目錄摘要……………………1關鍵詞……………………1Abstract…………………...1Keywords………………....1前言……………………11.二重積分的概念………………………11.1二重積分的定義………………………11.2可積條件………………21.3可積類…………………21.4二重積分的性質………………………22.二重積分的計算方法………………..32.1直角坐標系下的二重積分的計算……………………32.2二重積分的變量變換………………...4普通情況下的變換……………….4極坐標計算二重積分…………….43.廣義二重積分…………64.二重積分的應用……………………...64.1體積……………………74.2曲面的面積……………84.3其它…………………....8參考文獻……………….....9二重積分的計算與應用學生姓名：學號：數學與信息科學學院數學與應用數學專業指導教師：職稱：摘要：研究了二重積分的幾何意義，概念，性質以及在直角坐標系及極坐標下的計算方法，并給出了計算公式及相關例題,最后總結了二重積分的計算方法.關鍵詞：二重積分;直角坐標系;極坐標;曲頂柱體ThecalculationandapplicationofdoubleintegralAbstract:Thispapermainlystudiesthegeometricsignificanceofdoubleintegral,theconcept,natureandcalculationmethodundertherectangularcoordinatesystemandpolarcoordinatecalculationmethod.KeyWords:Doubleintegral;Therectangularcoordinatesystem;Thepolarcoordinate;Curvedtopcylinder前言我們已經很熟悉定積分的一些性質及計算方法.同樣，二重積分在實際中應用廣泛，且有直觀的幾何解釋，所不同的是現在討論的對象為定義在平面區域上的二元函數.這類問題在物理學與工程技術中也常遇到，如求非均勻平面的質量、質心、轉動慣量等.二重積分的計算的基本途徑是將其轉化成二次積分計算，計算二重積分時選擇積分順序，交換積分次序以及轉換坐標系都是至關重要的問題.本文對二重積分的計算方法進行了全面的概括和總結，并對各種計算方法的選擇進行了認真地研究，為準確的計算二重積分提供有效的幫助.1.二重積分的概念1.1二重積分的定義設是定義在可求面積的有界閉區域上的函數.是一個確定的數，若對任給的某個正數，總存在某個正數，是對于的任何分割，當它的細度||||時，屬于的所有積分和都有則成在上可積，數稱為的二重積分，記為.1.2可積條件二重積分的可積條件與定積分類似(1)必要條件：函數在上可積，則在上必有界.(2)充要條件：=1\*GB3①函數在上可積(其中S，s分別為在上的上積分和下積分).=2\*GB3②函數在上可積對，存在分割，使得=3\*GB3③函數在上可積對，存在分割，使得 1.3可積類(1)有界閉區域上的連續函數必可積.(2)若在有界閉區域上有界，且僅在內有限條光滑曲線上不連續，則在上可積.1.4二重積分的性質性質4.1（線性性）.性質4.2（線性性）.性質4.3（分段可加性）.性質4.4（保不等式性）設,則.性質4.5設,則其中表示的面積.性質4.6(二重積分的中值定理)設函數在閉區域上連續，是的面積，則（，）使得=.其中中值定理的幾何意義：以D為底，z=(0)為曲頂的曲頂柱體體積等于一個同底的平頂柱體的體積，這個平頂柱體的高等于在區域D某點的函數值.2.二重積分的計算方法定理1設在矩形區域上可積，且對每個積分存在，則累次積分也存在，且.另外，同理.2.1直角坐標系下的二重積分的計算此方法的關鍵就是化二重積分為累次積分，對于一般區域，通?？梢苑譃橐韵聝煞N區域進行計算：=1\*GB3①X型區域：平面點集則化二重積分為累次積分.=2\*GB3②Y型區域：平面點集則化二重積分為累次積分.例1設D是由直線及圍成的區域，試計算.解利用Y型區域積分：.由分部積分法得.例2計算二重積分，其中D為由直線及所圍的三角形區域.解利用X型區域，則相應的所以.2.2二重積分的變量變換定理2設在有界閉區域上可積，變換T:將平面由按段光滑閉曲線所圍成的閉區域一對一的映成平面上的閉區域,函數在內分別具有一階連續偏導數且它們的行列式，則.普通情況下的變換例3求拋物線和直線所圍成的區域的面積（0）.解D的面積為了簡化積分區域，做變換則.由于,所以.極坐標計算二重積分當積分區域是圓域或圓域的一部分時，或者背積函數的形式為時，采用極坐標變換T：,則.定理3設滿足定理1的條件，且在極坐標變換下平面上有界閉區域與平面上區域對應，則成立.二重積分在極坐標下化為累次積分有以情況：1.型區域：若原點，且平面上射線常數與的邊界至多交與兩點,則必可表示為,于是有.R型區域：若平面上的圓常數與的邊界至多交與兩點，則必可表示為,于是有.2．若原點為的內點，的邊界的極坐標方程為，則必可表示成為,于是有.3．若原點O在的邊界上，則為,于是有.例4計算I=,其中為圓域解由于原點為的內點故有例5求球體被圓柱體所割下部分的體積（稱為維維安尼體（Viviani））.解由所求立體的對稱性，只要求出第一卦限的部分體積后乘以4即可.在第一卦限內的體積是一個曲頂柱體，其底為平面內由和所確定的區域，曲頂的方程為,所以.其中D=，用極坐標變換后有.3.廣義二重積分若在無界區域上則收斂在的任何有界子區域上可積,且積分值有上界.例6證明反常積分收斂,其中并由此計算概率積分證明設則顯然在上非負.設則顯然對的任何有限子集,只要充分大,總可使得于是有即廣義積分收斂.記則其中做極坐標代換則4.二重積分的應用二重積分在幾何、物理等許多學科中有著廣泛的應用，這里重點介紹它在幾何方面的應用．4.1體積根據二重積分的幾何意義，表示以為曲頂，以在坐標平面的投影區域為底的曲頂柱體的體積．因此，利用二重積分可以計算空間曲面所圍立體的體積．例7求橢球面所圍之橢球的體積．解由于橢球體在空間直角坐標系八個卦限上的體積是對稱的．令表示橢球面在坐標面第一象限的投影區域，則體積作廣義極坐標變換,則此變換的雅可比行列式，與相對應的積分區域此時從而例8求球面與圓柱面所圍立體的體積.圖1解由對稱性（圖1（）給出的是第一卦限部分）其中為半圓周及軸所圍成的閉區域（圖1（））．在極坐標系中，與閉區域相應的區域于是4.2曲面的面積設曲面的方程為它在面上的投影區域為求曲面的面積若函數在域上有一階連續偏導數，可以證明，曲面的面積（1）例9計算拋物面在平面下方的面積．解下方的拋物面在面的投影區域又=代入公式（1）并用極坐標計算，可得拋物面的面積如果曲面方程為或，則可以把曲面投影到或平面上，其投影區域記為或，類似地有或4.3其它例10平均利潤某公司銷售商品Ⅰ個單位，商品Ⅱ個單位的利潤現已知一周內商品Ⅰ的銷售數量在150～200個單位之間變化，一周內商品Ⅱ的銷售數量在80～100個單位之間變化．求銷售這兩種商品一周的平均利潤．解由于的變化范圍所以的面積由二重積分的中值定理，該公司銷售這兩種商品一周的平均利潤為（元）．參考文獻：[1]趙樹原,胡顯佑,陸啟良.微積分學習與考試指導[M].北京：中國人民大學出版社,199