吉林省長春汽車經(jīng)濟開發(fā)區(qū)第六中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.2．已知F是雙曲線C：的一個焦點，點P在C的漸近線上，O是坐標原點，，則的面積為（）A.1 B.C. D.3．“若”為真命題，那么p是（

）A. B.C. D.4．已知向量與向量垂直，則實數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.65．已知一個圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.6．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.998．命題任意圓的內(nèi)接四邊形是矩形，則為（）A.每一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形B.有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形C.所有圓的內(nèi)接四邊形不是矩形D.存在一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形9．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.10．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.11．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.212．過拋物線的焦點引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點，則（）A.4 B.6C.8 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，O是AD邊中點，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求證：平面POC；（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.14．已知是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是________15．過點,的直線方程（一般式）為___________.16．已知拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，過點F和的直線l與拋物線C交于P，Q兩點.若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在空間直角坐標系Oxyz中，O為原點，已知點，，，設(shè)向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)k的值.18．（12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過點.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過點M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由.19．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）20．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值21．（12分）在數(shù)列中，，且，（1）求的通項公式；（2）求的前n項和的最大值22．（10分）在中，，，為邊上一點，且（1）求；（2）若，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，解得.故選：A.2、B【解析】根據(jù)給定條件求出，再利用余弦定理求出即可計算作答.【詳解】雙曲線C：中，，其漸近線，它與x軸的夾角為，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面積為.故選：B3、A【解析】求不等式的解集，根據(jù)解集判斷p.【詳解】由解得-2<x<4，所以p是.故選：A.4、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標計算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標公式可得：，解得，故選：【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，以及數(shù)量積的坐標公式，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計算可得，利用扇形的面積公式計算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B6、B【解析】求出直線與平行的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當(dāng)時，與平行，當(dāng)時，與平行，則直線與直線平行等價于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B7、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4，而，故時，輸出的值為，故選：D8、B【解析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A，C不符合題意，同時對結(jié)論進行否定，所以：有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形，故選：B.9、B【解析】設(shè)點P到準線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設(shè)點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為故選：B10、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.故選：A.11、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C12、C【解析】由題意可得，的方程為，設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計算即可求解.【詳解】由上可得：焦點，直線的方程為，設(shè)，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意，證明BCOA是平行四邊形，從而可得，然后根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；（2）證明BCDO是平行四邊形，從而可得，由題意，可建立以為軸建立空間直角坐標系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.【小問1詳解】證明：由題意，又，所以BCOA是平行四邊形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小問2詳解】解：，，所以BCDO是平行四邊形，所以，，而，所以，以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，設(shè)平面ABP的一個法向量為，則，取x=1，則，，所以，設(shè)直線PC與平面PAB所成角為，則，所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.14、【解析】先求得，再得出，對于任意的，都有成立，說明是中的最小項【詳解】由題意，∴，易知函數(shù)在和上都是減函數(shù)，且時，，即，時，，，由題意對于任意的，都有成立，則是最小項，∴，解得，故答案為：15、【解析】利用兩點式方程可求直線方程.【詳解】∵直線過點,，∴，∴，化簡得.故答案為：.16、9【解析】根據(jù)拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，求得拋物線方程.再由和，得到點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得的坐標，再由兩點間距離公式求解.【詳解】由拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，所以，所以拋物線方程為.因為，，所以點P的縱坐標為1，代入拋物線方程，可得點P的橫坐標為，不妨設(shè)，則，故直線l的方程為，將其代入得.可得，故.故答案為：9【點睛】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐標先求出，，，由向量的夾角公式可得答案.（2）由題意可得，從而求出參數(shù)的值【小問1詳解】由題，，，故，，，所以故與夾角余弦值為.【小問2詳解】由與的互相垂直知，，，即18、（1）；（2）存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過的點列式計算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB，設(shè)出其方程，借助弦長公式計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，，解得：，所以雙曲線C的標準方程是.【小問2詳解】假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設(shè)直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，設(shè)，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時，直線AB的方程為：或.19、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小問1詳解】解：因為，所以，解得，所以不等式的解集是；【小問2詳解】因為，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.20、（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，進而應(yīng)用弦長公式、點線距離公式及三角形面積公式求△面積的范圍，再逐個求解，，然后可證結(jié)論.【小問1詳解】由題意，解得，故橢圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線為，聯(lián)立得：，因為直線與橢圓C相切，則判別式，即，整理得，∴，故直線為，又，可得，設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，解得，故Q為，聯(lián)立方程組，化簡得設(shè)，由得：，且，①，到直線的距離為，∴，令，∴.②由上，故，于是為定值.【點睛】直線與橢圓的相切問題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問題的求解一般結(jié)合目標式中的項，逐個求解，代入驗證即可.21、（1）（2）40【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，判定數(shù)列是等差數(shù)列，然后