./絕密★啟用前2015年普通高等學校招生全國統一考試〔卷數學〔理工類本試題卷共6頁,22題,其中第15、16題為選考題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘?！镒？荚図樌镒⒁馐马棧?．答卷前,先將自己的、號填寫在試題卷和答題卡上,并將號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2．選擇題的作答：每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4．選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑,再在答題卡上對應的答題區域答題。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。5．考試結束后,請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1．為虛數單位,的共軛復數為A．B．C．1D．2．我國古代數學名著《數書九章》有"米谷粒分"題：糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗得米夾谷,抽樣取米一把,數得254粒夾谷28粒,則這批米夾谷約為A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等,則奇數項的二項式系數和為A．B．C．D．4．設,,這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是A．B．C．對任意正數,第4題圖D．對任意正數,第4題圖5．設,.若p：成等比數列；q：,則A．p是q的充分條件,但不是q的必要條件B．p是q的必要條件,但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件6．已知符號函數是上的增函數,,則A．B．C．D．7．在區間上隨機取兩個數,記為事件""的概率,為事件""的概率,為事件""的概率,則A．B．C．D．8．將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度,得到離心率為的雙曲線,則A．對任意的,B．當時,；當時,C．對任意的,D．當時,；當時,9．已知集合,,定義集合,則中元素的個數為A．77B．49C．45D．10．設,表示不超過的最大整數.若存在實數,使得,,…,同時成立,則正整數的最大值是A．3B．4C．5D．二、填空題：本大題共6小題,考生需作答5小題,每小題5分,共25分．請將答案填在答題卡對應題號的位置上．答錯位置,書寫不清,模棱兩可均不得分．〔一必考題〔11—14題11．已知向量,,則．12．函數的零點個數為．第13題圖第14題圖xOyTCNAMB13．如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上,行駛第13題圖第14題圖xOyTCNAMB14．如圖,圓與軸相切于點,與軸正半軸交于兩點〔B在A的上方,且．〔Ⅰ圓的標準方程為；〔Ⅱ過點任作一條直線與圓相交于兩點,下列三個結論：①；②；③．其中正確結論的序號是.〔寫出所有正確結論的序號〔二選考題〔請考生在第15、16兩題中任選一題作答,請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑．如果全選,則按第15題作答結果計分．第15題圖15．〔選修4-1：幾何證明選講第15題圖如圖,PA是圓的切線,A為切點,PBC是圓的割線,且,則.16．〔選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極坐標方程為,曲線C的參數方程為<t為參數>,l與C相交于AB兩點,則.三、解答題：本大題共6小題,共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．〔本小題滿分11分某同學用"五點法"畫函數在某一個周期的圖象時,列表并填入了部分數據,如下表：0050〔Ⅰ請將上表數據補充完整,填寫在答題卡上相應位置,并直接寫出函數的解析式；〔Ⅱ將圖象上所有點向左平行移動個單位長度,得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為,求的最小值.18．〔本小題滿分12分設等差數列的公差為d,前n項和為,等比數列的公比為q．已知,,,．〔Ⅰ求數列,的通項公式；〔Ⅱ當時,記,求數列的前n項和．19．〔本小題滿分12分第19題圖《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．第19題圖如圖,在陽馬中,側棱底面,且,過棱的中點,作交于點,連接〔Ⅰ證明：．試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角〔只需寫出結論；若不是,說明理由；〔Ⅱ若面與面所成二面角的大小為,求的值．20．