貴州省銅仁市德江一中2023年數學高二上期末聯考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.2．設是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.483．已知平面的一個法向量為，則x軸與平面所成角的大小為（）A. B.C. D.4．直線的一個方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.5．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.6．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術.如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點都在該圓上，若在該圓形剪紙的內部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內部的概率為（）A. B.C. D.7．已知點，Q是圓上的動點，則線段長的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.68．現有4本不同的書全部分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，則不同的分法有（）A.12種 B.24種C.36種 D.48種9．若曲線表示圓，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.10．設，，且，則等于（）A. B.C. D.11．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數的極大值點B.函數在區間上單調遞增C.是函數的最小值點D.曲線在處切線的斜率小于零12．對于實數a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列{}的通項公式為，前n項和為，當取得最小值時，n的值為___________.14．已知偶函數部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為______.15．與雙曲線有共同漸近線，并且經過點的雙曲線方程是______16．阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓經過點，則當取得最大值時，橢圓的面積為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生的人數及圖中的值；（2）估計樣本數據的中位數（保留兩位小數）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數.18．（12分）已知函數，，其中為自然對數的底數.（1）若為的極值點，求的單調區間和最大值；（2）是否存在實數，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且橢圓過點，離心率，為坐標原點，過且不平行于坐標軸的動直線與有兩個交點，，線段的中點為.（1）求的標準方程；（2）記直線斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點，使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知，命題p：對任意，不等式恒成立；命題q：存在，使得不等式成立；（1）若p為真命題，求a的取值范圍；（2）若為真命題，求a的取值范圍21．（12分）已知函數，其中常數，（1）求單調區間；（2）若且對任意，都有，證明：方程有且只有兩個實根22．（10分）已知的三個頂點的坐標分別為，，（1）求邊AC上的中線所在直線方程；（2）求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B2、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎題型.3、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為，再利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解；【詳解】解：依題意軸的方向向量可以為，設x軸與平面所成角為，則，因為，所以，故選：C4、A【解析】根據的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A5、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.6、D【解析】設圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：設圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內部的概率;故選：D7、A【解析】根據圓的幾何性質轉化為圓心與點的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點在線段上時，，故選：A8、C【解析】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列求解.【詳解】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列，則有種分法，故選：C9、C【解析】按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.【詳解】或.故選：C.10、A【解析】由空間向量垂直的坐標表示可求得實數的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：A.11、B【解析】根據導函數的圖象，得到函數的單調區間與極值點，即可判斷；【詳解】解：由導函數的圖象可知，當時，當時，當時，當或時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取得極小值即最小值，所以是函數的極小值點與最小值點，因為，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B12、C【解析】對于選項A，可以舉反例判斷；對于選項BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項錯誤；B.，所以，所以該選項錯誤；C.，所以該選項正確；D.，所以該選項錯誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】首先求出數列的正負項，再判斷取得最小值時n的值.【詳解】當，，解得：，當和時，，所以取得最小值時，.故答案為：714、【解析】由函數的圖象得出當時，，再由函數是偶函數，其圖象的性質，即可得出答案.【詳解】是偶函數，且，所以，由圖象得當時，.又函數是偶函數，其圖像關于y軸對稱，當時，，所以不等式的解集為.故答案為：.15、【解析】設雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結果【詳解】設與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設為，只需根據已知條件求出即可.16、【解析】利用基本不等式得出取得最大值時的條件結合可知，再利用點在橢圓方程上，故可求得、的值,進而求出橢圓的面積.詳解】由基本不等式可得，當且僅當時取得最大值，由可知，∵橢圓經過點，∴，解得，，則橢圓的面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）樣本中高一年級學生的人數為，；（2）；（3）【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得中位數的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數.【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數據的中位數約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數據落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數約為.18、（1）單調增區間是，單調減區間是；最大值為；（2）存在，.【解析】（1）利用為的極值點求得，進而可得函數的單調區間和最大值；（2）對導函數，分與進行討論，得函數的單調性進而求得最值，再由最大值是求出的值.【詳解】解：.（1）∵，，∴，由，得.∴，∴，，，，∴的單調增區間是，單調減區間是；的極大值為；也即的最大值為.（2）解：∵，∴，①當時，單調遞增，得的最大值是，解得，舍去；②時，由，即，當，即時，∴時，；時，；∴的單調增區間是，單調減區間是，又在上的最大值為，∴，∴；當，即時，在單調遞增，∴的最大值是，解得，舍去；綜上：存在符合題意，此時.【點睛】本題主要考查了函數的導數在求解函數的單調性及求解函數的最值中的應用，還考查了函數的最值求解與分類討論的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的條件.19、（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】（1）由橢圓所過點及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設出點A，B坐標并列出它們滿足的關系，利用點差法即可作答；（3）設直線的方程，聯立直線與橢圓的方程，借助韋達定理求得，，再結合為等邊三角形的條件即可作答.【詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標準方程為；（2）設，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點P，由(1)知，設直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點，，因為等邊三角形，即有，，因此，，，從而得，整理得，無解，所以在y軸上不存在點，使得為等邊三角形.20、（1）（2）【解析】（1）利用判別式可求的取值范圍，注意就是否為零分類討論；（2）根據題設可得真或真，后者可用參變分離求出的取值范圍，結合（1）可求的取值范圍.【小問1詳解】當p為真命題時，當時，不等式顯然成立；當時，解得，故a取值范圍為.【小問2詳解】當q為真命題時，問題等價于存在，使得不等式成立，即，∵，當且僅當x=1時等號成立，∴因為為真命題，所以真或真，故a的取值范圍是21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，談論參數的范圍，根據導數的正負，可得單調區間；（2）由已知可解得，構造函數，再根據（1）的結論，可知函數的單調性，結合零點存在定理，可證明結論.【小問1詳解】定義域為，因為，若，，所以單調遞減區間為，若，,當時，，當時，