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列的前n項和.19．（12分）2017年5月27日當今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸，至此柯潔與的三場比賽全部結束，柯潔三戰(zhàn)全負，這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關注，某學校社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調查，根據調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.（1）請根據已知條件完成下面列聯表，并據此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關？非圍棋迷圍棋迷合計男女1055合計（2）為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學生組隊參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學生出賽，若從5名學生中隨機抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數據:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）設命題p：實數x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實數x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.21．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號傳統(tǒng)，獨家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當cm時，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結果用含π的式子表示）22．（10分）已知數列是等差數列，其前n項和為，，，數列滿足(且)，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點，得到直角和直角，設，則，根據橢圓的定義轉化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點，可得直角和直角，設，則，根據橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.2、C【解析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【詳解】因為，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.3、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C4、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準線方程為：故選：A5、A【解析】由已知得，，，設向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標運算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解：由已知得，，，設向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.6、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據勾股定理求出結果.【詳解】解：根據雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于常考題型.7、A【解析】根據對數函數的單調性，以及根式的運算，確定的大小關系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.8、D【解析】根據幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學的估算，故選：D9、A【解析】由題意首先確定函數的奇偶性，然后考查函數在特殊點的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.【詳解】由函數的解析式可得：，則函數為奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項10、C【解析】根據橢圓的離心率，即可求出，進而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.11、C【解析】根據題設條件求出橢圓的長半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓＋y2＝1知，該橢圓的長半軸，A是橢圓一個焦點，設另一焦點為，而點在BC邊上，點B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長故選：C12、C【解析】根據弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由題可求函數的導數，再利用導數的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.14、①.②.2【解析】由題意可得，由此可解得m的范圍，進一步將方程化為標準方程即可求得焦距【詳解】由所表示的曲線是雙曲線，可知，解得，當時，方程可變?yōu)椋海藭r雙曲線焦距為，當時，m不存在，不合題意；故雙曲線的焦距：故答案為：；15、【解析】先將已知圓的方程化為標準形式，求得圓心坐標(2,2)和半徑2，然后可根據直線的位置直接看出(2,2)點的對稱點，進而寫出方程.【詳解】圓的標準方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關于直線的對稱點為原點,所以所求對稱圓標準方程為，故答案為：16、1【解析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體，從而可求其體積.【詳解】據三視圖分析知，該幾何體為直三棱柱，且底面為直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所以其體積故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）不存在；理由見解析【解析】（1）連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO，根據判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形，進而得到線面平行；（2）建立坐標系，求出兩個面的法向量，求得兩個法向量的夾角的余弦值，進而得到二面角的夾角的余弦值；（3）假設在線段A1D1上存在一點M，使得BM⊥平面EFD，設出點M的坐標，由第二問得到平面EFD的一個法向量，判斷出和該法向量不平行，故不存在滿足題意的點M.【詳解】（1）證明：連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO因為F是A1C的中點，所以OF∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以OF∥AE，OF=AE所以四邊形AEFO是平行四邊形所以EF∥AO因為EF?平面ADD1A1，AO?平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1（2）以點A為坐標原點，直線AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，因為點E，F分別是AB，A1C的中點，AD=AA1=2，AB=，所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F所以=，=(0，1，1)設平面EFD的法向量為，則即令y=1，則z=-1，x=2所以，由題知，平面DEC的一個法向量為m=(0，0，1)，所以cos<，>==所以平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值是（3）假設在線段A1D1上存在一點M，使得BM⊥平面EFD設點M的坐標為(0，t，2)(0≤t≤2)，則=(，t，2)因為平面EFD的一個法向量為，而與不平行，所以在線段A1D1上不存在點M，使得BM⊥平面EFD18、（1）（2）【解析】（1）根據所給的條件分別計算后即可判斷，再通過滿足題意的求出通項；（2）由（1）可得，再通過錯位相減法求和即可.【小問1詳解】若選擇條件1，則有，可得，不滿足題意；若選擇條件2，則有，可得，滿足題意，故.【小問2詳解】由（1）可得，所以………①因此有……….②①②可得，即，化簡得.19、(1)沒有95%把握認為“圍棋迷”與性別有關.(2).【解析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數，填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（2）根據分層抽樣原理，用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，所以在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，從而列聯表如下非圍棋迷圍棋迷合計男301545女451055合計7525100因為，所以沒有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關.（2）由（1）中列聯表可知25名“圍棋迷”中有男生15名，女生10名，所以從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取的5名學生中，有男生3名，記為，有女生2名，記為.則從5名學生中隨機抽取2人出賽，基本事件有：，，，，，，，，，，共10種；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6種；故2人恰好一男一女的概率為.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖、獨立性檢驗和列舉法求概率的應用問題，是基礎題20、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時對應的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當a＝2時，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實數x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實數a的取值范圍.【點睛】結論點睛：本題考查根據充分不必要條件求參數，一般可根據如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應的集合與對應集合互不包含21、（1），（2）當時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關系式即可；（2）直接求導確定單調性后，求出最大值即可.【小問1詳