孫恒芳教你學物理高中物理中的數學方法圓的妙用孫恒芳教你學物理 高中物理中的數學方法——圓的妙用方程與函數知識在高中物理中有非常廣泛的應用，與之相比，幾何知識的應用范圍就狹窄得多，但有些物理問題能夠巧妙運用幾何知識便捷地解決。在高中物理課程中與幾何知識結合最緊密的應該是圖像問題，關于物理圖像與數學圖像的聯系與區別，以后我們會專門討論，接下來以“圓”為角度總結下高中物理相關知識。高中物理知識中需用到的“圓”按其作用與功能可分為“矢量圓”“等時圓”“等勢圓”“等圓系”“諧振圓”等。本文試通過幾例來闡述輔助圓在解題中的妙用。一、矢量圓矢量即有大小，又有方向，且運算時滿足平行四邊行法則。在矢量的合成與分解中若能借助“矢量圓”就能有效地化繁為簡，并能加深對矢量概念的理解。在力度分解與運動的合成與分解處常會用到。例1一條寬為丄的河流，耶■流速為S船在崢術中劃行的速度為譏且密使船氧達對■岸的位移最逐船的就向如何?7解析；水流謹X船在靜水申的建度、與船的合速度旳構廉■二矢靈 冷 -尸D<二角孰耳蝦滿忒中的鬼匡V大■卜不變，方向不定，構建如團1所示_的矢W.晝腮當.AD2矢蓮區相切時，船航廳的位移最毎.臣圖可j'竺;]\二、等時圓等時圓模型如圖所示，豎直放置的圓環，若物體從最高點沿各光滑弦下滑至軌道與圓弧的交點，或圓弧上任意一點沿各光滑弦下滑至最低點，其如圖所示，豎直放置的圓環，若物體從最高點沿各光滑弦下滑至軌道與圓弧的交點，或圓弧上任意一點沿各光滑弦下滑至最低點，其下滑的時間相等.這樣的圓環稱之為“等時圓”。在解決有關動力學問題時，恰當地構建等時圓不但能化解難點，而且能激發學生的解題思維。創2兩光滑卅血的高度都為h,仏QD兩斜環勺惡長度都說A艮是汕絆面由兩部分蛆成，如冬5斯示，將甲、乙兩介相同曲小球從斜面的頂端同時出靜止釋茲不計協角處硯能量損孤問哪一水球先到達斜面底端￥屮解析’p解析’pf解法15.本題往往采用】：_r圖窸求解.蝕物體分別沿OC.0D斜面運動的匸-r髒/如團所示4）,田觴可謂乙瑾先到邊斜面底端n，（解法2）構建如圖§所示的等時圖交0C于丸點袞0D于B點.由“等時那可瓶匕=備。由機械能守恒定律可知：v￡＞巧,—=%,StLcZ\'￡D＞已*°又頁為兩斜■而的捕長蠻相等,所以&記＜s^-.,例3如囲7在蚪.坡上有一根裁桿杭鋪匚，現市一牛小環從旗桿就部迓一根光滯領蛭陽:骨車斜塩嵐2U圖弘部，又OB-Ln汞推環從弋滸到EJ的時間°2U圖弘解脈可羽0齒厠悅以1為半越畫一個區h根堀盒等時僵P的規律可知，從啟海!1E的時同等于從A點沿宜徑到底端D的旳間，所以有沖4如圈T所示，在恆角関直的傳送帶的正上希、疽一發童口葩軸了使貨物從靜出開妳由A盍M發貨口廈2解折，如園E所示.首先毆炭貨口至點.次衆高占忙一個嬴0右借送帶楫切，切點為乩然后辺圓00畫一條豎直統且月、而超揍去E舒直錢，就是旣過發唸口A,夏邁切點B旳惟一旳眩.+M發貨口廈2根據“等時園”旳規律，賃槪沿AB棗到達傳送時旳時間最短-因此，耕懵應沿衛方向安鬆衛所對的匱周角E対圓會角的一豐而圜C誦又等于a:所職^=-a□a5如圏9所示，直角三角形的絆邊偵痛為3D",底邊阮長2L,處在冰平位置，科邊杠是光常絕緣的，在底邊中點0處放疊「正電荷鳥一個質壹軸伽電量為q的帝負電劭質點機掛面預譜料邊