〔本小題滿分12分某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產兩種奶制品．生產1噸產品需鮮牛奶2噸,使用設備1小時,獲利1000元；生產1噸產品需鮮牛奶1.5噸,使用設備1.5小時,獲利1200元．要求每天產品的產量不超過產品產量的2倍,設備每天生產兩種產品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數量W〔單位：噸是一個隨機變量,其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產,使其獲利最大,因此每天的最大獲利〔單位：元是一個隨機變量．〔Ⅰ求的分布列和均值；〔Ⅱ若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．21．〔本小題滿分14分一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點,短桿ON可繞O轉動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且,．當栓子D在滑槽AB作往復運動時,帶動N繞轉動一周〔D不動時,N也不動,M處的筆尖畫出的曲線記為C．以為原點,所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．〔Ⅰ求曲線C的方程；〔Ⅱ設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點,試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在,求出該最小值；若不存在,說明理由．xxDOMNy第21第21題圖2第21題圖122．〔本小題滿分14分已知數列的各項均為正數,,e為自然對數的底數．〔Ⅰ求函數的單調區間,并比較與e的大?。弧并蛴嬎?,,由此推測計算的公式,并給出證明；〔Ⅲ令,數列,的前項和分別記為,,證明：.絕密★啟用前2015年普通高等學校招生全國統一考試〔卷數學〔理工類試題參考答案一、選擇題〔本大題共10小題,每小題5分,共50分1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B二、填空題〔本大題共6小題,考生需作答5小題,每小題5分,共25分11．912．213．14．〔Ⅰ；〔Ⅱ①②③15．16．三、解答題〔本大題共6小題,共75分17．〔11分〔Ⅰ根據表中已知數據,解得.數據補全如下表：00500且函數表達式為.〔Ⅱ由〔Ⅰ知,得.因為的對稱中心為,.令,解得,.由于函數的圖象關于點成中心對稱,令,解得,.由可知,當時,取得最小值.18．〔12分〔Ⅰ由題意有,即解得或故或〔Ⅱ由,知,,故,于是,①.②①-②可得,故.19．〔12分〔解法1〔Ⅰ因為底面,所以,由底面為長方形,有,而,所以.而,所以.又因為,點是的中點,所以.而,所以平面.而,所以.又,,所以平面.由平面,平面,可知四面體的四個面都是直角三角形,即四面體是一個鱉臑,其四個面的直角分別為.〔Ⅱ如圖1,在面,延長與交于點,則是平面與平面的交線.由〔Ⅰ知,,所以.又因為底面,所以.而,所以.故是面與面所成二面角的平面角,設,,有,在Rt△PDB中,由,得,則,解得.所以故當面與面所成二面角的大小為時,.〔解法2〔Ⅰ如圖2,以為原點,射線分別為軸的正半軸,建立空間直角坐標系.設,,則,,點是的中點,所以,,于是,即.又已知,而,所以.因,,則,所以.由平面,平面,可知四面體的四個面都是直角三角形,第19題解答圖2第19題解答圖1第19題解答圖2第19題解答圖1〔Ⅱ由,所以是平面的一個法向量；由〔Ⅰ知,,所以是平面的一個法向量.若面與面所成二面角的大小為,則,解得.所以故當面與面所成二面角的大小為時,.20．〔12分〔Ⅰ設每天兩種產品的生產數量分別為,相應的獲利為,則有〔1第20題解答圖1第20題解答圖2第20題解答圖3目標函數為第20題解答圖1第20題解答圖2第20題解答圖3．將變形為,當時,直線：在軸上的截距最大,最大獲利．．將變形為,當時,直線：在軸上的截距最大,最大獲利．當時,〔1表示的平面區域如圖3,四個頂點分別為.將變形為,當時,直線：在軸上的截距最大,最大獲利．故最大獲利的分布列為816010200108000.30.50.2因此,〔Ⅱ由〔Ⅰ知,一天最大獲利超過10000元的概率,由二項分布,3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為21．〔14分〔Ⅰ設點,,依題意,第21題解答圖,且,第21題解答圖所以,且即且由于當點不動時,點也不動,所以不恒等于0,于是,故,代入,可得,即所求的曲線的方程為〔Ⅱ〔1當直線的斜率不存在時,直線為或,都有.〔2當直線的斜率存在時,設直線,由消去,可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點,所以,即.①又由可得；同理可得.由原點到直線的距離為和,可得.②將①代入②得,.當時,；當時,.因,則,,所以,當且僅當時取等號.所以當時,的最小值為8.綜合〔1〔2可知,當直線與橢圓在四個頂點處相切時,△OPQ的面積取得最小值8.