福建省廈門二中2023年高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，，則（）A. B.C. D.2．下列結論中正確的個數為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.33．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.4．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.5．如圖是拋物線形拱橋，當水面在n時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.6．等差數列的公差，且，，則的通項公式是（）A. B.C. D.7．若將雙曲線繞其對稱中心順時針旋轉120°后可得到某一函數的圖象，且該函數在區間上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.8．數列，，，，，中，有序實數對是（）A. B.C. D.9．不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或10．下列各式正確的是（）A. B.C. D.11．今天是星期四，經過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六12．已知實數a，b，c滿足，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．無窮數列滿足：只要必有，則稱為“和諧遞進數列”，已知為“和諧遞進數列”，且前四項成等比數列，，，則__________，若數列前項和為，則__________.14．曲線在點處的切線的方程為__________.15．動點M在圓上移動，則M與定點連線的中點P的軌跡方程為___________.16．若恒成立，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，且，.求證：為定值，并計算出該定值.18．（12分）設函數.（1）求在處的切線方程；（2）求的極小值點和極大值點.19．（12分）已知首項為1的等比數列，滿足（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和20．（12分）某微小企業員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數；（2）從該公司員工中隨機抽取一位，記所抽取員工年齡在區間內為事件，所抽取員工年齡在區間內為事件，判斷事件與是否互相獨立，并說明理由；21．（12分）在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右兩個焦點為、，動點P滿足（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）設過且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，問：線段上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由22．（10分）定義：設是空間的一個基底，若向量，則稱有序實數組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標為（1）求向量在基底下的坐標；（2）求向量在基底下的模

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據集合交集和補集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據補集的運算，可得，所以.故選：C.2、C【解析】構造函數利用導數說明函數的單調性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C3、B【解析】由公切線條數得兩圓外切，由此可得的關系，從而點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結論【詳解】圓標準方程為，，半徑為，圓標準方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B4、A【解析】根據題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設四邊形的面積為，由題設及圓的切線性質得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A5、D【解析】由題建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，結合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系：設拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.6、C【解析】由于數列為等差數列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項公式.【詳解】解：因為數列為等差數列，所以，因為，所以可以看成一元二次方程的兩個根，因為，所以，所以，解得，所以故選：C【點睛】此題考查的是等差數列的通項公式和性質，屬于基礎題.7、C【解析】由題意，可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，再確定參數的正負即可求解.【詳解】雙曲線，令，則，顯然，則一條漸近線方程為，繞其對稱中心順時針旋轉120°后可得到某一函數的圖象，則漸近線就需要旋轉到與坐標軸重合，故漸近線方程的傾斜角為120°，即，該函數在區間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C8、A【解析】根據數列的概念，找到其中的規律即可求解.【詳解】由數列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序實數對是，故選：9、A【解析】先將分式不等式轉化為一元二次不等式，然后求解即可【詳解】由，得，解得，所以原不等式的解集為，故選：A10、C【解析】利用導數的四則運算即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：C11、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數是1，即今天是星期四，經過天后是星期五，故選：12、A【解析】利用對數的性質可得，，再構造函數，利用導數判斷，再構造，利用導數判斷出函數的單調性，再由單調性即可求解.【詳解】由題意可得均大于，因為，所以，所以，且，令，，當時，，所以在單調遞增，所以，所以，即，令，，當時，，所以在上單調遞減，由，，所以，所以，綜上所述，.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.2②.7578【解析】根據前四項成等比數列及定義可求得，根據新定義得數列是周期數列，從而易求得【詳解】∵成等比數列，，，又，為“和諧遞進數列”，，，，，…，數列是周期數列，周期為4，故答案為：2，757814、【解析】求出導函數，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：15、##【解析】設，中點，根據中點坐標公式求出，代入圓的標準方程即可得出結果.【詳解】設，中點，則，即，因為在圓上，代入得故答案為：.16、1【解析】利用導數研究的最小值為，再構造研究其最值，即可確定參數a的值.【詳解】令，則且，當時，遞減；當時，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，綜上，.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關于的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標公式即可求得值，從而解決問題.【小問1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在，令，，，由，因為，所以，即-1-x1因為，所以，即-4-x1由①，由②將，代入上式，得18、（1）；（2）極大值點，極小值點.【解析】（1）求函數的導數，利用函數的導數求出切線的斜率，結合切點坐標，然后求解切線方程；（2）利用導數研究f(x)的單調性，判斷函數的極值點即可【小問1詳解】函數，函數的導數為，，在處的切線方程：，即【小問2詳解】令，，解得，當時，可得，即的單調遞減區間，或，可得，∴函數單調遞增區間，，的極大值點，極小值點19、（1）（2）【解析】（1）根據已知條件求得數列的公比，由此求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】設等比數列的公比為，由，可得.故數列是以1為首項，3為公比的等比數列，所以【小問2詳解】由（1）得，，①，②①②，得所以20、（1）極差為；第25百分位數為（2）事件和相互獨立，理由見解析【解析】（1）根據定義直接計算極差和百分位數得到答案.（2）計算得到，，，即，得到答案.【小問1詳解】員工年齡的極差為，，故第25百分位數為.【小問2詳解】，，，故，故事件和相互獨立.21、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問的基礎上，設出直線l的方程，聯立橢圓方程，用韋達定理表達出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點坐標，證明出結論.【小問1詳解】由題意得：，所以，，而，故動點P的軌跡E的方程為以點、為焦點的橢圓方程，由得：，，所以動點P的軌跡E的方程為；【小問2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設為，聯立橢圓方程得：，設，，則，，要想以DA、DB