第一節函數的概念及其表示第三章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養1.了解函數的概念,會求簡單的函數的定義域和值域.2.理解函數的三種表示法:解析法、圖象法和列表法.3.了解簡單的分段函數,會用分段函數解決簡單的問題.1.函數的定義域2.函數的解析式3.以分段函數為背景的問題數學抽象邏輯推理數學運算數學建模強基礎增分策略知識梳理1.函數的概念一般地,設A,B是

的實數集,如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對應關系f,在集合B中都有

的數y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x∈A.

非空

唯一確定

2.函數的定義域、值域

(1)在函數y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的

;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的

叫做函數的

.

(2)如果兩個函數的

相同,并且

完全一致,那么這兩個函數是同一個函數.

函數的定義域和值域必須寫成集合(或區間)的形式

定義域

集合{f(x)|x∈A}值域

定義域

對應關系

微點撥對函數概念的理解

(1)函數的三要素是定義域、值域和對應關系;(2)如果兩個函數的定義域和對應關系相同,這兩個函數就是同一個函數,這是判斷兩個函數是否為同一個函數的依據;(3)函數常用的表示方法有:解析法、列表法、圖象法.3.分段函數

(1)若函數在其定義域的不同子集上,因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數稱為分段函數.(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集,其值域等于各段函數的值域的并集,分段函數雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數.解析式中含有絕對值的函數經常可化為分段函數

微拓展復合函數:一般地,對于兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數,記作y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做復合函數y=f(g(x))的外層函數,u=g(x)叫做y=f(g(x))的內層函數.常用結論1.直線x=a(a為常數)與函數y=f(x)的圖象至多有一個交點.2.只要兩個函數的定義域和對應關系相同,那么它們的值域一定相同.4.常見函數的定義域:①一次函數、二次函數的定義域為R;②分式函數中分母不能為0;③偶次根式函數的被開方式非負;④零次冪的底數不能為0;⑤y=ax(a>0,a≠1),y=sin

x,y=cos

x的定義域為R;⑥y=logax(a>0,a≠1)的定義域為(0,+∞);⑦y=tan

x的定義域為對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若兩個函數的值域和對應關系相同,則這兩個函數必為同一個函數.(

)(3)任何函數的圖象均不可能是一條封閉的曲線.(

)××√×答案

(-∞,0)∪(0,1]

解析要使函數f(x)有意義,則

即x∈(-∞,0)∪(0,1].答案

[0,1)

解析

依題意得ax2-2ax+1≠0對?x∈R恒成立.當a=0時,滿足條件;當a≠0時,應有Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.綜上,實數a的取值范圍是[0,1).增素能精準突破考點一函數的定義域典例突破例1.(1)(2022陜西西安模擬)已知函數f(x)=lnx+,則函數f(2x)的定義域為(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(0,4] D.(0,2]答案(1)D

突破技巧1.求函數定義域的三種常考類型及求解策略(1)已知函數的解析式:構建使解析式有意義的不等式(組)求解.(2)復合函數:①若已知函數f(x)的定義域為[a,b],則復合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函數f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]時的值域.(3)實際問題:既要使構建的函數解析式有意義,又要考慮實際問題的要求.2.求函數定義域的注意點(1)不要對解析式進行化簡變形,以免定義域變化.(2)當一個函數由有限個基本初等函數的和、差、積、商的形式構成時,定義域一般是各個基本初等函數定義域的交集.(3)定義域是一個集合,要用集合或區間表示,若用區間表示,不能用“或”連接,而應該用并集符號“∪”連接.對點訓練1(1)已知函數f(x)的定義域為[-2,1],則函數y=的定義域為(

)A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)(2)已知函數y=f的定義域是[1,+∞),則函數y=f(x)的定義域是

.

答案(1)D

(2)(1,2]

考點二函數的解析式典例突破例2.根據下列條件求函數的解析式:(1)已知f(x)是一次函數,且滿足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;(2)已知函數f(x)滿足f(cosx-1)=cos2x-1,求f(x)的解析式;(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.解

(1)依題意設f(x)=ax+b(a≠0),則由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,(2)函數f(x)滿足f(cos

x-1)=cos

2x-1=2cos2x-1-1=2cos2x-2,設cos

x-1=t,則cos

x=t+1,由cos

x∈[-1,1]知t∈[-2,0],故原函數可轉化為f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],即f(x)的解析式為f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).故函數f(x)的解析式為f(x)=x2-2(x≥2).(4)因為f(x)+2f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②方法總結求函數解析式的常用方法

對點訓練2(1)若函數f(x)滿足f(x)-2f=x+2,則f(2)=(

)A.0 B.2 C.3 D.-3(2)若一次函數f(x)滿足f(f(x))=x+1,則g(x)=

(x>0)的值域為

.

答案(1)D

(2)[2,+∞)

考點三以分段函數為背景的問題(多考向探究)考向1.求值問題典例突破例3.(1)若函數f(x)=滿足f(a)=f(2a),則f(2a)的值等于(

)A.-2 B.0 C.2 D.-4答案(1)C

(2)2

(2)f(f())=f(6-4)=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.解析(1)由題意易知,函數f(x)在區間(0,2)內單調遞增,在區間[2,+∞)內單調遞減,若f(a)=f(2a),則a,2a不在同一個單調區間上.作出函數f(x)的圖象,如圖所示.又2a>a,∴一定有a∈(0,2),2a∈[2,+∞),∴2a=4-2a,即2a=2,∴a=1.故f(2a)=f(2)=4-2=2.故選C.突破技巧求解分段函數求值問題的策略(1)求分段函數的函數值時,要先確定所求值的自變量屬于哪一區間,然后代入該區間對應的解析式求值;(2)當出現f(f(a))的形式時,應從內到外依次求值;(3)當自變量的值所在區間不確定時,要分類討論,分類標準應參照分段函數不同段的端點;(4)求參數或自變量的值或取值范圍時,先在分段函數的各段上分別求解,然后將求出的值或取值范圍與該段函數的自變量的取值范圍求交集,最后將各段的結果合起來(取并集)即可.解析(1)由題意知,當x>0時,f(x)<0;當x≤0時,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.由f(x)=4,得x2+2x+4=4,x≤0,解得x=0或x=-2.因為f(a)=0不存在,所以舍去.由f(a)=-2,即-ea=-2,得a=ln

2.考向2.分段函數與不等式典例突破例4.設函數f(x)=則不等式f(1-|x|)+f(2)>0的解集為

.

答案

(-3,3)

解析

由函數解析式知f(x)在R上單調遞增,且-f(2)=-2=f(-2),則f(1-|x|)+f(2)>0?f(1-|x|)>-f(2)=f(-2),由單調性知1-|x|>-2,解得-3<x<3.突破技巧解決分段函數與不等式問題的基本策略(1)分類討論:解由分段函數構成的不等式,一般要根據分段函數的不同分段區間進行分類討論,根據每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗所求自變量的值(取值范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍,然后將各段的結果求并集即可.(2)數形結合:解決分段函數問題時,通過畫出函數的圖象,對代數問題進行轉化,結合圖形直觀地分析判斷,可以快速準確地解決問題.D考向3.與分段函數有關的最值與范圍問題典例突破

例5.(1)已知函數f(x)=若存在實數a,b,c,當a<b<c時,滿足f(a)=f(b)=f(c),則af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范圍是(

)A.(-4,0) B.(-3,0) C.[-4,0) D.[-3,0)(2)已知函數f(x)=若f(x1)=f(x2),則|x1-x2|的最大值是

.

由圖可知a+b=-4,0<c<1,所以af(a