哈爾濱市第六中學2023年高二上數學期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.102．設直線的傾斜角為，且，則滿足A. B.C. D.3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A. B.C. D.4．已知等差數列的前n項和為，公差，若（，），則（）A.2023 B.2022C.2021 D.20205．已知正實數a，b滿足，若不等式對任意的實數x恒成立，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準線上的一動點，則的最小值為（）.A. B.C. D.7．七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.8．已知函數的導函數為，若的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.9．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥010．在數列中，，，，則（）A.2 B.C. D.111．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.12．已知集合，集合或，是實數集，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線斜率為___________.14．在空間直角坐標系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.15．已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點，若直線l直線AB，設直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.16．設與是定義在同一區間上的兩個函數，若函數在上有兩個不同的零點，則稱與在上是“關聯函數”.若與在上是“關聯函數”，則實數的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線，過焦點的直線l交拋物線C于M、N兩點，且線段中點的縱坐標為2（1）求直線l的方程；（2）設x軸上關于y軸對稱的兩點P、Q，（其中P在Q的右側），過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點，求證：始終被x軸平分18．（12分）已知是函數的一個極值點.（1）求實數的值；（2）求函數在區間上的最大值和最小值.19．（12分）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且(其中為原點)，求的取值范圍20．（12分）已知橢圓過點，且離心率（1）求橢圓的方程；（2）設點為橢圓的左焦點，點，過點作的垂線交橢圓于點，，連接與交于點①若，求；②求的值21．（12分）已知函數，為自然對數的底數.（1）當時，證明，，；（2）若函數在上存在極值點，求實數的取值范圍.22．（10分）已知函數，其中.（1）當時，求函數的單調性；（2）若對，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉化為兩圓有交點，即根據兩圓的位置關系，求參數的取值范圍.【詳解】設，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C2、D【解析】因為，所以，，，，故選D3、B【解析】根據已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結合的關系，即可求出結論.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則①.又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.4、C【解析】根據題意令可得，結合等差數列前n項和公式寫出，進而得到關于的方程，解方程即可.【詳解】因為，令，得，又，，所以，有，解得.故選：C5、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數即可.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號由題意，得，即對任意的實數x恒成立，又，所以，即故選：D6、A【解析】求出點坐標，做出關于準線的對稱點，利用連點之間相對最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準線方程為，，到準線的距離為2，故點縱坐標為1，把代入拋物線方程可得不妨設在第一象限，則，點關于準線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質，屬于基礎題7、C【解析】設正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C8、D【解析】根據導函數大于，原函數單調遞增；導函數小于，原函數單調遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導函數得圖象可得：時，，所以單調遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.9、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.10、A【解析】根據題中條件，逐項計算，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.11、A【解析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關系，屬于直線方程的基礎題型，需要學生對基礎知識熟練掌握12、A【解析】先化簡集合，再由集合的交集、補集運算求解即可【詳解】，或，故故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】首先求得的導數，由導數的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因為函數的導數為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：14、【解析】根據向量坐標意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:15、##0.25【解析】求出點A，B坐標，設出直線l的方程，聯立直線l與橢圓方程，借助韋達定理即可計算作答.【詳解】依題意，點，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設，則，有，因此，，所以的值為.故答案：16、【解析】令得，設函數，則直線與函數在區間上的圖象有兩個交點，利用導數分析函數的單調性與極值，利用數形結合思想可求得實數的取值范圍.【詳解】令得，設函數，則直線與函數在區間上的圖象有兩個交點，，令，可得，列表如下：極小值，，如圖所示：由圖可知，當時，直線與函數在區間上的圖象有兩個交點，因此，實數的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設直線l的方程為：，聯立方程，利用韋達定理可得結果；（2）設，借助韋達定理表示，即可得到結果.【詳解】（1）由已知可設直線l的方程為：，聯立方程組可得，設，則又因為，得，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設，可設過P的直線為聯立方程組可得，顯然設，則所以所以始終被x軸平分18、（1）3（2），【解析】（1）先求出函數的導數，根據極值點可得導數的零點，從而可求實數的值；（2）由（1）可得函數的單調性，從而可求最值.【小問1詳解】，是的一個極值點,.，，此時，令，解劇或，令，解得，故為的極值點，故.【小問2詳解】由（1）可得在上單調遞增，在上單調遞減，故在上為增函數，在上為減函數，.又19、（1）；（2）【解析】（1）求出橢圓的焦點和頂點，即得雙曲線的頂點和焦點，從而易求得標準方程；（2）將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得的取值范圍，設，由韋達定理得則代入可求得的范圍【詳解】(1)設雙曲線的方程為，則，再由，得故的方程為(2)將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得①設則又，得，，即，解得②由①②得＜k2＜1，故的取值范圍【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線相交中的范圍問題．應注意：(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍(2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍20、（1）（2）①,②【解析】（1）由題意得解方程組求出，從而可得橢圓的方程，（2）①由題意可得的方程為，再與橢圓方程聯立，解方程組求出的坐標，從而可求出；②當時，，當時，直線方程為，與橢圓方程聯立，消去，利用根與系數的關系，結合中點坐標公式可得中點的坐標，再將直線的方程與方程聯立，求出點的坐標，從而可求出的值【小問1詳解】由題意得解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】①當時，直線的斜率，則的垂線的方程為由得解得故，，②由，，顯然斜率存在，，當時，當時，直線過點且與直線垂直，則直線方程為由得顯然設，，則，則中點直線的方程為，由得所以綜上的值為21、（1）證明見解析：（2）【解析】(1)代入,求導分析函數單調性,再的最小值即可證明.(2),若函數在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數的零點存在定理討論導函數的零點即可.【詳解】(1)證明：當時,,則,當時,,則,又因為,所以當時,,僅時,,所以在上是單調遞減,所以,即.(2),因為,所以,①當時,恒成立,所以在上單調遞增,沒有極值點.②當時,在區間上單調遞增,因為.當時,,所以在上單調遞減,沒有極值點.當時,,所以存在,使當時,時,所以在處取得極小值,為極小值點.綜上可知,若函數在上存在極值點,則實數.【點睛】本題主要考查了利用導函數求解函數的單調性與最值,進而證明不等式的方法.同時也考查了利用導數分析函數極值點的問題,需要結合零點存在定理求解.屬于難題.22、（1）的單調遞增