2023-2024學年河南省南陽市鄧州市十林中學九年級第一學期第一次月考數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分）1．比較2，，的大小，正確的是（）A． B． C． D．2．不等式組有3個整數解，則a的取值范圍是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣53．下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．1，， B．，， C．6，7，8 D．2，3，44．今年一季度，河南省對“一帶一路”沿線國家進出口總額達214.7億元，數據“214.7億”用科學記數法表示為（）A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×10115．在數軸上，點A，B在原點O的兩側，分別表示數a，2，將點A向右平移1個單位長度，得到點C，若CO＝BO，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．16．若一個凸多邊形的內角和為720°，則這個多邊形的邊數為（）A．4 B．5 C．6 D．77．如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，BD＝12，則△DOE的周長為（）A．15 B．18 C．21 D．248．如圖，平行于x軸的直線與函數y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的圖象分別相交于A，B兩點，點A在點B的右側，C為x軸上的一個動點，若△ABC的面積為4，則k1﹣k2的值為（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣49．根據圓規作圖的痕跡，可以用直尺成功找到三角形外心的是（）A． B． C． D．10．如圖，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．計算：（+）（﹣）2＝．12．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝．13．若式子﹣2在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．14．把長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，得到如圖所示的圖形，AD平分∠B′AC，則∠B′CD＝．15．如圖所示，直線a經過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為．16．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，則AH＝．三、解答題（本大題共6小題，共72分）17．解方程：+1＝．18．計算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．19．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．20．在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖1，連接DC，DB，設△BCD的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，過點D作DM⊥BC于點M，是否存在點D，使得△CDM中的某個角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．21．在一次中學生田徑運動會上，根據參加男子跳高初賽的運動員的成績（單位：m），繪制出統計圖①和圖②．請根據相關信息，解答下列問題：（1）圖①中a的值為；（2）求統計的這組初賽成績數據的平均數、眾數和中位數；（3）根據這組初賽成績，由高到低確定9人能進入復賽，請直接寫出初賽成績為1.75m的運動員能否進入復賽．22．隨著中國傳統節日“端午節”的臨近，東方紅商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這批粽子比不打折節省了多少錢？

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分）1．比較2，，的大小，正確的是（）A． B． C． D．【分析】先分別求出這三個數的六次方，然后比較它們的六次方的大小，即可比較這三個數的大小．解：∵26＝64，，，而49＜64＜125，∴，∴．故選：C．【點評】此題考查的是實數的比較大小，根據開方和乘方互為逆運算將無理數化為有理數，然后比較大小是解決此題的關鍵．2．不等式組有3個整數解，則a的取值范圍是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5【分析】根據解不等式組，可得不等式組的解，根據不等式組的解有3個整數解，可得答案．解：不等式組，由﹣x＜﹣1，解得：x＞4，由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，故不等式組的解集為：4＜x≤2﹣a，由關于x的不等式組有3個整數解，解得：7≤2﹣a＜8，解得：﹣6＜a≤﹣5．故選：B．【點評】本題考查了一元一次不等式組，利用不等式的解得出關于a的不等式是解題關鍵．3．下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．1，， B．，， C．6，7，8 D．2，3，4【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．解：A、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合題意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合題意；C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合題意；D、∵22+32≠42，故不是直角三角形，不合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．4．今年一季度，河南省對“一帶一路”沿線國家進出口總額達214.7億元，數據“214.7億”用科學記數法表示為（）A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．解：214.7億，用科學記數法表示為2.147×1010，故選：C．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．5．在數軸上，點A，B在原點O的兩側，分別表示數a，2，將點A向右平移1個單位長度，得到點C，若CO＝BO，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根據CO＝BO可得點C表示的數為﹣2，據此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．解：∵點C在原點的左側，且CO＝BO，∴點C表示的數為﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故選：A．【點評】本題考查的是數軸，熟知數軸上兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．