廣東省越秀外國語學校2024屆數學高二上期末學業水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，為雙曲線：的焦點，為，（其中為雙曲線半焦距），與雙曲線的交點，且有，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．雙曲線的離心率的取值范圍為，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.3．的展開式中的系數是（）A. B.C. D.4．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－65．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標準方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝16．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.27．直線經過兩個定點，，則直線傾斜角大小是（）A. B.C. D.8．丹麥數學家琴生（Jensen）是世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，在上恒成立，則稱函數在上為“凹函數”.則下列函數在上是“凹函數”的是（）A. B.C. D.9．若，則與的大小關系是（）A. B.C. D.不能確定10．已知點，若直線與線段沒有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）A.4 B.9C.23 D.6412．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標為，且為直角三角形，則以直線為準線的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題，恒成立是假命題，則實數a取值范圍是________________14．已知向量，，若，則實數=________.15．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.16．如圖，在等腰直角△ABC中，，點P是邊AB上異于A、B的一點，光線從點P出發，經BC、CA反射后又回到原點P.若光線QR經過△ABC的內心，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在棱長為的正方體中，為中點（1）求二面角的大小；（2）探究線段上是否存在點，使得平面？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由18．（12分）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標準方程；（2）假設直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程19．（12分）區塊鏈技術被認為是繼蒸汽機、電力、互聯網之后，下一代顛覆性的核心技術區塊鏈作為構造信任的機器，將可能徹底改變整個人類社會價值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國的區塊鏈企業數量逐年增長，居世界前列現收集我國近5年區塊鏈企業總數量相關數據，如表年份20152016201720182019編號x12345企業總數量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.27936.224注：參考數據，，，（其中）.附：樣本的最小二乘法估計公式為，（1）根據表中數據判斷，與（其中，為自然對數的底數），哪一個回歸方程類型適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量？（給出結果即可，不必說明理由）（2）根據（1）的結果，求y關于x的回歸方程；（3）為了促進公司間的合作與發展，區塊鏈聯合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區塊鏈公司參賽比賽規則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優勝公司”，已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，則求甲公司獲得“優勝公司”的概率.20．（12分）如圖，在三棱錐中，側面PAB是邊長為4的正三角形且與底面ABC垂直，點D，E，F，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點（1）若點G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值21．（12分）已知，以點為圓心圓被軸截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若過點的直線與圓相切，求直線的方程.22．（10分）設P是拋物線上一個動點，F為拋物線的焦點.（1）若點P到直線距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據求得的關系，結合雙曲線的定義以及勾股定理，即可求得的等量關系，再求離心率即可.【詳解】根據題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點在雙曲線上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線的離心率為.故選：B.2、C【解析】分析可知，利用雙曲線的離心率公式可得出關于的不等式，即可解得實數的取值范圍.【詳解】由題意有，，則，解得：故選：C.3、B【解析】根據二項式定理求出答案即可.【詳解】的展開式中的系數是故選：B4、D【解析】根據向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D5、D【解析】根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.6、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.7、A【解析】由兩點坐標求出斜率，再得傾斜角【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角為故選：A8、B【解析】根據“凹函數”的定義逐項驗證即可解出【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B9、B【解析】由題知，進而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B10、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經過定點.因為，所以,所以要使直線與線段沒有公共點，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A11、C【解析】直接按程序框圖運行即可求出結果.【詳解】初始化數值，，第一次執行循環體，，，1≥4不成立；第二次執行循環體，，，2≥4不成立；第三次執行循環體，，，3≥4不成立；第四次執行循環體，，，4≥4成立；輸出故選：C12、B【解析】設點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準線的拋物線的標準方程.【詳解】設點位于第一象限，直線的方程為，聯立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準線的拋物線的標準方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線標準方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數在為減函數，∴，∴，∴實數a的取值范圍是,故答案為：.14、【解析】由可求得【詳解】因為，所以，故答案為：【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題15、1【解析】由題意，可得，設，，，根據是線段的中點，求出的坐標，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結論【詳解】解：由題意，可得，設，，，，是線段的中點，則，，，當且僅當時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：116、【解析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設出點的坐標，求得△的內心坐標，根據△內心以及關于的對稱點三點共線，即可求得點的坐標，則問題得解.【詳解】根據題意，以為坐標原點，建立平面直角坐標系，設點關于直線的對稱點為，關于軸的對稱點為，如下所示：則，不妨設，則直線的方程為，設點坐標為，則，且，整理得，解得，即點，又；設△的內切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內心坐標為，由及△的內心三點共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）點為線段上靠近點的三等分點【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出點的坐標，求出兩個平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設存在，設，利用相等向量求出坐標，利用線面平行的向量法代入公式計算即可.【小問1詳解】如下圖所示，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，．所以，設平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因為，，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問2詳解】假設在線段上存在點，使得平面，設，，，因為平面，所以，即所以，即解得所以在線段上存在點，使得平面，此時點為線段上靠近點的三等分點18、（1）；（2）【解析】（1）根據拋物線的定義，結合到焦點、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設矛盾，設直線方程聯立拋物線方程，應用韋達定理求，，進而求，由題設向量垂直的坐標表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設拋物線的方程為，又到焦點的距離是1，∴點到準線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是（2）假設直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯立可得交點、的坐標分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設不成立，∴直線的斜率存在．設直線為，整理得，設，，聯立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當時，直線的方程是，不滿足，舍去當時，直線的方程是，即，∴直線的方程是19、（1）（2）（3）【解析】（1）根據表中數據判斷y關于x的回歸方程為非線性方程；（2）令，將y關于x的非線性關系，轉化為z關于x的線性關系，利用最小二乘法求解；（3）利用相互獨立事件的概率相乘求求解；【小問1詳解】根據表中數據適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量.【小問2詳解】，，令，則，，由公式計算可知，即，即所以y關于x的回歸方程為【小問3詳解】設甲公司獲得“優勝公司”為事件.則所以甲公司獲得“優勝公司”的概率為.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由中位線的性質可得、、，再由線面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據面面平行的判定證明結論.（2）應用勾股定理、等邊三角形的性質、面面和線面垂直的性質可證、、兩兩垂直，構建空間直角坐標系，求面BPC、面PCA的法向量，再應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值.【小問1詳解】因為D，H分別是PA，PC的中點，所以因為E，F分別是AB，BC的中點，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點，又H是PC的中點，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小問2詳解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，則因為△PAB為等邊三角形，點E為AB的中點，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故綜上，以E為坐標原點，以EB，EF，EP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，有，，，，則，，設平面BPC的法向量為，則，令，則設平面PCA的法向量為，則，令，則所以．由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為21、（1）（2）或【解析】（1）根據垂徑定理，可直接計算出圓的半徑；（2）根據直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關于斜率的方程即可.【小問1詳解】不妨設圓的半徑為，根據垂徑定理，可得：解得：則圓的方程為：【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，則有：故此時直線與圓相切，滿足題意當直線的斜率存在時，不妨設直線的斜率為，點的直線的距離為直線的方程為：則有：解得：，此時直線的方程為：綜上可得，直線的方程為：或22、（1）；（