北京市通州區2023年高二上數學期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或2．雙曲線的左焦點到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.3．已知函數的導數為，且滿足，則（）A. B.C. D.4．已知，且，則實數的值為（）A. B.3C.4 D.65．用3，4，5，6，7，9這6個數組成沒有重復數字的六位數，下列結論正確的有（）A.在這樣的六位數中，奇數共有480個B.在這樣的六位數中，3、5、7、9相鄰的共有120個C.在這樣的六位數中，4，6不相鄰的共有504個D.在這樣六位數中，4個奇數從左到右按照從小到大排序的共有60個6．已知正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.7．拋物線有一條重要的性質：平行于拋物線的軸的光線，經過拋物線上的一點反射后經過它的焦點．反之，從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點發出一條平行于x軸的光線，經過拋物線兩次反射后，穿過點，則光線從A出發到達B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.148．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離9．雙曲線的焦點坐標是（）A. B.C. D.10．過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=011．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.12．已知為虛數單位，復數是純虛數，則（）A. B.4C.3 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數列的前項和為，已知，則__.14．已知點，，其中，若線段的中點坐標為，則直線的方程為________15．在空間直角坐標系中，已知點A，若點P滿足，則_______16．拋物線的焦點到準線的距離是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F分別為AB，BC上的動點，且.（1）求證：；（2）當時，求點A到平面的距離.18．（12分）某車間打算購買2臺設備，該設備有一個易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個100元.在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個300元.在使用期間，每臺設備需要更換的零件個數的分布列為567.表示2臺設備使用期間需更換的零件數，代表購買2臺設備的同時購買易損零件的個數.（1）求的分布列；（2）以購買易損零件所需費用的期望為決策依據，試問在和中，應選哪一個？19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且經過點和（1）求圓C的標準方程；（2）若過點的直線l與圓C交于A，B兩點，且，求直線l的方程20．（12分）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.21．（12分）某品牌餐飲公司準備在10個規模相當的地區開設加盟店，為合理安排各地區加盟店的個數，先在其中5個地區試點，得到試點地區加盟店個數分別為1，2，3，4，5時，單店日平均營業額（萬元）的數據如下：加盟店個數（個）12345單店日平均營業額（萬元）10.910.297.871（參考數據及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業額（萬元）與所在地區加盟店個數（個）的線性回歸方程；（2）根據試點調研結果，為保證規模和效益，在其他5個地區，該公司要求同一地區所有加盟店的日平均營業額預計值總和不低于35萬元，求一個地區開設加盟店個數的所有可能取值；（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據公司規定，他們只能分別從其他五個地區（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區加入，求他們選取的地區相同的概率.22．（10分）已知在公差不為0的等差數列中，，且構成等比數列的前三項（1）求數列，的通項公式；（2）設數列___________，求數列的前項和請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先將分式不等式轉化為一元二次不等式，然后求解即可【詳解】由，得，解得，所以原不等式的解集為，故選：A2、A【解析】求出雙曲線焦點坐標與漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得結果.【詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點坐標為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點到漸近線的距離為.故選：A3、C【解析】首先求出，再令即可求解.【詳解】由，則，令，則，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了基本初等函數的導數以及導數的基本運算法則，屬于基礎題.4、B【解析】根據給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.詳解】因，且，則有，解得，所以實數的值為3.故選：B5、A【解析】A選項，特殊位置優先考慮求出這樣的六位數中，奇數個數；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.【詳解】用3，4，5，6，7，9這6個數組成沒有重復數字的六位數，個位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個數位上的數字進行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數中，奇數共有個，A正確；在這樣的六位數中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有個，B錯誤；在這樣的六位數中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列，再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有個，C錯誤；在這樣的六位數中，4個奇數從左到右按照從小到大排序的共有個，D錯誤.故選：A6、B【解析】設等比數列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，則，因為，則，所以，，則，當且僅當時，等號成立.故選：B.7、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點為，設光線第一次交拋物線于點，第二次交拋物線于點，過焦點F，準線方程為：，作垂直于準線于點，作垂直于準線于點，則，，，，故選：C8、B【解析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關系，同時判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心所以直線與圓的位置關系是相交但直線不過圓心故選B考點：直線與圓的位置關系9、B【解析】根據雙曲線的方程，求得，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點再軸上，所以雙曲線的焦點坐標為.故選：B.10、A【解析】設出直線方程，利用待定系數法得到結果.【詳解】設與直線平行的直線方程為，將點代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點睛】本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設為11、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.12、C【解析】化簡復數得，由其為純虛數求參數a，進而求的模即可.【詳解】由純虛數，∴，解得：，則，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據等差數列的求和公式和等差數列的性質即可求出.【詳解】因為等差數列的前項和為，，則，故答案為：33.【點睛】本題考查了等差數列的求和公式和等差數列的性質，屬于基礎題.14、【解析】根據中點坐標公式求出，再根據直線的兩點式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點坐標為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.15、【解析】設，表示出，，根據即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標，即可得到的坐標，最后根據向量模的坐標表示計算可得；【詳解】解：設，所以，，因為，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為：16、4【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦點到準線的距離就是p，所以焦點到準線的距離為4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和，再證明即可；(2)利用空間向量的數量積求出平面的法向量，結合求點到面距離的向量法即可得出結果.【小問1詳解】證明：如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，故，所以；【小問2詳解】當時，，，，，則，，，設是平面的法向量，則由，解得，取，得，設點A到平面的距離為，則，所以點A到平面的距離為.18、（1）答案見解析；（2）應選擇.【解析】(1)由每臺設備需更換零件個數的分布列求出的所有可能值，并求出對應的概率即可得解.(2)分別求出和時購買零件所需費用的期望，比較大小即可作答.【小問1詳解】的可能取值為10，11，12，13，14，，，，，，則的分布列為：10111213140.090.30.370.20.04【小問2詳解】記為當時購買零件所需費用，，，，，元，記為當時購買零件所需費用，，，，元，顯然，所以應選擇.19、（1）（2）或【解析】（1）點和的中垂線經過圓心，兩直線聯立方程得圓心坐標，再利用兩點間距離公式求解半徑.（2）已知弦長，求解直線方程，分類討論斜率是否存在.小問1詳解】點和的中點為，,所以中垂線的，利用點斜式得方程為，聯立方程得圓心坐標為，所以圓C的標準方程為.【小問2詳解】當過點的直線l斜率不存在時，直線方程為，此時弦長，符合題意.當過點的直線l斜率存在時,設直線方程為，化簡得，弦心距，所以，解得，所以直線方程為.綜上所述直線方程為或.20、(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）先連結，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結果；（2）先由題意得到，滿足條件的點存在，當且僅當，，，根據三個式子聯立，結合題中條件，即可求出結果.【詳解】（1）連結，由等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點存在，當且僅當，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當，時，存在滿足條件的點.故，a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題.21、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，進而得到b，a求解；（2）根據題意，由求解；（3）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由題可得，，，設所求線性回歸方程為，則，將，代入，得，故所求線性回歸方程為.（2）根據題意，，解得：，又，所以的所有可能取值為5，6，7.（3）設其他5個地區分別為，他們選擇結果共有25種，具體如下：，，，，，，，，，，，，，，，，