6．若一個凸多邊形的內角和為720°，則這個多邊形的邊數為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】設這個多邊形的邊數為n，根據多邊形的內角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．解：設這個多邊形的邊數為n，則（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，故這個多邊形為六邊形．故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內角和定理，關鍵是根據n邊形的內角和為（n﹣2）×180°解答．7．如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，BD＝12，則△DOE的周長為（）A．15 B．18 C．21 D．24【分析】利用平行四邊形的性質，三角形中位線定理即可解決問題．解：∵平行四邊形ABCD的周長為36，∴BC+CD＝18，∵OD＝OB，DE＝EC，∴OE+DE＝（BC+CD）＝9，∵BD＝12，∴OD＝BD＝6，∴△DOE的周長為9+6＝15，故選：A．【點評】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形中位線定理，屬于中考常考題型．8．如圖，平行于x軸的直線與函數y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的圖象分別相交于A，B兩點，點A在點B的右側，C為x軸上的一個動點，若△ABC的面積為4，則k1﹣k2的值為（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】設A（a，h），B（b，h），根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出ah＝k1，bh＝k2．根據三角形的面積公式得到S△ABC＝AB?yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，求出k1﹣k2＝8．解：∵AB∥x軸，∴A，B兩點縱坐標相同．設A（a，h），B（b，h），則ah＝k1，bh＝k2．∵S△ABC＝AB?yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，∴k1﹣k2＝8．故選：A．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，點在函數的圖象上，則點的坐標滿足函數的解析式．也考查了三角形的面積．9．根據圓規作圖的痕跡，可以用直尺成功找到三角形外心的是（）A． B． C． D．【分析】三角形的外心是各邊垂直平分線的交點，有差評得即可．解：三角形的外心的各邊垂直平分線的交點，選項C滿足條件．故選：C．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，三角形的外心等知識，解題關鍵是讀懂圖象信息，理解三角形的外心是各邊垂直平分線的交點．10．如圖，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【分析】將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據旋轉的性質得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延長BP，作AF⊥BP于點FAP＝3，PE＝4，根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度數，在直角△APF中利用三角函數求得AF和PF的長，則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進而求得三角形ABC的面積．解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F．如圖，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．∴∠APF＝30°，∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．則△ABC的面積是?AB2＝?（25+12）＝．故選：A．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理以及旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．計算：（+）（﹣）2＝﹣．【分析】原式變形后，利用平方差公式計算即可求出值．解：原式＝[（+）（﹣）]（﹣）＝（3﹣2）（﹣）＝﹣．故答案為：﹣．【點評】此題考查了二次根式的混合運算，以及平方差公式，熟練掌握公式及運算法則是解本題的關鍵．12．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝（y﹣1）2（x﹣1）2．【分析】式中x+y；xy多次出現，可引入兩個新字母，突出式子特點，設x+y＝a，xy＝b，將a、b代入原式，進行因式分解，然后再將x+y、xy代入進行因式分解．解：令x+y＝a，xy＝b，則（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）＝b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b＝（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1＝（b﹣a）2+2（b﹣a）+1＝（b﹣a+1）2；即原式＝（xy﹣x﹣y+1）2＝[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2＝[（y﹣1）（x﹣1）]2＝（y﹣1）2（x﹣1）2．故答案為：（y﹣1）2（x﹣1）2．【點評】本題考查了多項式的因式分解，因式分解要根據所給多項式的特點，選擇適當的方法，對所給多項式進行變形，套用公式，最后看結果是否符合要求．13．若式子﹣2在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥0．【分析】直接利用二次根式有意義的條件進而分析得出答案．解：若式子﹣2在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是：x≥0．故答案為：x≥0．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關鍵．14．把長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，得到如圖所示的圖形，AD平分∠B′AC，則∠B′CD＝30°．【分析】先根據翻折變換的性質得出∠B′AC＝∠BAC，再由AD平分∠B′AC得出∠B′AD＝∠DAC，再由矩形的性質得出∠DAC的度數，故可得出∠B′AD的度數，由三角形內角和定理即可得出結論．解：∵△AB′C由△ABC翻折而成，∴△AB′C≌△ABC，∴∠∠B′AC＝∠BAC．∵AD平分∠B′AC，∴∠B′AD＝∠DAC．∵∠BAC+∠DAC＝90°，即3∠DAC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴∠B′AD＝30°．∵∠B′＝∠D＝90°，∠AEB′＝∠CED，∴∠B′CD＝∠B′AD＝30°．故答案為：30°．