2024屆云南省數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知公差為的等差數(shù)列滿足，則（）A B.C. D.2．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A B.5C. D.73．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.4．下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（）A.開口向上，焦點為 B.開口向右，焦點為C.開口向上，焦點為 D.開口向右，焦點為5．若公差不為0的等差數(shù)列的前n項和是，，且，，為等比數(shù)列，則使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.126．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，.若雙曲線M的右支上存在點P，使，則雙曲線M的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.7．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.8．阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積公式，設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長分別為，則橢圓的面積公式為，若橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.或 B.或C.或 D.或9．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.10．已知直線l和拋物線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且，交AB于點D，點D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.211．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.412．在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，且點的橫坐標(biāo)為，過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，則的面積為___________.14．復(fù)數(shù)的實部為_________15．已知雙曲線的右焦點為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點.若(O為坐標(biāo)原點)，則雙曲線C的離心率為___________.16．如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸且焦點在軸上，拋物線：，若拋物線的焦點在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線滿足：與橢圓相交于不同兩點、，與直線相交于點.若橢圓上一動點滿足：，，且存在點，使得恒為定值，求的值.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足；正項等比數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）數(shù)列滿足，的前n項和為，求的最大值.19．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點（1）若點是雙曲線的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若點P的坐標(biāo)為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率20．（12分）近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達(dá)516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務(wù)的滿意率為0.75，其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?對服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合（1）求橢圓的離心率；（2）求拋物線的方程；（3）設(shè)是拋物線上一點，且，求點的坐標(biāo)22．（10分）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和，即可得到答案.【詳解】∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，∴，∴.故選：C2、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D3、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.4、A【解析】把化成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)看開口方向，求其焦點坐標(biāo)即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線開口向上，焦點為故選：A5、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)，且，，為等比數(shù)列，求得首項和公差，再利用前n項和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，且，，為等比數(shù)列，所以，解得或（舍去），則，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故選：C6、A【解析】利用三角形正弦定理結(jié)合，用a，c表示出，再由點P的位置列出不等式求解即得.【詳解】依題意，點P不與雙曲線頂點重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故選：A7、B【解析】取中點為T，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計算.【詳解】設(shè)中點為T，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因為平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，過分別作平面、平面的垂線相交于點即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B8、B【解析】根據(jù)題意列出的關(guān)系式，即可求得，再分焦點在軸與軸兩種情況寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】根據(jù)題意，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：B9、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.10、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B11、A【解析】利用正態(tài)分布的對稱性和概率的性質(zhì)即可【詳解】由，且則有：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知：故選：A12、C【解析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設(shè)外接圓方程為，則解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】不妨設(shè)點為第一象限內(nèi)的點，求出點的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點、的坐標(biāo)，可求得以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點為第一象限內(nèi)的點，設(shè)點，其中，則，可得，即點，拋物線的焦點為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，可得點，點到直線的距離為，因此，.故答案為：.14、【解析】復(fù)數(shù)，其實部為.考點：復(fù)數(shù)的乘法運算、實部.15、【解析】過F作，利用點到直線距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過F作，則E是AB中點，設(shè)漸近線為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.16、【解析】取的中點，連接，，過點A作，垂足為，設(shè)，利用三角形的邊角關(guān)系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可【詳解】取的中點，連接，，過點A作，交DE的延長線于點，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，所以，所以，EH=，因為三棱錐的體積為，所以，解得：，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點O作OF⊥AH于點F，則，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設(shè)而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，再與恒為定值進(jìn)行聯(lián)系，即可求得的值.【小問1詳解】由條件可設(shè)橢圓：，因為拋物線：的焦點為，所以，解得因為橢圓離心率為，所以，則，故橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)直線：，，，把直線的方程代入橢圓的方程，可得，所以，因為，，所以四邊形為平行四邊形，得，即，得由在橢圓上可得，，即因為，又所以，所以將代入得，所以，即.【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。18、（1），（2）8【解析】（1）利用已知的關(guān)系把替換成，再把兩式作差后整理即得通項公式，的通項公式可由已知條件建立基本量的方程求解.（2）由的通項公式可判斷，，，當(dāng)時，所有正項的和即為的最大項的值.小問1詳解】，，兩式相減得所以，又也滿足，故；設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，即，因為，即，，（負(fù)值舍去），所以【小問2詳解】由題意，，則，，，且當(dāng)時，所以的最大值是.19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進(jìn)而可得的漸近線方程（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，再由兩點之間距離公式得，解得，進(jìn)而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設(shè)直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.20、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200，因為，所以能有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列為：0123所以.【點睛】本題主要考查獨立檢驗以及離散性隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由橢圓方程即可求出離心率.（2）求出橢圓的焦點即為拋物線的焦點，即可求出答案.（3）由拋物線定義可求出點的坐標(biāo)【小問1詳解】由題意可知，.【小問2詳解】橢圓的右焦點為，故拋物線的焦點為.拋物線的方程為.【小問3詳解