湖南省長沙同升湖實驗學校2023年高二上數學期末監測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線上一點到焦點的距離為5，則點的坐標為（）A. B.C. D.2．等差數列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.273．已知命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知三角形三個頂點為、、，則邊上的高所在直線的方程為（）A. B.C. D.5．楊輝三角是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發現這一規律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數組成一個鋸齒形數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數列中，第37項是A.153 B.171C.190 D.2106．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當旋轉拋物面的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉拋物面表面，經過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，形成太陽光線的高密集區，拋物面的焦點在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點到灶底（拋物線的頂點）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m7．函數的定義域為，，對任意，，則的解集為（）A. B.C. D.8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.9．動點P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.10．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球11．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.12．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區有3個疫苗接種定點醫院，現有10名志愿者將被派往這3個醫院協助新冠疫苗接種工作，每個醫院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.14．已知直線與圓交于，兩點，則的最小值為___________.15．已知直線和互相平行，則實數的值為___________.16．若隨機變量，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個圓的位置關系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個條件分別作答，按第一個作答計分18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求線段的長19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經過，兩點.（1）求圓C的標準方程.（2）設直線與圓C交于A，B（異于坐標原點O）兩點，若以AB為直徑的圓過原點，試問直線l是否過定點？若是，求出定點坐標；若否，請說明理由.20．（12分）已知等差數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D為棱上的點.（1）證明：；（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.22．（10分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設，由拋物線的方程可得準線方程為，由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，求出，解出縱坐標，進而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標，故選：C.2、B【解析】根據等差數列的前項和為具有的性質，即成等差數列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數列的前n項和，且，，所以成等差數列，所以，即，解得=18，故選：B.3、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為命題：或，命題：，所以是的必要不充分條件，故選：B4、A【解析】求出直線的斜率，可求得邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，因此，邊上的高所在直線的方程為.故選：A.5、C【解析】根據“楊輝三角”找出數列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關系即可。【詳解】由題意可得從第3行起的每行第三個數：，所以第行的第三個數為在該數列中，第37項為第21行第三個數，所以該數列的第37項為故選：C【點睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。6、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，根據是拋物線的焦點，求得拋物線的方程，進而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，O與C重合，設拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點，即，可得，所以拋物線的方程為，當時，，所以.故選：C.7、B【解析】構造函數，利用導數判斷出函數在上的單調性，將不等式轉化為，利用函數的單調性即可求解.【詳解】依題意可設，所以.所以函數在上單調遞增，又因為.所以要使，即，只需要，故選B.【點睛】本題考查利用函數的單調性解不等式，解題的關鍵就是利用導數不等式的結構構造新函數來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、A【解析】由同角公式求出，根據三角形面積公式求出，根據余弦定理求出，根據正弦定理求出.【詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎題.9、B【解析】設，根據兩點間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據圓的幾何性質，即可得答案.【詳解】設，圓化簡為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B10、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發生，但一定會有一個發生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C11、D【解析】根據兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.12、A【解析】根據兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數的全排列.【詳解】根據題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205014、【解析】先求出直線經過的定點，再求出圓心到定點的距離，數形結合即得解.【詳解】由題得，所以直線經過定點，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點的距離為，當時，取得最小值，且最小值為.故答案為：815、【解析】根據直線平行的充要條件即可求出實數的值.詳解】由直線和互相平行，得，即.故答案為：.16、2【解析】根據給定條件利用二項分布的期望公式直接計算作答.【詳解】因為隨機變量，所以.故答案：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進行比較即可；(2)根據點到直線的距離公式，先計算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C的圓心為，半徑為因為兩圓的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因為兩圓的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因為點C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長為18、（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一問根據面面垂直的性質和線面垂直的性質得出線線垂直的結論，注意在書寫的時候條件不要丟就行；第二問建立空間直角坐標系，利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值；第三問利用向量共線的關系，得出向量的坐標，根據線面平行得出向量垂直，利用其數量積等于零，求得結果.（Ⅰ）證明：因為平面⊥平面，且平面平面，因為⊥，且平面所以⊥平面因為平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因為，，，所以，所以⊥.所以，建立空間直角坐標系，如圖所示所以，，，，，，.易知平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則，即，令，則.設二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為（Ⅲ）解：因為點在棱，所以，因為，所以，.又因為平面，為平面的一個法向量，所以，即，所以所以，所以.19、（1）（2）過定點，定點為【解析】（1）設出圓C的標準方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設，，將直線的方程與圓C的方程聯立，得出韋達定理，由條件可得，從而得出答案.【小問1詳解】設圓C的標準方程為由題意可得解得，，.故圓C的標準方程為.【小問2詳解】設，.聯立整理的，則，，故.因為以AB為直徑的圓過原點，所以，即則，化簡得.當時，直線，直線l過原點，此時不滿足以AB為直徑的圓過原點.所以，則，則直線過定點.20、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問2詳解】解：，因此，.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為三棱柱是直三棱柱，且，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設，則，所以，所以，所以【小問2詳解】因為，所以，所以，設平面一個法向量為，則，令，則，設直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設正方形的邊長為1，，在中，，即得解.【小問1詳解】解：取的中點F，連接因為，則為正三角形，所以因