【點評】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．15．如圖所示，直線a經過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為13．【分析】根據正方形的性質、直角三角形兩個銳角互余以及等量代換可以證得△AFB≌△DEA；然后由全等三角形的對應邊相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．解：∵ABCD是正方形（已知），∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，∴∠FBA＝∠EAD（等量代換）；在Rt△AFB和Rt△DEA中，∵，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的對應邊相等），∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13．故答案為：13．【點評】本題考查了全等三角形的判定、正方形的性質．實際上，此題就是將EF的長度轉化為與已知長度的線段DE和BF數量關系．16．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，則AH＝．【分析】根據菱形面積＝對角線積的一半可求AC，再根據勾股定理求出BC，然后由菱形的面積即可得出結果．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，∴BD＝8，∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24，∴AC＝6，∴OC＝AC＝3，∴BC＝＝5，∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，∴AH＝；故答案為：．【點評】本題考查了菱形的性質、勾股定理以及菱形面積公式；熟練掌握菱形的性質，由勾股定理求出BC是解題的關鍵．三、解答題（本大題共6小題，共72分）17．解方程：+1＝．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．解：去分母得：x﹣1+x﹣3＝﹣2，移項合并得：2x＝2，解得：x＝1，檢驗：把x＝1代入得：x﹣3＝1﹣3＝﹣2≠0，則x＝1是分式方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．18．計算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．【分析】首先計算乘方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．解：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1＝﹣1﹣2×+4＝3【點評】此題主要考查了實數的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．正確化簡各數是解題關鍵．19．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．【分析】（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：當四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，設BE＝x，則DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝，∴EF＝2EO＝．【點評】本題主要考查了矩形的性質，菱形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的性質和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關鍵．20．在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖1，連接DC，DB，設△BCD的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，過點D作DM⊥BC于點M，是否存在點D，使得△CDM中的某個角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據題意得到B、C兩點的坐標，設拋物線的解析式為y＝（x﹣4）（x﹣m），將點C的坐標代入求得m的值即可；（2）過點D作DF⊥x軸，交BC與點F，設D（x，x2﹣x﹣2），則DF＝﹣x2+2x，然后列出S與x的關系式，最后利用配方法求得其最大值即可；（3）根據勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點E，EA＝EC＝EB＝，過D作y軸的垂線，垂足為R，交AC的延線于G，設D（x，x2﹣x﹣2），則DR＝x，CR＝﹣x2+x，最后，分為∠DCM＝2∠BAC和∠MDC＝2∠BAC兩種情況列方程求解即可．解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），設拋物線的解析式為y＝（x﹣4）（x﹣m），將C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴拋物線的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．（2）如圖所示：過點D作DF⊥x軸，交BC與點F．設D（x，x2﹣x﹣2），則F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．∴S△BCD＝OB?DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．∴當x＝2時，S有最大值，最大值為4．（3）如圖所示：過點D作DR⊥y垂足為R，DR交BC與點G．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AC＝，BC＝2，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形．取AB的中點E，連接CE，則CE＝BE，∴∠OEC＝2∠ABC．∴tan∠OEC＝＝．當∠MCD＝2∠ABC時，則tan∠CDR＝tan∠ABC＝．設D（x，x2﹣x﹣2），則DR＝x，CR＝﹣x2+x．∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．∴點D的橫坐標為2．當∠CDM＝2∠ABC時，設MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．∵tan∠MGD＝，∴GM＝6k，GD＝3k，∴GC＝MG﹣CM＝2k，∴GR＝k，CR＝k．∴RD＝3k﹣k＝k．∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x＝．∴點D的橫坐標為．綜上所述，當點D的橫坐標為2或．【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．21．在一次中學生田徑運動會上，根據參加男子跳高初賽的運動員的成績（單位：m），繪制出統計圖①和圖②．請根據相關信息，解答下列問題：（1）圖①中a的值為25；（2）求統計的這組初賽成績數據的平均數、眾數和中位數；（3）根據這組初賽