安徽省合肥高升學校2023-2024學年高二數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列滿足，其前項和為，，．若數列的前項和為，則滿足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.132．不等式的解集為（）A. B.C. D.3．下圖是一個“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉時形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點A與點C，點B與點D均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm4．函數，若實數是函數的零點，且，則（）A. B.C. D.無法確定5．為了更好地解決就業問題，國家在2020年提出了“地攤經濟”為響應國家號召，有不少地區出臺了相關政策去鼓勵“地攤經濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質優價廉，供不應求，據測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續，預計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元6．已知數列是首項為，公差為1的等差數列，數列滿足．若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（）A.， B.C.， D.7．已知動點的坐標滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.8．直線的傾斜角為（）A B.C. D.9．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A B.C. D.10．某工廠去年的電力消耗為千瓦，由于設各更新，該工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦11．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．若關于一元二次不等式的解集為，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側面BCC1B1上的動點，且AP⊥BD1，記點P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為____________.14．不等式的解集為，則________15．若滿足約束條件，則的最大值為_____________16．當曲線與直線有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍是____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，FA⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2（1）求證：平面FAC⊥平面EFC；（2）求多面體ABCDEF的體積18．（12分）已知直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點.（1）若直線的斜率為1，求；（2）若，求直線的方程.19．（12分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值20．（12分）已知函數（1）求函數在區間上的最大值和最小值；（2）求出方程的解的個數21．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.22．（10分）某地區2021年清明節前后3天每天下雨的概率為50%，通過模擬實驗的方法來計算該地區這3天中恰好有2天下雨的概率．用隨機數x（，且）表示是否下雨：當時表示該地區下雨，當時，表示該地區不下雨，從隨機數表中隨機取得20組數如下：332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出m的值，并根據上述數表求出該地區清明節前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2012年到2020年該地區清明節當天降雨量（單位：）如表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）．時間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經研究表明：從2012年至2021年，該地區清明節有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸，求回歸直線方程，并計算如果該地區2021年（）清明節有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：，參考數據：，，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題意和對數的運算公式可證得為以2為首項，2為公比的等比數列，求出，進而得到，利用裂項相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A2、A【解析】根據一元二次不等式的解法進行求解即可.【詳解】，故選：A.3、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對稱性設出點A，B，D坐標，求出坐標，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因為離心率，所以，，故雙曲線方程為，設，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B4、A【解析】利用函數在遞減求解.【詳解】因為函數在遞減，又實數是函數的零點，即，又因為，所以，故選：A5、D【解析】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關系，變形構造出等比數列，由得其通項公式后可得結論【詳解】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數列是等比數列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數列的實際應用．解題方法是用數列表示月初進貨款，得出遞推關系，然后構造等比數列求解6、D【解析】由等差數列通項公式得，再結合題意得數列單調遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據題意：數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，由于數列滿足，所以對任意的都成立，故數列單調遞增，且滿足，，所以，解得故選：7、C【解析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.8、C【解析】設直線傾斜角為，則，再結合直線的斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】設直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C9、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.10、D【解析】根據等比數列的定義進行求解即可.【詳解】因為去年的電力消耗為千瓦，工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠第5年消耗的電力為，故選：D11、D【解析】根據給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D12、B【解析】結合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關于的一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得的坐標之間的關系，以及坐標的范圍，即可求得結果.【詳解】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系如下所示：設，則，，∵，∴，解得，因為，所以c的最大值為，即點P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.14、【解析】由一元二次方程與一元二次不等式之間的關系可知，方程的兩根是，所以因此.考點：一元二次方程與一元二次不等式之間的關系.15、【解析】由下圖可得在處取得最大值，即.考點：線性規劃.【方法點晴】本題考查線性規劃問題，靈活性較強，屬于較難題型.考生應注總結解決線性規劃問題的一般步驟（1）在直角坐標系中畫出對應的平面區域，即可行域；（2）將目標函數變形為；（3）作平行線：將直線平移，使直線與可行域有交點，且觀察在可行域中使最大（或最小）時所經過的點，求出該點的坐標；（4）求出最優解：將（3）中求出的坐標代入目標函數，從而求出的最大（小）值.16、【解析】求出直線恒過的定點，結合曲線的圖象，數形結合，找出臨界狀態，即可求得的取值范圍.【詳解】因為，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因為，即，其表示過點，且斜率為的直線.在同一坐標系下作圖如下：不妨設點，直線斜率為，且過點與圓相切的直線斜率為數形結合可知：要使得曲線與直線有兩個不同的交點，只需即可.容易知：；不妨設過點與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)連接BD交AC于點O，設FC的中點為P，連接OP，EP，證明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.(2)求出三棱錐和四棱錐的體積即可計算作答.【小問1詳解】連接BD交AC于點O，設FC的中點為P，連接OP，EP，如圖，菱形ABCD中，O為AC的中點，則OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，于是得OP//ED，且OP=ED，即有四邊形OPED為平行四邊形，則OD//EP，即BD//EP，因為FA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，則FA⊥BD，又四邊形ABCD是菱形，即BD⊥AC，而FAAC=A，平面FAC，因此，BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP平面EFC，所以平面FAC⊥平面EFC.【小問2詳解】由已知，是正三角形，，則，取AD的中點G，連接CG，而△ACD為正三角形，從而有CG⊥AD，且，因FA⊥平面ABCD，FA平面ADEF，則平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCD=AD，而CG平面ABCD，因此，CG⊥平面ADEF，則點C到平面ADEF的距離為，又，于是得，所以多面體ABCDEF的體積.18、（1）8（2）【解析】（1）設，由，進而結合拋物線的定義，將點到焦點的距離轉化為到準線的距離，最后求得答案；（2）由，所以，設出直線方程并代入拋物線方程，進而結合根與系數的關系求得答案.【小問1詳解】設，拋物線的準線方程為：，因為，由拋物線定義可知，.直線，代入拋物線方程化簡得：，則，所以.【小問2詳解】設，代入拋物線方程化簡得：，所以，因為，所以，于是則直線的方程為：.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點O，連接OE，得到，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據，底面，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，再根據底面，得到平面一個法向量，然后由夾角公式求解.【小問1詳解】如圖所示：連接與交于點O，連接OE，如圖，由分別為的中點所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由，底面，故底面建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設平面的一個法向量為：，則，即，令，則，則，因為底面，所以為平面一個法向量，所以所以平面與平面CEB夾角的余弦值為.20、（1）f(x)的最大值為7，最小值為－33；（2）見解析.【解析】(1)求函數f(x)的導數，列表求其單調性即可；(2)求出函數f(x)的極值即可.【小問1詳解】023+-+f(－2)＝－33↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗f(3)＝7∴f(x)的最大值為7，最小值為－33；【小問2詳解】02+-+↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗當a＜－1或a＞7時，方程有一個根；當a＝－1或7時，方程有兩個根；當－1＜a＜7時，方程有三個根.21、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關系可得，即可求目標式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，