廣東省茂名市第十中學2024屆數學高二上期末學業質量監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則|QF|＝()A. B.C.3 D.22．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.3．已知，，若，則（）A.6 B.11C.12 D.224．已知長方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出S的結果是（）A.128 B.64C.16 D.326．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題7．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.8．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數學家、物理學家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數學家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.39．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.12010．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.611．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F分別為SA，BC的中點，點G在EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.12．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數列滿足，則__________.14．一個物體的運動方程為其中位移的單位是米，時間的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是__________米/秒15．雙曲線的離心率______.16．在空間直角坐標系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列是公差不為0的等差數列，數列是公比為2的等比數列，是，的等比中項，，.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和.18．（12分）已知直線經過橢圓的右焦點，且橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點M是第一象限內圓周上一點，過點M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右焦點為，試判斷的周長是否為定值．若是，求出該定值19．（12分）求下列函數的導數：（1）；（2）.20．（12分）自我國爆發新冠肺炎疫情以來，各地醫療單位都加緊了醫療用品的生產．某醫療器械廠統計了口罩生產車間每名工人的生產速度，并將所得數據分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計口罩生產車間工人生產速度的中位數（結果寫成分數的形式）；（2）為了解該車間工人生產速度是否與他們的工作經驗有關，現從車間所有工人中隨機抽樣調查了5名工人的生產速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數據如下表：工齡x（單位：年）4681012生產速度y（單位：件/小時）4257626267根據上述數據求每名工人的生產速度y關于他的工齡x的回歸方程，并據此估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為：，21．（12分）等差數列{an}的前n項和記為Sn，且.（1）求數列{an}的通項公式an（2）記數列的前n項和為Tn，若，求n的最小值.22．（10分）已知等差數列各項均不為零，為其前項和，點在函數的圖像上.（1）求的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和；（3）若數列滿足，求的前項和的最大值、最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】過點Q作QQ′⊥l交l于點Q′，利用拋物線定義以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【詳解】如圖所示：過點Q作QQ′⊥l交l于點Q′，因為，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點F到準線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故選C.【點睛】本題考查了拋物線的定義應用，意在考查學生的計算能力.2、A【解析】根據三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A3、C【解析】根據遞推關系式計算即可求出結果.【詳解】因為，，，則，，，故選：C.4、C【解析】建立空間直角坐標系，設直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，，則，，，，所以，，設直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.5、C【解析】根據程序框圖的循環邏輯寫出執行步驟，即可確定輸出結果.【詳解】根據流程圖的執行邏輯，其執行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C6、C【解析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯結詞“或”與“且”判斷命題的真假.【詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C7、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.8、D【解析】根據題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸時，即時，，即，故選：D9、A【解析】根據題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案【詳解】根據題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A10、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.11、B【解析】利用空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為，所以，因為E，F分別為SA，BC的中點，所以,故選：B12、D【解析】根據圓心坐標及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因為圓心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對遞推關系多遞推一次，再相減，可得，再驗證是否滿足；【詳解】∵①時，②①-②得，時，滿足上式，.故答案為：.【點睛】數列中碰到遞推關系問題，經常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.14、5【解析】，15、【解析】根據雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.16、【解析】根據向量坐標意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據是，的等比中項，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：因為是，的等比中項，且，，所以，解得，，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，則，兩式相減得，，，所以.18、（1）（2）周長是定值，且定值為4【解析】（1）首先求出直線與軸的交點，即可求出，再根據離心率求出，最后根據求出，即可得解；（2）：設直線的方程為、、，聯立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，即可表示出弦的長，再根據直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即可得到，再求出、，最后根據計算即可得解；【小問1詳解】解：因為經過橢圓的右焦點，令，則，所以橢圓的右焦點為，可得：，又，可得：，由，所以，∴橢圓的標準方程為；【小問2詳解】解：設直線的方程為，由得：，所以，設，，則：，所以.因為直線與圓相切，所以，即，所以，因為，又，所以，同理.所以，即的周長是定值，且定值為419、（1）；（2）.【解析】（1）根據導數的加法運算法則，結合常見函數的導數進行求解即可；（2）根據導數的加法和乘法的運算法則，結合常見函數的導數進行求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】.20、（1）（2）80件/小時【解析】（1）先利用等差數列的通項公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進行預測其生產速度.【小問1詳解】解：設前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當時，，即估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度為80件/小時.21、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差數列的通項公式列出方程組求解即可；（2）由裂項相消求和法得出，再由不等式的性質得出n的最小值.【小問1詳解】設等差數列{an}的公差為d，依題意有解得，所以an=2n.【小問2詳解】由（1）得，則，所以因為，即，解得n>99，所以n的最小值為100.22、（1）（2）（3）最大