B.Wi點電荷沿誹面扣3下滑fl九包場力在不斷變就i無法和用動能定理及能里守叵簧系直瘙列式求解，尿而便解題陥人固境-4由幾何關系可引入圏口所示的等矣圓,.由于D、C二點位于同涯歿區上，屯荷從D運動到U電場力做叨為零，只有亙力故功，所以電荷在D點時機械能右C點胸機械能相等，即，"-mv.-.'=；站才4-msCE>：=±30:=^>v-=Ju'十、扛0啟電荷在仁"點受力（如圈&所示h由牛頓第二定律鬲"fc-^-cc-sSO0二mac1、尺四、等圓系帶電粒子進入勻強磁場，若帶電粒子的速度大小、方向不定，則粒子在磁場中作一系列圓心、半徑在時刻變化的“等圓系”，構建等圓系能化俗為奇。例6半徑為A1Dem的圜形旬強繼場，醫尊界蛉y軸翔切亍坐標原點，謎感應騷度帥2T,塗向些立紙面向里"在原點卩處疽一迪射源乩可沼舐而向各個希向射出速-寧均軸丫=3衛莒1（?叩飛旳d粒子，￡劎紘口粒子的質董為胛二&64xlO-：'As）電蚩?=32劃曠譏，試確芷a粒子適過磁場的量勺偏向角.4mv解暢丫o［粒子在磴場中作羋連為r的勻建圓周運動，巨得：■:,&64沢1。-「><3.2><10'mv3.2^10_1?k：0.3j2??7—20s?h*■*從而可掏建一系列半徑為汕曲并交于0點的等區I系（如圖1L所示h??7—20s?h*■*D所以a竝子的最大偏向角a=2arcsrn一二宛?r例1檢衆變鳳應需要扎百萬度咲上的荀込捕把島遍雜件下高速童動的雋于的隸在小迖圍內（否別不町能炭生械屁應h適常采用械掏束的方法（杷卡馬兌裝如囹1卩所和環狀甸強械邇圍咸中空國域'中空區域中旳帶電粒予長要述度孑是很大，都序僉穿出巔媯的外邊爆面被均束在塗區域瓦諫壞狀趙場旳悶半徑為點-J.5山外半輕用卩心磁媯曲磁感莊質若址束嬌帝碼粒子的荷虞比為◎/曠4><10飛/噸，+空區城內帝電籾干具有各個方向旳速度°試計耳*(1)：「粗子沿環狀旳半徑方向肘鳥磁場，不能肆越磁塌旳號大速度--(2：所有粽孑不腿穿越繼場的說土遊度°亠鮮析=屮￡1)粒子沿環伏的半徑肓向射AM-在槪區域中作區周運動，由于粒子的逮就小不定，構崖如團io所示的半徑不同的圉系，要使粒子不能芽越雀場，園勁不難得到粒子的臨畀靈聽與夕隔相切川由圖申知彳十町=[R.-r1)1,解得q=CL37切4由=剛匕得耳二二1二13x10「氏心 m所跟粒子沿環狀的半徑右向射入磁如不韭穿越惑場的誤大逋匿溝?\=1.5k]Qm'5□+J 團L如(21>有粒子在磁場中作半徑不定，凰心也不定的系列區，在所有同中粒子以三的謔庫沿2內圄相切育向射為磁場目動態區12外尿相切時，刖以￡諫彥造就向討入磁場區的粒子皚不能穿出磁場邊燼■:如圖□所示兒由囹中知宀=色工=0.2%.算出對庫的逋匿J:五、諧振圓當一個質點在一平面上做勻速圓周運動時，它的投影點的運動是簡諧運動，這個圓通常稱為“諧振圓”。換個說法，勻速圓周運動可以分解為兩個相互正交的簡諧運動。利用諧振圓，可以把振動這部分知識融為一體，而且它利用學生相對熟悉的圓周運動為起點，降低了學生的認知難度。利用諧振圓，能使問題直觀明了，在求解振動的時間問題時尤顯優勢。偵&如團1H所三.-K^球刑曲雞蛋扭軸是乩心短軸是饑皿鳴蛋諸T柚上做簡曇運劫?運動過TOC\o"1-5"\h\z程中櫚球的焦點在y軸上，雞蛋的貓點上奸不碰到収S ——>兩點-即在亠日乏問程復運動；現甫一支頤層在支架 A+*V E+2I"Wg圖14*J上.必車立干胡甜曲方向時出干弾丘奸時準*-122I"Wg圖14*J于弾弓甫啟質懸于獰的送度比?惰■蛋的速度大得釦嘶-24+j卞鹹子扣動坂機，那蟲他占中雞蛋的概年是亭圮？40+jc+j1?二1屮抵舷*0+jc+j1?二1屮抵舷*I圉1J/謖運動，但只有在a-=9cw到a-=